解析江蘇高考第13題，備考2019“平面向量”

余東云

【摘要】本文針對2016年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第13題的解析，對高考試卷在平面向量專題的考查內(nèi)容、涉及題型、解題方法及數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行分析，同時對2019年高考在平面向量專題的備考提出復(fù)習(xí)建議.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué);平面向量;解題分析;考情分析;備考建議

歷年的高考試題一直是我們教學(xué)研究的主要對象，尤其是高考中的出彩試題，都是經(jīng)過專家們匠心獨運(yùn)，銳意創(chuàng)新，變換命題的視角和精心演變拓展而成，備受青睞.這些題內(nèi)容深刻、設(shè)計新穎、研究豐富、區(qū)分度高，它不但能較好的檢測學(xué)生對知識的掌握，幫助高校選拔人才，而且更重要的是能夠培養(yǎng)學(xué)生的能力，開發(fā)學(xué)生的智力和發(fā)展學(xué)生的思維.因此，在教學(xué)中，高考題是非常有效的素材;研究高考試題，是高效教學(xué)和備考的有效途徑之一.本文對2016年江蘇高考卷第13題進(jìn)行解析，對2019年高考提出備考建議.

一、高考真題（2016江蘇高考卷13題）

如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，BC·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE的值是.

二、真題解析

此題作為壓軸的填空題，難度較大，學(xué)生處理起來比較棘手，對學(xué)生的能力要求較高.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識;考查了抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等基本能力;考查了方程、轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學(xué)思想.

本題解決的問題是求向量的數(shù)量積，常見處理數(shù)量積的方法，除了用定義來處理，還有兩個思路，一是轉(zhuǎn)化法，即尋找一組向量作為基底，把其他的向量轉(zhuǎn)化到這一組向量上來解決，這組基底通常選擇已知向量或者一些特殊向量（特殊位置、長度等）;二是坐標(biāo)法，即通過建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究向量數(shù)量積，兩種實質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解和化簡.

三、考情分析

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，在新一輪的課改中引入高中數(shù)學(xué)，在高中數(shù)學(xué)中具有重要作用和地位，主要體現(xiàn)在它的“工具作用”和教育價值，同時有著極其豐富的實際意義和背景.平面向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，使其成為高中數(shù)學(xué)知識的一個重要的交會點，與三角函數(shù)、平面幾何、空間幾何和解析幾何都有密切的關(guān)系，因此，平面向量成為每年高考的一個必要考查點.

1.從知識上看，對平面向量的考查主要表現(xiàn)為平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用，全國卷在這些方面都有涉及，江蘇卷主要側(cè)重數(shù)量積的綜合應(yīng)用，2014、2015及2016連續(xù)三年考查的都是數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

2.從題型上來看，主要考查的是小題，只有極少數(shù)以向量為載體，考查三角函數(shù)和解析幾何的問題，縱觀2008年到2016年的江蘇高考卷，只有2013年考查了解答題，其他年份均以填空題出現(xiàn).

3.從結(jié)構(gòu)上看，既體現(xiàn)了知識內(nèi)部的綜合應(yīng)用的考查（即平面向量基本定理、線性運(yùn)算、數(shù)量積的綜合應(yīng)用等），又體現(xiàn)了知識交匯處的考查（即與三角函數(shù)、解析幾何、不等式等方面的綜合考查）.

4.從思想方法上來看，主要考查轉(zhuǎn)化、化歸、方程、數(shù)形結(jié)合等思想.其中，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法的考查一直是高考的熱點.

5.從難度上來看，大多數(shù)情況下考查平面向量的題目難度都不大.涉及平面向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算的題目，一般為比較容易的題;有關(guān)數(shù)量積、夾角和長度的題，往往要求較高，為中等難度的題;與其他知識的交匯考查或者數(shù)量積的綜合應(yīng)用，則常常構(gòu)成難題.2016年江蘇卷的平面向量題是作為壓軸的填空題來呈現(xiàn)的，難度很大.

四、備考建議

向量作為一種既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通過構(gòu)造向量來處理代數(shù)問題，使問題簡單化;又具備數(shù)的特性，可以將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算.向量又是聯(lián)系數(shù)和形的紐帶，數(shù)量積是實現(xiàn)向量的數(shù)形轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵.向量“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞碾p重身份，為數(shù)形結(jié)合思想提供了用武之地.向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，它的引入大大拓寬了解題的思路和方法，在研究其他問題時向量得到了廣泛應(yīng)用，成為“在知識網(wǎng)絡(luò)交會處設(shè)計試題”的良好載體.

1.重視基礎(chǔ)，培養(yǎng)能力.在高考試題中，主要考查有關(guān)的基礎(chǔ)知識，突出向量的工具作用.在復(fù)習(xí)中要重視教材的基礎(chǔ)作用，加強(qiáng)基本知識的復(fù)習(xí)，比如，單位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念要清楚，對向量中的基底運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算要準(zhǔn)確，著重理解平面向量基本定理及共線定理.本章不必追求解難題，熱點主要體現(xiàn)在平面向量的數(shù)量積，坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量在三角函數(shù)、解析幾何等方面的應(yīng)用.

2.回歸教材，立足根本.在高考復(fù)習(xí)中，教師一定要立足教材，回歸教材，強(qiáng)化教材習(xí)題的研究，不能簡單的就題論題，而應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓⒁旰屯诰?，揭示其有價值的新結(jié)論、新解法.這樣做不僅能使學(xué)生產(chǎn)生觸類旁通、舉一反三的學(xué)習(xí)效果，而且能開闊學(xué)生的思維，發(fā)揮一題多用.同時要注重引導(dǎo)學(xué)生對教材習(xí)題進(jìn)行一題多解，一題多變，挖掘出教材習(xí)題與高考試題的聯(lián)系，將教材習(xí)題進(jìn)行組合，變式，引申，演變出高質(zhì)量的備考題，使學(xué)生切實體會到加強(qiáng)教材習(xí)題研究在高考復(fù)習(xí)的重要性，真正做到以“教材為本”，提高備考效果

3.思想滲透，提高思維.平面向量的“數(shù)”“形”兼?zhèn)涞碾p重身份的特殊性，使得本章的題型的處理有很大的多樣性，靈活性和綜合性，滲透的常見數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化與化歸，方程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.在解決有關(guān)問題的過程中，教師就應(yīng)把最大的教學(xué)精力花在誘導(dǎo)學(xué)生怎樣去想，怎樣想到，到哪里去找解題的思路上，要將數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于解題的中心位置，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的解題功能──定向功能、聯(lián)想功能、構(gòu)造功能和模糊延伸功能.

【參考文獻(xiàn)】

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