演變拓展　精彩不斷

吳國慶　朱杰

摘 要：本文通過研究一道課本習(xí)題演變成不同中考題（有些為中考壓軸題）的過程，體會不同地區(qū)不同命題專家對問題進(jìn)行演變的視角，體會課本是教學(xué)之根本.

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題;演變拓展;中考試題

作者簡介：吳國慶（1970-），男，湖北英山人，本科，中學(xué)高級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究;

朱杰（1975-），男，湖北紅安人，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題研究.

課本是教學(xué)之根本，中考命題之源泉，研究課本和中考試題，對于復(fù)習(xí)備考是非常有益的.它不僅讓我們抓綱務(wù)本，把握中考方向，而且通過對比源于一“宗”的中考試題，“洞察”命題人的智慧，為進(jìn)一步開采課本這座“寶藏”提供行之有效的方法.本文通過例析由課本一道經(jīng)典習(xí)題演變的中考題，讓讀者領(lǐng)悟方法、感悟思維、體悟精彩.

1 題目呈現(xiàn)

題目 （人教版數(shù)學(xué)九年級下冊第58頁第11題）如圖1，一塊材料的形狀是銳角△ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

解析 因?yàn)樗倪呅蜤GHF為正方形，AD是高，設(shè)正方形邊長為x，所以EF=KD=x.

由條件可得△AEF∽△ABC，所以AKAD=EFBC.

所以AD-KDAD=EFBC.

所以80-x80=x120，解得x=48.

即正方形零件邊長為48mm.

評析 這是相似三角形中的一道經(jīng)典課本習(xí)題，實(shí)質(zhì)是三角形內(nèi)接正方形問題，問題中由△AEF∽△ABC，△AEF的高AK=AD-KD=AD-EF，由AKAD=EFBC，建立關(guān)于正方形邊長的方程就可以求出邊長.

2 中考尋蹤

2.1 函數(shù)最值，多樣內(nèi)接

例1 （武漢市中考題）已知銳角△ABC中，邊BC長為12，高AD長為8.

（1） 如圖2，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K.

① 求EFAK的值;

② 設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值;

（2） 若AB=AC，正方形PQMN的兩個頂點(diǎn)在△ABC一邊上，另兩個頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長.

解析 （1）①因?yàn)镋F//BC，所以△AEF∽△ABC.

所以EFBC=AKAD，即EF12=AK8.

所以EFAK=32.

②如圖2，由題意知EH=KD=x，AK=8-x.

因?yàn)镋FAK=32，所以EF8-x=32.

所以EF=32（8-x）.

所以S=EF×EH=32（8-x）x=-32（x-4）2+24.

所以當(dāng)x=4（即EH=4）時，S的最大值是24.

（2）問題分兩種情況：

①如圖3，當(dāng)兩頂點(diǎn)在底邊BC上時，由（1）知PQAK=32.

因?yàn)樗倪呅蜳QMN是正方形，所以AK=AD-DK=AD-PQ=8-PQ.

所以PQ8-PQ=32，解得PQ=4.8.

②如圖4，當(dāng)正方形兩頂點(diǎn)M，N在腰AB上時，作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，交PQ于點(diǎn)G.

因?yàn)锳B=AC，AD⊥BC，所以BD=6.

又因?yàn)锳D=8，所以AB=10.

所以AB×CH=BC×AD，解得CH=9.6.

又CG=CH-HG=CH-PQ=9.6-PQ，

由（1）知PQCG=ABCH=2524.

即PQ9.6-PQ=2524，解得PQ=24049.

綜上所述，正方形PQMN的邊長為4.8或24049.

評析 三角形內(nèi)接矩形中融入最值問題，通過轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題來解答;對于“神同形異”、層層遞進(jìn)式的幾何證明計算題，后面的結(jié)論一般都需要利用前面的結(jié)論來證明，注意前后結(jié)論之間的“繼承性”（如本題（1）問結(jié)論在（2）（3）中的應(yīng)用）;分類解決三角形內(nèi)接正方形，問題中點(diǎn)M，N在邊AC上和在邊AB上，結(jié)果是相同的.

2.2 融入線束，深入相似

例2 （武漢中考題）如圖5，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE//BC，AQ交DE于點(diǎn)P.

（1）求證：DPBQ=PEQC;

（2）如圖7，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE于M，N兩點(diǎn).

①如圖6，若AB=AC=1，直接寫出MN的長;

②如圖7，求證：MN2=DM·EN.

解析 （1）因?yàn)镋D//BC，所以△ADP∽△ABQ.

所以DPBQ=APAQ.

同理PEQC=APAQ.

所以DPBQ=PEQC.

（2）①因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC，四邊形DEFG是正方形，所以BG=DG=DE=EF=FC=GF.

由（1）知DMBG=MNGF，MNGF=NEFC.

所以DM=MN=NE.

設(shè)MN=x，則AD=3? 22x，BD=3 2x.

所以AB=9 22x.

由AB=1=9? 22x，所以x=MN=29.

②由條件可得△BDG∽△ECF，所以DGCF=BGEF.

又DG=EF=GF，所以GF2=BG·FC.

由（1）知DMBG=MNGF=NEFC.

所以MNGF×MNGF=DMBG×NEFC.

所以MN2GF2=DM·NEBG·CF.

所以MN2=DM·EN.

評析 問題中融入“線束”，將三角形特殊化（直角三角形、等腰直角三角形），對等積式變形能力，圖形相似能力要求較高，試題為該市中考幾何壓軸題.

2.3 平移旋轉(zhuǎn)，拓展延伸

例3 （湖南永州中考題）如圖8，在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點(diǎn)G，H分別在BC，AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點(diǎn)I.若CI=4，HI=3，AD=92.矩形DFGI恰好為正方形.

（1）求正方形DFGI的邊長;

（2）如圖9，延長AB至點(diǎn)P，使得AC=CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當(dāng)點(diǎn)G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？

（3）如圖10，連接DG，將正方形DFGI繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG，DB相交于點(diǎn)M，N，求△MNG′的周長.

解析 （1）如圖8，因?yàn)镠I//AD，所以HIAD=CICD.

所以392=4CD，解得CD=6.

所以ID=CD-CI=2.

所以正方形的邊長為2.

（2）如圖9，設(shè)點(diǎn)G落在PC上時對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G′，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′.

因?yàn)镃A=CP，CD⊥PA，所以∠ACD=∠PCD，∠A=∠P.

因?yàn)镠G′//PA，所以∠CHG′=∠A，∠CG′H=∠P.

所以∠CHG′=∠CG′H.

所以CH=CG′.

所以IH=IG′=DF′=3.

因?yàn)镮G//DB，所以IGDB=CICD.

所以2DB=46，解得DB=3.

所以DB=DF′=3.

所以點(diǎn)B與點(diǎn)F′重合，

所以移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′.

所以移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形.

（3）如圖10中，將△DMI′繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF′R，此時點(diǎn)N，F(xiàn)′，R共線.

因?yàn)椤螹DN=∠NDF′+∠MDI′=∠NDF′+∠F′DR=∠NDR=45°，DN=DN，DM=DR，

所以△NDM≌△NDR.

所以MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′.

所以△MNG′的周長=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′N=2I′G′=4.

評析 通過幾何變換，讓圖形豐富多彩，拓寬了問題的“視野”，增加了問題的綜合性，問題為該市中考壓軸題.第（2）問通過計算證明點(diǎn)重合;第（3）問實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)中的“半角”基本圖形，通過旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形即可解決，

3 思考收獲

3.1 三角形內(nèi)接矩形問題

如果正方形的四個頂點(diǎn)都在三角形的邊上，這時正方形為此三角形的內(nèi)接正方形.當(dāng)三角形為銳角三角形時，三角形內(nèi)接正方形有三種情況（等腰時有兩種情況一樣，如例1（2）問）;當(dāng)三角形為直角三角形時，三角形內(nèi)接正方形有兩種情況（即正方形一邊在斜邊上或在直角邊上）;當(dāng)三角形為鈍角三角形時，三角形內(nèi)接正方形有一種情況（即正方形一邊在三角形最長邊上）.

如果問題涉及到三角形內(nèi)接矩形面積最值問題，可以根據(jù)三角形情況分類構(gòu)圖（矩形為正方形的一般情況，構(gòu)圖類似三角形內(nèi)接正方形問題），轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決（如例1（1）②問一樣），再綜合各種情況就可以得到三角形內(nèi)接矩形的面積最大值.

3.2 對課本問題的繼承性和發(fā)展性

例1和課本聯(lián)系緊密，所用基本知識與思想方法和課本問題相同，只不過問題高于課本（三角形內(nèi)接正方形問題，建立函數(shù)關(guān)系求最值問題），這也體現(xiàn)了該試題在中考題中的位置和作用（為試卷倒數(shù)第三題，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的應(yīng)用問題）.

例2從“線束”到直角三角形內(nèi)接正方形，兩者結(jié)合，設(shè)問深入，增加了問題的難度，讓人感覺到似乎“形在課本”，但“神在課外”，問題對等積式證明，相似能力要求較高，我們可以清楚地看到不同形的巧妙結(jié)合，會碰撞出很多精彩的“火花”，本題中考幾何壓軸題，對學(xué)生有挑戰(zhàn)性.

例3從三角形內(nèi)接矩形入手，第（2）（3）問融入了幾何變換（平移和旋轉(zhuǎn)），讓問題動態(tài)呈現(xiàn)，為問題打開了另“一扇門”.第（2）問通過計算證明點(diǎn)的重合;第（3）問旋轉(zhuǎn)后出現(xiàn)“半角”基本形.變換后的問題，拓寬了知識面，綜合性加大，對學(xué)生能力要求較高，起到了壓軸作用（本題為試卷最后一題）.

課本問題在復(fù)習(xí)中應(yīng)該在繼承中求發(fā)展，在發(fā)展中求變通.如果我們對課本問題不斷再思考，不斷演變拓展，就會發(fā)現(xiàn)精彩不斷，甚至?xí)坝|摸”到中考考題.

（收稿日期：2019-05-21）