一道中考題的多視角探究*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 游 嬌

四川內江師范學院數學與信息科學學院 羅力杰

四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

中考試題立意深刻、設計獨特、背景公平，具有典型性、示范性和公平性，是知識和數學素養(yǎng)的載體，直接反映了中考命題規(guī)律和動態(tài).因此，中考試題是研究中考的最佳材料.如何研究中考試題呢？我們認為首要任務是選擇恰當的視角.研究中考試題的視角很多，如解法、變式、背景、立意、規(guī)律等.本文中針對2018年成都中考第28題，從解法、背景和變式三個角度進行深入研究.

一、試題再現

試題：（2018年成都中考第28題，下文簡稱28題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l∶y=kx+m（k＞0）交于A（1，1）、B兩點，與y軸交于點C（0，5），直線l與y軸交于點D.

圖1

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，點G是拋物線上位于對稱軸右側的一點.若，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標.

（3）若在x軸上有且僅有一點P，使∠APB=90°，求k的值.

注：解（1）得y=x2-5x+5，過程略.

二、試題解法

在數學活動中，問題是研究的對象，而問題解決不僅是研究的目標，而且是最基本的數學活動形式.試題解法研究可以從一題多解和多題一解著手，從答題的典型失誤和優(yōu)美解、方法提煉、解題反思等視角展開.其中，一題多解指對試題從不同的路徑，采用不同的方法進行研究，最終獲得不同的解法［1］.試題多解的研究有利于溝通解法間的聯系，有利于弄清試題的本質，有利于發(fā)掘試題的背景，有利于厘清試題的變式，有利于從不同角度領會命題者的意圖.本文對28題（2）（3）進行多解研究.

1.（2）的多種解法

解法1：如圖2，過點B作BT⊥x軸于點T，過點A作AM⊥l于點M，AE⊥BT于點E.

圖2

由題意得點G的位置分為兩種情形，如圖3：

①點G在BC下方.

DG1∥BC，解得x=3，得出點G（3，-1）.

②點G在BC上方.

因為G2G3與DG1關于BC對稱，所以

圖3

解法2：設點

將點B的坐標代入y=x2-5x+5，解得k=，所以點得出直線BC的方程為下同解法1.

解法3：由解得x=k+4或x=1（舍去）.

所以點B（k+4，k2+3k+1）.又因為點，解得（舍去），所以得到點易知直線BC的方程為5.下同解法1.

解法4：如圖4，作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為點M、N，記直線x=與x軸的交點為Q，則.因為MQ=，所以NQ=2，則點

圖4

下同解法1.

2.（3）的多種解法

解法1：如圖5，由題意可知，點A的坐標為（1，1）.又點A在y=kx+m上，易得m=1-k，于是y=kx+1-k.

圖5

解法2：同解法1，解得點B（k+4，k2+3k+1）.設點P的坐標為（n，0），則直線AP的方程為.因為∠APB=90°，所以AP⊥BP，得直線BP的方程為y=（n-1）x+n（1-n）.將點B的坐標代入，得n2-（k+5）n+k2+4k+5=0.因為點P有且只有一個，解得k=-1+

解法3：同解法1，解得點B（k+4，k2+3k+1）.設點P的坐標為（n，0），因為BA的中點為顯然PO′則n2-（k+5）n+k2+4k+5=0，解得①.因為kAP·kBP=-1，所以=-1，則k2+3k+1=（n-1）·（k+4-n）②.將①代入②，得

解法4：同解法1，點A（1，1）、B（k+4，k2+3k+1）.設點P（n，0），由kAP·kBP=-1，得，解得n=.因為點P是唯一的，所以Δ=0，解得，所以點因為∠APB=90°，所以AB2=AP2+BP2，則3k2+6k-5=0，解得.又因為k＞0，所以k=-1+

三、試題變式

變式指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性保持不變的變化方式［2］.變式可以有效抑制題海戰(zhàn)術，而且能完善學生認知結構，使學生形成良好的認知能力.下面對28題（2）進行變式研究.

分析1：（2）中△BCG與△BCD面積相等這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式1：其他條件不變，將△BCG與△BCD的面積比改為，求點G的坐標.

解：已知點

（1）當點G在BC上方時，得直線G1G2的方程為解得點G的坐標為

（2）當點G在BC下方時，得直線G3G4的方程為解得點G的坐標為

分析2：（2）中這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式2：其他條件不變，設=λ，求點G的坐標.

解：如圖4，過點B作BN⊥x軸于點N，得，即，解得，所以點又點A（1，1）在y=kx+m上，由解得，則直線直線

分析3：（2）中△BCD與△BCG面積相等和這兩個條件能同時變成更一般的情形嗎？（有興趣的讀者可以研究）

四、試題背景

試題背景指命題選材中涉及的知識、模型、思想、方法等.［2］研究試題背景對理解試題、把握試題本質有積極意義.常見的試題背景有很多，如現實生活背景、初中教材背景、中考試題背景、高中數學背景等.［2］28題蘊含豐富的高中數學背景，分析如下：

背景1：點到直線距離公式

分析1：（2）中△BCD與△BCG具有相同的邊BC，而△BCD與△BCG面積相等等價于BC邊上的高相等，即點G到BC的距離等于點D到BC的距離，則原問題轉化為求到BC距離等于點D到BC距離的點G，顯然試題含有點到直線距離這一背景.

點到直線距離公式：設直線方程Ax+By+C=0，點P的坐標為（x0，y0），則點P到直線的距離下面給出點到直線距離公式下的試題解答：

圖6

解：如圖6，設點G（x，x2-5x+5），過點D作DE⊥BC于點E，直線BC的方程為由S△BCD=解得DE=.又S△BCD=S△BCG，所以利用點到直線距離公式得出點G到直線BC的距離為

背景2：定比分點坐標公式.

分析2：（2）中將A、B、F三點聯系在一起，從本質上講這種聯系是坐標間的聯系，如何刻畫呢？最直接的表征方式是向量的定比分點坐標公式.

定比分點坐標公式：設坐標軸上一有向線段的起點和終點的坐標分別為x1和x2，分點M分此有向線段的比為λ，那么，分點M的坐標

至于點B坐標的求解，可以運用定比分點坐標公式得到，如下：

數學家波利亞指出：一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當地選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面.［3］從多個方面對28題進行分析，可以深刻理解試題的本質、拓寬試題解法、加強試題變式，以達到舉一反三、觸類旁通.