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    2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷理科第21題探究

    2019-11-11 14:24崔靜靜趙思林
    理科考試研究·高中 2019年10期
    關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué)

    崔靜靜 趙思林

    摘?要:2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)理科Ⅲ卷第21題立意高、背景深、思維活、思路廣、解法多,本文從試題的立意、背景、解法等方面進(jìn)行分析與探究.

    關(guān)鍵詞:高考數(shù)學(xué);試題立意;解法探究

    1?試題呈現(xiàn)

    題目?(2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第21題)已知曲線C:y=x22,點(diǎn)D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.

    (1)證明:直線AB過定點(diǎn);

    (2)若以E(0,52)為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.

    2?試題的立意

    試題延續(xù)了全國(guó)卷最常考的風(fēng)格,考查了圓與圓錐曲線的位置關(guān)系,同時(shí)也涉及到中點(diǎn)弦、圓和拋物線弦相切等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).本題與2015年高考數(shù)學(xué)四川理科卷的第10題頗為相似,都是利用中點(diǎn)的性質(zhì)得到直線的斜率,即為切點(diǎn)橫坐標(biāo),由定點(diǎn)和切點(diǎn)連線的斜率和垂直,從而求得切點(diǎn)坐標(biāo).

    該題將直線方程、拋物線、圓、切線、導(dǎo)數(shù)、向量等知識(shí)有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)了知識(shí)的基礎(chǔ)性與綜合性,充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與核心素養(yǎng).題目緊扣考綱,相比以往的圓錐曲線試題有所創(chuàng)新,讓學(xué)生產(chǎn)生似曾相識(shí)又陌生的感覺.從閱卷情況來看,此題入手容易,得1—4分的比比皆是,但得高分難、得滿分很少.因此,試題具有較高的信度和效度、合適的難度和較好的區(qū)分度,這有利于區(qū)分考生不同思維層次的水平,有利于高校選拔人才.本題將知識(shí)、方法、思想、核心素養(yǎng)融為一體,是一道著眼于考查核心素養(yǎng)并且極富思維價(jià)值的好題[1].

    3?試題的背景

    背景1?以拋物線的阿基米德三角形為背景,動(dòng)點(diǎn)D在拋物線的準(zhǔn)線上,則切點(diǎn)弦過定點(diǎn)(拋物線的焦點(diǎn)).該性質(zhì)的逆命題也成立,且切點(diǎn)弦AB的斜率為點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

    背景2?圓錐曲線的極點(diǎn)和極線.

    4?解法探究

    41?第(1)問解析

    解法1?設(shè)點(diǎn)D(t,-12),A(x1,y1).

    又因?yàn)榍€C:y=x22,則y′=x.

    則切線DA的斜率為x1,故y1+12x1-t=x1.

    整理得2tx1-2y1+1=0.

    同理2tx2-2y2+1=0.

    故直線AB的表達(dá)式為2tx-2y+1=0.

    所以直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    解法2?設(shè)點(diǎn)D(t,-12),A(x1 ,x21 2),B(x2 ,x22 2).

    又因?yàn)榍€C:y=x22,則y′=x.

    則直線AB的方程為y=x1+x22x-x1x22.

    易得,點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2.①

    將點(diǎn)D坐標(biāo)代入①式,得

    -12 = tx1 -x21 2,即t = x21 -12x1 .

    同理t = x22 -12x2 .

    故x21 -12x1 ?= x22 -12x2 ,化簡(jiǎn)得x1x2=-1.

    故直線AB的方程為y=x1+x22x+12,過點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?該解法1與解法2相似.避免了設(shè)直線AB的方程,通過分析得到DA,DB的斜率分別為x1,x2,再代入化簡(jiǎn),便可輕松獲解.

    解法3?設(shè)點(diǎn)D(t,-12),A(x1,y1).

    又因?yàn)榍€C:y=x22,則y′=x.

    設(shè)直線AB的表達(dá)式y(tǒng)=kx+b,A(x1 ,x21 2),B(x2 ,x22 2).

    聯(lián)立y=x22,y=kx+b. 消去y可得x2-2kx-2b=0.

    因此,x1+x2=2k,x1x2=-2b.

    易得點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2.②

    同理,點(diǎn)B處的切線方程為y = x2 x-x22 2.③

    聯(lián)立②③式,解得D(x1+x22,x1x22).

    又點(diǎn)D在直線y=-12上,則x1x22=-12.

    所以b=-x1x22=12.

    故直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?聯(lián)立直線與拋物線方程,借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解得縱截距b值.

    解法4?設(shè)點(diǎn)D(t,-12),則過點(diǎn)D的切線方程為y+12=k(x-t).

    聯(lián)立y=x22,y+12=k(x-t).

    消去y可得x2-2kx+2kt+1=0.④

    由題意可知Δ=4k2-4(2kt+1)=0.⑤

    所以④的兩根x1=x2=k.

    又因?yàn)榍€C:y=x22,則y′=x.

    設(shè)直線DA,DB斜率分別為k1,k2,且A(x1 ,x21 2),B(x2,x22 2).則k1,k2是方程⑤的兩根,則k1+k2=2t,k1k2=-1.

    所以直線AB的方程為y=k1+k22x-k1k22.

    故直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?解法3與解法4有異曲同工之處,據(jù)悉,該思想方法是大多數(shù)學(xué)生在考場(chǎng)上選擇的方法.此法思維切入點(diǎn)低,但運(yùn)算量稍大,充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)應(yīng)試中“運(yùn)算能力是萬能之本”.

    解法5?由對(duì)稱性可知直線AB所過定點(diǎn)必在y軸上.

    當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,-12)時(shí),該點(diǎn)到拋物線的兩切點(diǎn)為A(1,12),B(-1,12),直線AB與y軸交于點(diǎn)M(0,12).

    設(shè)過點(diǎn)M(0,12)的直線AB的方程為y=kx+12,A(x1 ,x21 2),B(x2 ,x22 2).

    聯(lián)立y=x22,y=kx+12. 消去y可得x2-2kx-1=0.

    從而,x1+x2=2k,x1x2=-1.

    又曲線C:y=x22,則y′=x.

    點(diǎn)A處的切線方程為y = x1 x-x21 2,同理點(diǎn)B處的切線方程為y = x2 x-x22 2.

    所以D(x1+x22,x1x22),即D(k,-12).

    則D(k,-12)是直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn),所以直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?該方法體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

    解法6?設(shè)點(diǎn)D(t,-12),則直線AB是點(diǎn)D的極線.

    從而,直線AB的方程為y-122=tx2.

    化簡(jiǎn)得y=tx+12,所以直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    解法7?焦點(diǎn)F(0,12)和準(zhǔn)線y=-12是拋物線的極點(diǎn)和極線.

    由配極原則,點(diǎn)F的極線過點(diǎn)D,則點(diǎn)D的極線過點(diǎn)F,即直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?如果考生在考場(chǎng)上能夠想到極點(diǎn)和極線的基本定理,便可“秒殺”此題.一般來說,“想得多,就算得少”,相反“想得少,就算得多”,面對(duì)像高考這樣短時(shí)間內(nèi)選拔人才的方式,應(yīng)重視“多想少算”的教育理念.

    解法8?由題意有y1-12x1=t=y2-12x2,即kAF=kBF,即A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線.

    化簡(jiǎn)上式得x1y2-x2y1x1-x2=12.

    直線AB的方程為y-y1x-x1=y2-y1x2-x1.

    故當(dāng)x=0時(shí),y=12.

    即直線AB過定點(diǎn)(0,12).

    點(diǎn)評(píng)?第(1)問只要把握住切點(diǎn)弦的方程和曲線在某點(diǎn)的切線方程是一致的,問題就能迎刃而解.

    42?第(2)問解析

    解法1?設(shè)直線AB的方程為y=tx+12.

    聯(lián)立y=x22,y=tx+12. 消去y可得x2-2tx-1=0.

    則有x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.

    設(shè)點(diǎn)M為A,B的中點(diǎn),則M(t,t2+12).

    由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),AB與向量(1,k)平行,所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.

    當(dāng)t=0時(shí),圓的方程為x2+(y-52)2=4;

    當(dāng)t=±1時(shí),圓的方程為x2+(y-52)2=2.

    當(dāng)t=0時(shí),S=3;當(dāng)t=±1時(shí),S=4 2.

    因此,四邊形ADBE的面積為3或4 2.

    解法2?設(shè)直線AB的方程為y=tx+12.

    由t = y2 -y1 x2 -x1 ?= x22 2-x21 2x2 -x1 ?= x1 ?+ x2 2,

    化簡(jiǎn)得y1+y22=t(x1+x22)+12=t2+12.

    故中點(diǎn)為M(t,t2+12).下同解法1.

    點(diǎn)評(píng)?利用中點(diǎn)結(jié)論可得AB斜率即為切點(diǎn)橫坐標(biāo),由定點(diǎn)和切點(diǎn)連線的斜率和垂直,可求得切點(diǎn)坐標(biāo).這種“設(shè)而不求”法通常用于對(duì)稱性問題 [2].相較解法1,解法2運(yùn)算用時(shí)少,效率高,不易出錯(cuò).

    解法3?由題意有AE=BE.化簡(jiǎn)該表達(dá)式,可得R2=2或R2=4.其余同上.

    點(diǎn)評(píng)?第(2)問實(shí)際上考查了圓和圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及中點(diǎn)弦,圓和拋物線的弦相切,在近幾年的全國(guó)卷中多次出現(xiàn),應(yīng)引起重視.

    5?結(jié)束語

    本題解法較多,有的方法雖然也能解決問題,但運(yùn)算量偏大,過程較繁瑣.只要靈活地選擇數(shù)學(xué)方法,便能出奇制勝,達(dá)到多想少算的效果.教師還應(yīng)把握好因材施教的教學(xué)原則,對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生,應(yīng)要求其掌握極點(diǎn)、極線基本定理,阿基米德三角形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

    參考文獻(xiàn):

    [1]崔靜靜,趙思林.一個(gè)數(shù)學(xué)探究性問題的多角度研究——2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第15題評(píng)析與引申[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2017(06): 47-50.

    [2]王后雄,馬春華等.高中數(shù)學(xué)教材完全解讀,選修2-1[M].北京:中國(guó)青年出版社,2015.

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