MCMC方法課程教學(xué)改革

蘇理云 楊帆

（重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶 400054）

0 引言

隨機過程是對時空變化的隨機現(xiàn)象進行建模和分析的課程，作為概率論的延伸，隨機過程不僅是數(shù)學(xué)類、概率統(tǒng)計類專業(yè)必需的，而且是物理類、計算機類、通信類、信號類、大數(shù)據(jù)類、人工智能類理工學(xué)科專業(yè)的重要應(yīng)用工具，其在AI、大數(shù)據(jù)、云計算、數(shù)字通信、生物信息學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟管理領(lǐng)域等方面都有廣泛應(yīng)用。作為研究隨機現(xiàn)象的一個重要分支，隨機過程已經(jīng)是高新現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)精英不可或缺的工具。但由于隨機過程偏向于概率等隨機數(shù)學(xué)的特征，理論知識相對抽象復(fù)雜，學(xué)生由于適應(yīng)了確定性現(xiàn)象的思維習(xí)慣，對概率論這一類研究不確定現(xiàn)象的理論體系會顯得難以接受，對作為概率論拓展的隨機過程理論就更不容易掌握。MCMC（蒙特卡洛馬爾科夫鏈）方法在隨機過程的學(xué)習(xí)中是十分重要知識與方法，更好的傳授學(xué)生一種統(tǒng)計的思想，避開了較為復(fù)雜的積分計算等問題，讓學(xué)生用實際的編程操作通過Python或R語言等實現(xiàn)，去解決求解期望和概率的問題。提高學(xué)生對隨機過程的應(yīng)用、實用性與整體認識，提升對隨機過程課程學(xué)習(xí)的興趣。本文就MCMC方法融入隨機過程研究生課程做出討論。

1 課程簡介

隨機過程以初等概率論理論為基礎(chǔ)，又是概率論的延伸。分布函數(shù)、概率、概率密度、期望和獨立性等概念依舊是學(xué)習(xí)的重點，但隨機過程研究涉及到隨機變量由低維隨機變量到一族隨機變量，因此學(xué)習(xí)起來復(fù)雜，理論性強，需要綜合運用高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等學(xué)科基礎(chǔ)知識，對數(shù)學(xué)理論要求比較高，內(nèi)容也十分的抽象，難以理解。導(dǎo)致學(xué)生難以理解，缺乏學(xué)習(xí)熱情，所以在學(xué)科的學(xué)習(xí)中因該采用適當?shù)姆椒ū苊鈴?fù)雜的運算與繁瑣的公式，讓學(xué)生更加直觀的輕易的對隨機課程學(xué)科把握與認識。在隨機過程中通常，我們需要從貝葉斯后驗和歸一化后的概率中抽樣，這兩個概率的求解是十分復(fù)雜的，特別是涉及到分母的部分，通常分母部分需要復(fù)雜的積分運算才可以得到。我們無法利用簡明的數(shù)學(xué)公式將均勻分布的隨機數(shù)映射到所需要的分布的隨機數(shù)，要進行復(fù)雜的運算和公式的變形來實現(xiàn)，所以在講解的過程中，繁瑣的公式和復(fù)雜的計算，以及課程本身的抽象概念讓學(xué)生在理解時出現(xiàn)困難，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生產(chǎn)生倦怠感，不容易接受。MC（蒙特卡洛）方法可以很好的避免這個復(fù)雜的運算過程，生成服從所需分布的隨機數(shù)，再根據(jù)切比雪夫大數(shù)定理得到近似數(shù)值解，解決概率求解的問題。蒙特卡洛方法的是統(tǒng)計模擬與統(tǒng)計試驗的思想，這種思想需要學(xué)生來理解與學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生在今后的研究中打開思路，從其他角度來求解數(shù)學(xué)問題而不是一味的通過公式及復(fù)雜的運算來求解。但傳統(tǒng)的MC方法即靜態(tài)蒙特卡洛模擬，在面對十分復(fù)雜的分布時是很難以進行隨機模擬的，需要用到MCMC方法即動態(tài)蒙特卡羅模擬來實現(xiàn)。使用MCMC方法可以有效地避免復(fù)雜的運算，更好的讓學(xué)生理解隨機過程，簡化課程的難度，是非常有必要的。

MCMC方法就是構(gòu)造合適的馬爾科夫鏈進行抽樣而使用蒙特卡洛方法進行積分計算，既然馬爾科夫鏈可以收斂到平穩(wěn)分布。我們可以建立一個以π為平穩(wěn)分布的馬爾科夫鏈，對這個鏈運行足夠長時間之后，可以達到平穩(wěn)狀態(tài)。此時馬爾科夫鏈的值就相當于在分布π(x)中抽取樣本。而馬爾科夫鏈的定義與構(gòu)造本就是隨機過程課程的重要組成部分，在學(xué)生理解馬爾科夫鏈，以及知曉如何構(gòu)造馬爾科夫鏈后，加以引導(dǎo)就可以讓學(xué)生很輕易的理解MCMC方法，不會覺得困難與抽象。目前，MCMC方法已經(jīng)成為一種處理復(fù)雜統(tǒng)計問題的特別流行工具，尤其在經(jīng)常需要復(fù)雜的高維積分運算的貝葉斯分析領(lǐng)域更是如此?？梢娤?qū)W生傳授MCMC方法是十分必要的。在教學(xué)的過程中應(yīng)當使用Python或R語言在課堂上給學(xué)生展示實際問題的分析處理過程，把本來抽象的隨機過程課程直觀的展示出來而不是只是在黑板上進行理論的教學(xué)與公示的推導(dǎo)即證明，學(xué)生可以更輕松地理解與學(xué)習(xí)該門課程，同時加強了理論與實際的聯(lián)系提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情和興趣。讓學(xué)生在面對實際問題時知道該如何去做、有可以使用的工具、更有利于未來的研究。

2 教學(xué)改革

在隨機過程課程的教學(xué)內(nèi)容上，融入MCMC方法，可以使得課程的難度得到簡化，能避免復(fù)雜的運算使得學(xué)生難以理解。并且應(yīng)該在教學(xué)時使用實際的多媒體展示如何利用MCMC方法實現(xiàn)實際問題的分析，可以使得本來復(fù)雜抽象的課程變得更為直觀，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也比較容易掌握；可以在學(xué)生面前形象的展示理論與實際的聯(lián)系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)熱情。并且在教學(xué)類容上加入MCMC方法，會讓學(xué)生了解到計算機軟件和程序的使用使得該課程與機器學(xué)習(xí)、人工智能、計算機等學(xué)科交叉，與其它具有極強應(yīng)用背景的學(xué)科進行交叉復(fù)合，可以培養(yǎng)學(xué)生們的知識、綜合能力與思維素養(yǎng)。在當今社會各方面復(fù)合的綜合型人才才是最需要的，這也是MCMC方法融入該課程教學(xué)內(nèi)容的一大優(yōu)點。

部分R語言代碼如下：

N = 5000；

X =c()；

X=1000；

X=X；

K=0；

U=uunif(N)；

For (I in 2：N){

Y=rnorm(1，x[I-1]，2)；

If(u[i]＜(dnorm(y，2，4)/dnorm(x[i-1]，2，4)))

X[i]=y else{

X[i]=x[i-1]；

K=k+1；

}}

3 結(jié)語

綜上所述，隨機過程課程教學(xué)內(nèi)容必須優(yōu)化完善，在隨機過程課程的教學(xué)內(nèi)容中我們應(yīng)該把MCMC方法融入，并在教學(xué)中使用多媒體設(shè)施通過Python或R語言等進行方法的實際操作演示。可以使得學(xué)生在學(xué)習(xí)隨機過程課程時的理解難度降低，抽象的概念變得直觀，并與實際問題相關(guān)聯(lián)聯(lián)系不再只是單純的理論教學(xué)與推導(dǎo)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情。并與機械學(xué)習(xí)、計算機等學(xué)科相交叉，使得學(xué)生可以學(xué)習(xí)到計算機程序與數(shù)學(xué)軟件工具等相關(guān)知識，提高學(xué)生的綜合能力，更好的像復(fù)合型人才發(fā)展。