最值問題

【學(xué)情分析】

本節(jié)課是在教材七年級(jí)上冊(cè)軸對(duì)稱的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對(duì)于初四的學(xué)生已經(jīng)掌握了所有知識(shí)，可以將特殊三角形、特殊四邊形、圓、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及軸對(duì)稱、相似三角形等重要知識(shí)聯(lián)系在一起，本節(jié)課具有較強(qiáng)的靈活性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性，是中考中?？碱}型，常出現(xiàn)在中考?jí)狠S題中，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)是個(gè)難點(diǎn)，需要經(jīng)過小組學(xué)習(xí)，總結(jié)歸納此類問題解決的途徑。

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】

1.能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，三角形三邊關(guān)系，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、建模等思想解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、運(yùn)算和分題問題等核心素養(yǎng)。

2.體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。

難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和、差最小問題。

【學(xué)習(xí)過程】

自學(xué)展示：（學(xué)生獨(dú)立完成，找學(xué)生簡(jiǎn)單講解）

1.點(diǎn)A、B在直線L的兩側(cè)，在直線L上找一點(diǎn)P使點(diǎn)P到A、B的距離之和最小。

2.直線L表示草原上的一條河流，一騎馬將軍從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的駐地，他應(yīng)沿怎樣的路線行走，使路程最短？請(qǐng)作出這條最短路線。

3.線段AB=5，以B點(diǎn)為圓心，以2為半徑作圓，在圓上找一點(diǎn)C，（1）使AC1最小，（2）使AC2最大。

學(xué)生獨(dú)立完成，舉手搶答。

跟蹤訓(xùn)練：（學(xué)生獨(dú)立完成，教師提問）

1.正方形ABCD，AB邊上有一點(diǎn)E，AE=3，EB=1，在AC上有一點(diǎn)P，使EP+BP為最短。求：最短距離EP+BP。

答案：連接DE，因?yàn)锽、D關(guān)于AC對(duì)稱，所以EP+BP=DE，在Rt△ADE中AE=3，AD=3+1=4，所以EP+BP=DE=5。

2.在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小。

小組答疑（小組討論，找代表講解）。

例1：已知，A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使△ABC周長(zhǎng)最小。

變式提升：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最值。

3.∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是多少？

出示答案：找學(xué)生講解

知識(shí)拓展：轉(zhuǎn)化“三角形兩邊之差小于第三邊（學(xué)生用幾何畫板展示動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑，得出結(jié)論，找學(xué)生講解）。

例2：如圖所

∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：AP-BP

∴延長(zhǎng)AB交x軸于P ′點(diǎn)，當(dāng)P ′與P重合時(shí)，AP-BP=AB，此時(shí)AP與B）

當(dāng)堂檢測(cè)：學(xué)生獨(dú)立完成。

在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。

答案：連接BC交點(diǎn)即為P點(diǎn)。

思考題：（有余力的同學(xué)可以完成）

A和B兩地在一條河的兩岸，將軍想要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路線AMNB最短？請(qǐng)作出這條最短路線。（假設(shè)河兩岸平行，橋MN與河岸垂直。）

教學(xué)設(shè)計(jì)說明：

先讓學(xué)生了解本節(jié)課的思想方法，使學(xué)生能很快切入主題。

思想方法：

一般地，解決線段和差最值問題的目標(biāo)是“化曲為直”，手段通常是遇“和”轉(zhuǎn)化為異側(cè)，遇“差”轉(zhuǎn)化為“同側(cè)”，根據(jù)是軸對(duì)稱和全等三角形，常用方法是利用軸對(duì)稱圖形中的“已知”的對(duì)稱點(diǎn)。涉及的知識(shí)點(diǎn)有“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊關(guān)系”“軸對(duì)稱”“平移”等。

在了解思想方法的基礎(chǔ)上出示前測(cè)，由學(xué)生獨(dú)立完成，本題是“馬飲水問題”的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生垂直平分線基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，起點(diǎn)低，難度不大。但作為教材中出現(xiàn)的習(xí)題都具有典型性、可遷移性，看似簡(jiǎn)單的題目中包含“兩點(diǎn)之間，線段最短”“作一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)”知識(shí)點(diǎn)，“折”轉(zhuǎn)“直”的轉(zhuǎn)化思想。

作者簡(jiǎn)介：張雪梅（1979—），漢，黑龍江省綏化市，本科，中學(xué)二級(jí)，研究方向：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。