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    淺談避開題設(shè)“陷阱”的巧解方法

    2019-11-12 07:37:00韓秀
    活力 2019年12期
    關(guān)鍵詞:典例錯(cuò)因值域

    韓秀

    [摘 要]解答數(shù)學(xué)題,會遇到設(shè)陷阱的題,許多學(xué)生一般都會出錯(cuò)。要排除這種障礙,減少失誤,省時(shí)省力快速解答,獲得高分,運(yùn)用巧妙的解題技巧解陷阱題是最好的方法。

    [關(guān)鍵字]巧解;陷阱題;分類

    一、巧解陷阱題,問題分類要全面

    (典例1)解關(guān)于x的不等式|b-ax|0,a≠0).

    【錯(cuò)解】原不等式等價(jià)于-m

    ∴-m-b<-ax

    ∴ -m+b

    故不等式的解集為:

    【剖析】 上述解答錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a>0,其實(shí)當(dāng)a<0時(shí)還有一種情況:,此時(shí)解集為。

    【評注】 含字母系數(shù)的不等式,求解時(shí)要注意分類討論。

    典例2 ?“若m>0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”,此命題的逆否命題為若x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根,則m≤0為假命題。

    【剖析】 當(dāng)m>0時(shí),x2+x-m=0的判別式△=1+4m>0,所以原命題為真,因而逆否命題也為真.題設(shè)結(jié)論是錯(cuò)誤的,其原因是對復(fù)合命題“p或q”的理解有偏差。若x2+x-m=0沒有實(shí)數(shù)根,則△=1+4m<0,所以m<-,而不是m≤0,這種理解是錯(cuò)誤的,因?yàn)閙<- m<0或m=0m≤0, “p或q”有真即真,只要有一個(gè)成立即可。

    【評注】 對命題、復(fù)合命題的理解要到位,尤其是對“p或q”的理解更是如此。

    典例3 ?若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點(diǎn)P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等,則動點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是

    【延時(shí)成因】考生平時(shí)解題中對求空間軌跡問題的題型接觸少,本題中求解軌跡方程,受知識所限困難太大,又由于受選擇項(xiàng)A與B的干擾,使思維方向集中指向了平面解析幾何中的軌跡問題。

    【對策】 解選擇題也不能一味地追求速度,如在本題中,若胡亂作圖后,立即選擇答案,而不是考慮選項(xiàng)的科學(xué)性,則解選擇題的錯(cuò)誤率就會很高,排除干擾項(xiàng)的方法常見的有:特殊值法、代入法、圖像法、篩選法等。此題的思考方向應(yīng)在C與D選項(xiàng)上,設(shè)線段PB與底面BCD所成的角為α,∠ABP=β,則當(dāng)且僅當(dāng)α=β時(shí),P到底面BCD的距離與到棱AB的距離均等于PB ?sinα,又由實(shí)際作圖可得僅選D符合條件,故選D。

    二、巧解陷阱題,特殊情況要牢記

    典例4 ?已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別a,b,c,若b是 ,2的等比中項(xiàng),c是1,5的等差中項(xiàng),則a的取值范圍是______。

    【錯(cuò)因分析】 根據(jù)余弦定理知,若a是最大邊,當(dāng)b2+c2-a2>0 時(shí),三角形為銳角三角形.由于忽視當(dāng)c為最大邊時(shí)的情形,從而掉入漏解陷阱。

    【正確解析】 (,10) 因?yàn)閎是 ,2的等比中項(xiàng),所以b==1;

    因?yàn)閏是1,5的等差中項(xiàng),

    所以c==3.

    因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以

    ①當(dāng)a為最大邊時(shí),有

    解得3≤a<;

    ②當(dāng)c為最大邊時(shí),有,

    解得2

    由①②得 2

    【誤區(qū)警示】 求解此類題需樹立分類討論的思想意識,明確其分類“度”的選擇,分類時(shí)要做到不重、不漏。

    三、巧解陷阱題,排除干擾要果斷

    典例5 ?已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4,前n項(xiàng)和sn滿足=+1(n≥2) ,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_____.

    【錯(cuò)因分析】 利用an=sn-s(n-1)) (n≥2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式時(shí),未注意到首項(xiàng)a1=4是否滿足an=2n+1 ,導(dǎo)致求出的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式錯(cuò)誤。

    【正確解析】 an= 因?yàn)?+1(n≥2),且===2,

    所以數(shù)列 是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

    所以=2+(n-1)×1=(n+1),

    所以sn=(n+1)2.

    當(dāng)n=1時(shí),a1=4;

    當(dāng)n≥2時(shí),an=sn-s(n-1))=(n+1)2-n2=2n+1.

    因?yàn)閍1=4不符合上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

    【誤區(qū)警示】 對于已知條件中含有可轉(zhuǎn)化為an與 sn關(guān)系的數(shù)列題,求其通項(xiàng)公式時(shí)常利用公式an=進(jìn)行求解,此時(shí)需注意:一定要驗(yàn)證a1是否包含在an=sn-s(n-1)所求得的公式中,若不符合,其通項(xiàng)公式一定要分段來表示,如典例3中,a1=4不符合an=2n+1,所以其通項(xiàng)公式需寫成an=.

    典例6已知全集U=R,集合A={x│log2(5-x)≤2 },C={x│-a

    【錯(cuò)因分析】本題因思考不嚴(yán)謹(jǐn),導(dǎo)致實(shí)數(shù)a 的取值集合求錯(cuò),一般有兩種情形:一是解對數(shù)不等式log2(5-x)≤2時(shí),忽視了對數(shù)的真數(shù)要大于0,導(dǎo)致不等式求解出錯(cuò);二是想當(dāng)然地認(rèn)為集合C不為空集,導(dǎo)致實(shí)數(shù)a 的取值集合求錯(cuò)。

    【正確解析】{a│a≤-1} 因?yàn)閘og2(5-x)≤2 ,所以,解得1≤x<5,所以A={x│1≤x<5}.

    因?yàn)镃∩A=C,所以C∈A.

    當(dāng)C=φ時(shí),滿足C∈A,此時(shí)-a≥a+3,解得a≤;

    當(dāng)C≠φ時(shí),要滿足C∈A,則 .解得-

    由①②得,a≤-1,所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{a│a≤-1}.

    【誤區(qū)警示】 已知集合的運(yùn)算關(guān)系式,求解集合中參數(shù)的值(或取值范圍),這類題往往具有一定的開放性,牽涉因素較多,看上去錯(cuò)綜復(fù)雜。若嚴(yán)謹(jǐn)思考問題,則能突破解題難點(diǎn),優(yōu)化解題思路。

    三、巧解陷阱題,思考問題要嚴(yán)謹(jǐn)

    典例7 ?關(guān)于x的不等式x+-a2+3a>0 在x∈(2,+∞)上恰成立,則實(shí)數(shù)a的值為______。

    【點(diǎn)撥】將“關(guān)于x的不等式x+-a2+3a>0”在x∈(2,+∞)上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f(x)=x+在(2,+∞)上的值域?yàn)椋╝2-3a,+∞)”,求函數(shù)f(x)在(2,+∞)上的值域,得到關(guān)于a的方程,求出a的值.

    【解析】 -1或4設(shè)f(x)=x+,因?yàn)閤>2,所以f‘ (x)=1-=>0,所以f(x)=x+在(2,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),所以f(x)>f(2)=4. 又x+>a2-3a在(2,+∞)上恰成立,所以a2-3a=4,解得a=-1或a=4.

    【攻略秘籍】 求解此類含參不等式恰成立問題的關(guān)鍵是過好三關(guān):一是轉(zhuǎn)化關(guān),即將“關(guān)于x的不等式f(x)g(a)在區(qū)間D上恰成立”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f(x)在D上的值域是(g(a),+∞)”;二是求函數(shù)的值域關(guān),可以用函數(shù)的單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法等求函數(shù)的值域;三是方程關(guān),即列出參數(shù)a所滿足的方程,可求出a的值 。

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