借助二次函數(shù)求幾何最值

何智　劉偉

摘 要：借助二次函數(shù)求有關(guān)幾何的最值問題，一是要選定一個變化的未知量作為自變量，并明確它的取值范圍;二是要判定所轉(zhuǎn)化出的二次函數(shù)在取最大值或最小值時的自變量是否在所確定的自變量的范圍里，若不在，就要用二次函數(shù)在對稱軸兩邊的增減性求最值.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);幾何最值;注意兩點

作者簡介：何智（1977-），男，陜西南鄭區(qū)人，本科，中學一級教師.研究方向：初中數(shù)學教學;

劉偉（1982-），男，陜西南鄭區(qū)人，本科，中學一級教師.研究方向：初中數(shù)學教學.

對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）來說：當a>0（a<0）時，函數(shù)圖象開口向上（下），其對稱軸x0=-b2a.當x=x0時，函數(shù)值有最?。ù螅┲?當x的取值在對稱軸x0=-b2a的左側(cè)時，y隨x的增大而減?。ㄔ龃螅?當x的取值在對稱軸x0=-b2a的右側(cè)時，y隨x的增大而增大（減小）.下面談談利用二次函數(shù)的性質(zhì)求幾何最值.

例1 如圖2，在ABCD中，AB=5，BC=10，sinB=45，點E，F(xiàn)分別是BC，AB上的點，連接DE，EF，DF，且EF⊥AB，則ΔDEF面積的最大值為.

解 設BF=x（0

因為AB=5，BC=10，sinB=45，EF⊥AB，所以EF=43x，BE=53x，AH=4，BG=6，CG=8.

則CE=10-53x.

所以SΔDEF=SABCD-SΔBEF-SΔCDE-SΔADF

=40-12x·43x-12（10-53x）×4-12（5-x）×8

=-23x2+223x

=-23（x-112）2+1216.

因為-23<0，0

例2 如圖4，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且AF⊥EF，則AE的最小值為.

解 設CF=x（0

因為四邊形ABCD是正方形，且AF⊥EF，

所以ΔADF∽ΔFCE.

所以ADCF=DFCE.

所以CE=（3-x）·x3.

由于AB為定值，在Rt△ABE中，要使AE最小，則需要BE最小，即只要CE最大即可.

因為CE=-13（x-32）2+34，又因為-13<0且0

所以由勾股定理可得AE的最小值為154.

例3 如圖5，等邊△ABC的邊長為3+3.

（1）正方形EFPN的頂點E，F(xiàn)在邊AB上，頂點N在邊AC上.在等邊△ABC及其內(nèi)部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）;

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長;

（3）如圖6，在等邊△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在邊AB上，點P，N分別在邊CB，CA上，求這兩個正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由.

解 （1）如圖5，正方形E′F′P′N′即為所求.

（2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x.

因為△ABC為等邊三角形，

所以AE′=BF′=33x.

則x+2 33x=3+3，解得x=9+3 32 3+3=3 3-3.

（3）如圖6，設正方形DEMN，正方形EFPH的邊長分別為m，n（不妨設m≥n），它們的面積和為S.

則AD=33m，BF=33n.

則33m+m+n+33n=3+3，即m+n=3.

所以S=m2+n2=2（m-32）2+92.

則當m=32時，S最小=92.

由開口方向向上的拋物線性質(zhì)可知：當m離對稱軸m=32越遠，則S的值越大.

由（2）知，m最大值為3 3-3.

所以S最大=2（3 3-3-32）2+92=99-54 3.

借助二次函數(shù)求幾何最值問題，要特別注意兩點：一是要選定與設出一個變化的未知量作為自變量，并要明確它的取值范圍;二是要判定二次函數(shù)在取最大值或最小值時的自變量是否在所設的自變量的范圍里面.若在，這就是所求的幾何問題中的最大值或最小值;若不在，就要利用二次函數(shù)在對稱軸兩邊的增減性求最大值或最小值.

參考文獻：

[1]武澤濤.中考試題研究·數(shù)學：配陜西地區(qū)使用[M].西安：陜西科學技術(shù)出版社，2018.

[2]陜西省教育廳教學研究室.陜西省2019年初中畢業(yè)學業(yè)考試說明[M].西安：陜西師范大學出版總社，2019.

（收稿日期：2019-07-14）