淺談數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

秦孟彬

【摘 要】直觀想象是數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一;它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問題的過程[1]。在教學(xué)中我們可以以立體幾何、解析幾何，幾何背景問題等為載體采用多種手段培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)素養(yǎng);直觀想象;培養(yǎng)

【中圖分類號】G623.5?????? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）23-0283-01

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決問題的過程[1]。直觀想象是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決數(shù)學(xué)問題的重要素養(yǎng)，表現(xiàn)在能利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。那么在教學(xué)實踐中如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力呢？

一、以立體幾何為載體培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

人類本身生活在三維空間里，我們開設(shè)立體幾何這一必修課程對于幫助學(xué)生們認識我們生活的世界具有很大的現(xiàn)實意義，而直觀想象能力又是學(xué)生們學(xué)好幾何的關(guān)鍵。因此，通過數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)是恰當﹑適宜的。具體來講我們有以下幾種途徑培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

1.在觀察中發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中對直觀想象教學(xué)主要是通過對幾何的講解實現(xiàn)，所以在教學(xué)活動中，組織學(xué)生觀察棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺以及球這些幾何體。學(xué)生通過對棱柱的觀察發(fā)現(xiàn)在棱柱中有兩個面是互相平行的，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行。而在圓柱的觀察中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和棱柱一樣，圓柱也有兩個互相平行的面，但是中間卻是長方形構(gòu)成。經(jīng)過學(xué)生的直觀觀察之后我讓學(xué)生對空間和幾何體的結(jié)構(gòu)進行簡單講解，學(xué)生能夠總結(jié)著說出空間幾何體是由多面體和旋轉(zhuǎn)體簡單組合形成的。所以在進行對空間幾何體的基礎(chǔ)教學(xué)匯總，組織學(xué)生通過對事物的實際觀察實現(xiàn)對空間幾何體基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)，促進學(xué)生在進行解題過程中能夠?qū)臻g幾何體進行有效利用，從而實現(xiàn)對題目的作答。長此以往學(xué)生養(yǎng)成觀察的習(xí)慣后，慢慢地直觀想象能力就能得以加強。

2.利用身邊實物培養(yǎng)直觀想象能力。

我們生活在三維世界中，身邊的一切事物都是我們學(xué)習(xí)立體幾何的最好模型。在教學(xué)中我們要善于利用好身邊的這些實物模型，幫助學(xué)生直觀想象能力的形成。如我們的教室就是一個天然的長方體、教師里面的電燈、講臺、門窗、桌椅等都可以抽象成空間幾何體中的點線面。為此我們看一結(jié)合教材教學(xué)內(nèi)容，以同學(xué)們熟悉的場景設(shè)計模型進行舉例，讓學(xué)生感同身受地體會到總結(jié)所處的空間點線面的各種關(guān)系。再比如我們的課本、隨意翻開課本就是一個很好的二面角模型，通過課本的展開我們還可以研究二面角的范圍變化;我們教室門的開關(guān)與閉合正好可以演示線面平行的判定，也可以演示線面垂直的判定。這樣的例子隨處可見。因此在我們的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)中我們都要有意識地灌輸和利用這種思想。這對發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力能起到很好的效果。

3.通過多媒體教學(xué)手段發(fā)展學(xué)生直觀想象能力。

進入高中后學(xué)生從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的學(xué)生自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個好辦法。若利用幾何畫板、幾何圖霸、Flash動畫等教學(xué)工具對一些立體圖形進行不同角度觀察、揣摩，并且變化出線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對于建立空間觀念也是好方法。在教學(xué)實踐中有幾類幾何問題是運用多媒體手段的最佳選擇。

4.通過制作幾何模型發(fā)展學(xué)生直觀想象能力。

著名教育家陶行知曾說過“中國教育之通病是教用腦的人不用手，不教用手的人用腦，所以一無所能。中國教育革命的對策是手腦聯(lián)盟，結(jié)果是手與腦的力量都可以大到不可思議”。簡單地說陶先生教導(dǎo)我們要在學(xué)中做，在做中學(xué)。因此想要學(xué)生的直觀想象能力能得到較好較快的發(fā)展和提高，光靠用腦想象是不夠的，還要把動手結(jié)合起來。具體來講我們可以要求學(xué)生動手制作幾何模型幫助學(xué)生提升直觀想象能力。例如學(xué)完多面體和旋轉(zhuǎn)體以后我們可以開展多面體和旋轉(zhuǎn)體模型制作比賽。通過比賽既能讓學(xué)生動手實踐，在實踐中體會空間點線面的位置關(guān)系，留下的模型既能為教學(xué)提供教具也可以留在教室供學(xué)生使用幫助學(xué)生解題。另外我們也可以利用網(wǎng)絡(luò)的便捷性，購置一些磁鐵棒和磁鐵球，這樣就可以快速地根據(jù)需要拼接出一些我們需要的幾何體幫助學(xué)生理解問題。長期堅持這樣做，學(xué)生的直觀想象能力必然會得到提升。

二、以解析幾何為載體培養(yǎng)直觀想象能力

解析幾何在本質(zhì)上還是幾何，因此解析幾何題目也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的一大陣地。筆者的體會是，充分挖掘好解析幾何的內(nèi)容精心設(shè)計教學(xué)，對發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力是十分有效的。例如線性規(guī)劃里面還有一些動態(tài)問題，如約束條件含參數(shù)，可行域是變化的問題;目標函數(shù)含參數(shù)，目標函數(shù)的幾何圖形在變化的問題。為此在這節(jié)內(nèi)容上我們可以充分利用好多媒體手段，利用幾何畫板等工具將問題直觀化形象化動態(tài)化，這對發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力是很有幫助的。再如圓錐曲線類問題難點在于需要學(xué)生將圓錐曲線與函數(shù)等知識緊密聯(lián)系，運用圓錐曲線圖像分析問題構(gòu)建圓錐曲線問題的直觀模型。學(xué)生需要一定的直觀想象能力形成解決問題的思路，借助幾何直觀可以把圓錐曲線的弦長、垂直、參數(shù)范圍等問題簡明、形象的表示出來。解決此類問題的主要思想方法是用坐標法研究直線與圓錐曲線之間位置關(guān)系及方程與曲線之間的聯(lián)系。借助幾何畫板，學(xué)生能從可視化圖像中鞏固基礎(chǔ)，聯(lián)系相關(guān)知識點嘗試建立數(shù)學(xué)模型，找到解題思路。幾何畫板還具有很強的開放性，可以從本質(zhì)上探索圓錐曲線的幾何性質(zhì)。在問題解決與問題再探究中，增強學(xué)生從幾何直觀的角度來思考問題的意識，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，提高直觀想象能力。

三、以動態(tài)問題為載體培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

動點型問題是指題中圖形存在一個或多個動點，它們在線段、射線、直線或弧線上運動，求其動點的運動軌跡或者運動規(guī)律的問題[2]。問題難點在于需要學(xué)生利用幾何直觀了解動點的運動規(guī)律以及數(shù)與形的聯(lián)系，有較強的綜合性。動態(tài)圖形問題是指圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折或縮放等運動，其中一個圖形與另一個圖形重疊，并探求圖形之間變化的規(guī)律[2]。問題難點在于需要學(xué)生準確把握圖形的形狀變化，注意形狀變化的臨界點，在運動中分析，在變化中求解。教學(xué)時可以借助立體幾何畫板可以將文字轉(zhuǎn)化為圖形、化抽象為直觀。直觀呈現(xiàn)動點的動態(tài)過程，有助于學(xué)生觀察動點的變化情況，發(fā)現(xiàn)動點的運動規(guī)律。學(xué)生在圖形變化中探索不變的性質(zhì)，增強運用幾何直觀想象解決問題的意識，提高數(shù)形結(jié)合能力，讓直觀想象能力得以形成和發(fā)展。例如立體幾何中探尋點動點到定點或動點到定直線動點到某一平面的距離問題，傳統(tǒng)教學(xué)在黑板上作圖很難體現(xiàn)出點運動的規(guī)律，而我們只需要使用立體幾何畫板這一工具就可以很方便地讓點運動起來，這樣可以幫助學(xué)生提升直觀想象的能力，從而達到解決問題的目的。例如，在研究“柱體、錐體、臺體的表面積與體積”時，傳統(tǒng)教學(xué)方法只是在黑板上畫幾個圖，給學(xué)生幾個公式，而利用多媒體技術(shù)可以給出充分多的圖形，讓學(xué)生在觀察中分析眾多圖形，并且在分析后得出結(jié)論，并可以在更多圖形中驗證，使學(xué)生自己得到正確的公式。在幾乎是無限的空間中，研究幾何圖形，從中分析得出正確的結(jié)論，這是傳統(tǒng)教學(xué)不可能做到的，真正做到陳重穆教授提出的“淡化形式，注重實質(zhì)”的效果，徹底擺脫教學(xué)中“燒中段”的教學(xué)方式，使學(xué)生自己自主地建構(gòu)知識體系[3]。例如，在教學(xué)“二面角”這一課時，教學(xué)生如何畫二面角是一個重要內(nèi)容。教師用傳統(tǒng)的教學(xué)方法在黑板上畫給學(xué)生看，存在一定的弊端。如學(xué)生走神，教師畫時部分學(xué)生不注意看;教師作圖時，身體遮擋住部分學(xué)生視線;等等。而運用多媒體輔助教學(xué)，情形就大不一樣了。教師可以先用多媒體演示畫二面角的步驟和基本方法，由于用多媒體演示，手段新穎，學(xué)生的注意力集中，給學(xué)生留下的深刻印象。演示結(jié)束后，教師再到黑板上示范畫角，最后讓學(xué)生獨立畫角。這樣的教學(xué)過程設(shè)計，符合學(xué)生的心理需求，使學(xué)生對畫角方法清楚明了，教學(xué)效果好。學(xué)生的直觀想象能力自然就上去了。

四、以數(shù)形結(jié)合問題為載體培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系，其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。因此，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種簡單的關(guān)系，更是一種數(shù)學(xué)思想（方法）[4]。在數(shù)學(xué)解題過程中我們經(jīng)常要將一些代數(shù)問題幾何化。利用幾何直觀形象的特點幫助我們解題。充分挖掘好數(shù)形結(jié)合問題，把數(shù)的問題圖形化形象化，這對學(xué)生直觀想象能力的提升是有幫助的。例如函數(shù)與方程問題經(jīng)常需要將函數(shù)與方程互化，這就是一個很好的數(shù)形結(jié)合點。如求函數(shù)f（x）=x2+15-x2-6x+13的最大值。直接用函數(shù)方法求解是很難的，但我們不妨將其圖形化。我們不妨將其化為f（x）=（x-0）2+（0-15）2-（x-3）2+（0-2）2這樣就可以看成動點到兩個定點距離之差最大的問題。做出圖形后利用三角形兩邊之差小于第三邊即可求出最值。如果老師有意識引導(dǎo)學(xué)生這樣思考問題對于加強學(xué)生直觀想象能力是十分有幫助的。

總之直觀想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，我們在教學(xué)中要結(jié)合教材內(nèi)容精心設(shè)計，認真研究，充分準備這樣才能起到良好的效果。

參考文獻

[1]黃炳鋒.充分發(fā)揮技術(shù)作用發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2016（10）.

[2]喬霽，高琳，龐之與，楊芳，陳莉.超級畫板對學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)探究[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報，2016（9）.

[3]賈艷敏.運用多媒體巧學(xué)立體幾何[J].中國教育技術(shù)裝備，2011，（8上）.

[4]丁杭纓.給學(xué)生一個立體的“數(shù)學(xué)”——例談“數(shù)形結(jié)合”[J].人民教育2010，（7）.