“手拉手”模型的探索及應(yīng)用

摘 要：初中幾何中有許多基本圖形，這些基本圖形與其它知識點(diǎn)組合在一起，共同演繹著變化無窮的幾何綜合性問題.解決此類問題，一般要轉(zhuǎn)化、分解或者構(gòu)造出解題模型，然后應(yīng)用模型的相關(guān)結(jié)論解決問題.本文以“手拉手”模型為例進(jìn)行探索及應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：“手拉手”模型;等腰三角形;旋轉(zhuǎn)

作者簡介：沈建新（1981-），男，浙江德清人，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)解題研究.

1 原題呈現(xiàn)

題目 （浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊第44頁習(xí)題）已知，如圖1，∠EAB=∠CAD，AE=AB，AC=AD，求證：△EAC≌△BAD[1].

此題可通過SAS證明兩個三角形全等.若連接EB，CD，如圖2，究其實(shí)質(zhì)，是兩個頂角相等，且含有公共頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形.△BAD可以看作由△EAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，為便于觀察，當(dāng)旋轉(zhuǎn)一定的角度后使EC與BD相交，還可以得到哪些結(jié)論？

2 模型探索

2.1 模型初探

如圖3，銳角△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠CAD，則△EAB∽△CAD.連接BD，CE，AF，則有如下結(jié)論：

（1）△EAC≌△BAD;

（2）EC=BD;

（3）∠EFB=∠EAB=∠CAD;

（4）FA平分∠EFD.

證明 （1）因?yàn)椤螮AB=∠CAD，所以∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC.

所以∠EAC=∠BAD.

又因?yàn)锳E=AB，AC=AD，

所以△EAC≌△BAD.

（2）因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，所以EC=BD.

（3）如圖4，因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，所以∠1=∠2.

又因?yàn)椤?=∠4，所以∠EAB=∠EFB.

因?yàn)椤螮AB=∠CAD，所以∠EFB=∠EAB=∠CAD;

究其實(shí)質(zhì)，△EAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BAD，EA旋轉(zhuǎn)得到BA，CA旋轉(zhuǎn)得到DA，那么第三邊EC旋轉(zhuǎn)得到BD，即EC=BD，且旋轉(zhuǎn)角都相等，即∠EFB=∠EAB=∠CAD.

（4）解法1 如圖4，過點(diǎn)A分別作AM⊥EC，AN⊥BD，垂足分別為點(diǎn)M，N.

因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，所以∠1=∠2.

又因?yàn)锳E=AB，所以△EAM≌△BAN.

所以AM=AN.

所以FA平分∠EFD.

解法2 因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，可得AM=AN;

或利用面積法，可得S△EAC=S△BAD.

因?yàn)镋C=BD，所以AM=AN.

所以FA平分∠EFD.

解法3 如圖5，因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，所以∠1=∠2.所以A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.所以∠3=∠4.

同理因?yàn)椤鱁AC≌△BAD，所以∠5=∠6.所以A，D，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.所以∠7=∠8.

又因?yàn)榈妊鰽BE和等腰△ACD，且∠EAB=∠CAD，所以∠4=∠8.

所以∠3=∠7.

所以FA平分∠EFD.

2.2 模型再探

當(dāng)上述圖形中分別以AB，AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，且頂角∠EAB=∠CAD=60°或90°時，則兩個等腰三角形都特殊化為等邊三角形或等腰直角三角形（如圖6，7），上述結(jié)論仍然成立.

2.3 模型提煉

像這樣，含有頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個等腰三角形所組成的圖形的一類題目，我們可形象地稱之為“手拉手”模型.

這類題目的解決思路一般是：根據(jù)“旋轉(zhuǎn)出等腰，等腰可旋轉(zhuǎn)”，當(dāng)出現(xiàn)“一大一小兩個相似的等腰三角形，共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)時，可考慮“造旋轉(zhuǎn)，出全等”解題策略.

3 模型應(yīng)用

例1 （2015年?duì)I口）（1）如圖8，銳角△ABC中，分別以AB，AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠EAB=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖9，四邊形ABCD中，AB=7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長;

（3）如圖10，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時，求BD的長.

思路點(diǎn)撥 （1）BD=CE.利用手拉手模型可得△EAC≌△BAD.

（2）解法1 如圖11，過點(diǎn)A作AB⊥AE，交BC的延長線于點(diǎn)E.因?yàn)椤螦BC=45°，所以△ABE為等腰直角三角形.

連接DE，由手拉手模型可知△BAC≌△EAD.

所以BC=DE=3，∠AED=∠ABC=45°.

因?yàn)榈妊黂t△ABE，則BE=7 2 ，∠AEB=45°.

所以∠DEB=90°.

所以BD=（7 2）2+32=107.

解法2 如圖12，過點(diǎn)A作AB⊥AE，且AB=AE，連接EB，EC，由手拉手模型可知△EAC≌△BAD.

所以EC=BD.

因?yàn)榈妊黂t△ABE，所以BE=7 2.

因?yàn)椤螦BE=45°，且∠ABC=45°，所以∠EBC=90°.

所以EC=（7 2）2+32=107.

所以BD=107.

（3）解法1 如圖13，過點(diǎn)A作AB⊥AE，交BC的延長線于點(diǎn)E.因?yàn)椤螦BC=45°，所以

△ABE為等腰直角三角形.

所以BE=7 2，CE=7 2-3.

由手拉手模型可知△DAB≌△CAE.

所以BD=CE=7 2-3.

解法2 如圖14，過點(diǎn)A作AB⊥AE，交BD的延長線于點(diǎn)E.

因?yàn)椤螦BC=∠ADC，所以A，D，B，C四點(diǎn)共圓.

所以∠DBA=∠DCA=45°.

所以△ABE是等腰直角三角形.

所以AB=AE=7，所以BE=7 2.

由手拉手模型可知△AED≌△ABC.

所以ED=BC=3.

所以BD=7 2-3.

例2 如圖15，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=5 22，BC=12，以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ACD，則BD=.

思路點(diǎn)撥 如圖18，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AB為腰作等腰Rt△ABE，構(gòu)造手拉手模型.連接CE，可得△ABD≌△AEC.所以AB=AE，得EB=5，且∠EBC=90°.所以EC=13，即BD=EC=13.

變式1 如圖16，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2 3，BC=8，以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰△ACD，且∠DAC=120°，則BD=.

思路點(diǎn)撥 如圖19，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AB為腰作等腰△ABE，且使∠BAE=120°，構(gòu)造手拉手模型.連接CE，可得△ABD≌△AEC.所以AB=AE.在腰長為2 3，頂角為120°的等腰三角形中可求得EB=6，且∠EBA=30°.所以∠EBC=90°.所以EC=10.即BD=EC=10.

變式2 如圖17，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=150°，∠APC=90°，PB=1，則PC=.

思路點(diǎn)撥 如圖20，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，PB為邊作等邊△PBE，連接CE，構(gòu)造手拉手模型，可得△BPA≌△BEC.所以∠BEC=∠BPA=150°.又因?yàn)椤螧EP=60°，所以∠PEC=90°.通過圍繞點(diǎn)P的圓周角360°可得∠EPC=60°，且PE=1，所以PC=2.

4 解題反思

“天下難事，必作于易;天下大事，必作于細(xì)”.數(shù)學(xué)問題的解決亦是如此，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去尋找解題思路，通過觀察、類比、聯(lián)想，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形問題，就能容易獲解.在幾何解題中，有許多重要的數(shù)學(xué)模型，我們要進(jìn)行探索、提煉、歸納，再研究它們的應(yīng)用，這必將有利于提高我們的解題能力，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]范良火.浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2013.

[2]胡德林，黃靜.數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)的策略探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（06）：70-72.

（收稿日期：2019-05-07）