2019年全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第20題探究與探源

劉炳輝

摘?要：2019年全國(guó)Ⅱ卷文科第20題以橢圓的焦點(diǎn)三角形為依托，主要考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了推理論證能力和運(yùn)算求解能力，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀(guān)想象的核心素養(yǎng).本文對(duì)這道試題進(jìn)行解法探究、變式探究和源頭探究.

關(guān)鍵詞：橢圓; 解法; 變式;源頭

2019年全國(guó)Ⅱ卷文科第20題以橢圓的焦點(diǎn)三角形為依托，主要考查了橢圓的定義和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力，旨在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀(guān)想象的核心素養(yǎng).這道試題第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)難度較大，兩問(wèn)之間具有很好的梯度性，具有很好的選拔功能.

1?試題再現(xiàn)

題目?（2019年全國(guó)Ⅱ卷文科第20題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若ΔPOF2為等邊三角形，求C的離心率;

（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.

2?解法探究

2.1?第（1）問(wèn)解析

解法1?連接PF1，由ΔPOF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，|PF2|=c，|PF1|=3c.

于是2a=|PF1|+|PF2|=（3+1）c.

故曲線(xiàn)C的離心率e=ca=3-1.

解法2?在ΔPOF2中，|PO|=|PF2|=|OF2|=c.

設(shè)P（x0，y0），則|x0|=|OP|cos60°=12c，|y0|=|OP|sin60°=32c.

所以P（±12c，±32c）.代入橢圓方程x2a2+y2a2-c2=1，整理可得，

c4-8a2c2+4a4=0.

所以（ca）4-8（ca）2+4=0.

即e4-8e2+4=0.

因?yàn)?

所以e=4-2 3=3-1.

評(píng)注?解法1根據(jù)ΔPOF2為等邊三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2=90°，再根據(jù)直角三角形和橢圓定義可得;解法2把點(diǎn)P的坐標(biāo)根據(jù)解三角形的知識(shí)表示出來(lái)，再代入橢圓方程，根據(jù)齊次化法和橢圓離心率公式整理成關(guān)于e的方程，由求根公式解出e2，再解出離心率.

2.2?第（2）問(wèn)解析

解法1?由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P（x，y）存在當(dāng)且僅當(dāng)12|y|·2c=16，yx+c·yx-c=-1，x2a2+y2b2=1.

即c|y|=16.①

x2+y2=c2.②

x2a2+y2b2=1.③

由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2.

又由①知y2=162c2，故b=4.

由②③得x2=a2c2（c2-b2），所以c2≥b2.

從而a2=b2+c2≥2b2=32.故a≥42.

當(dāng)b=4，a≥42時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.

所以b=4，a的取值范圍為[42，+∞）.

評(píng)注?根據(jù)三個(gè)條件列三個(gè)方程，解方程組可得b=4，根據(jù)x2=a2c2（c2-b2），所以c2≥b2.從而a2=b2+c2≥2b2=32.故a≥4 2.

解法2?由橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式可得，

SΔF1PF2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=b2=16.

所以b=4.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），由焦半徑公式可得， |PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0.

記|F1F2|=2c，由題設(shè)可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P（x0，y0）存在當(dāng)且僅當(dāng)

（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2，12（a+ex0）（a-ex0）=16.

整理可得a2+e2x20=2c2，a2-e2x20=32. （*）

所以由（*）式可解得a2=16+c2.

所以b2=a2-c2=16.所以b=4.

由（*）式可得，e2x20=c2-16，x20=1e2（c2-16）.

所以c2≥16.從而a2=16+c2≥32.

所以a≥42.即a的取值范圍為[42，+∞）.

評(píng)注?本解法運(yùn)用了圓錐曲線(xiàn)中的二級(jí)結(jié)論橢圓的焦半徑公式，由勾股定理和三角形面積公式列出方程組，解方程組可得出b2的值，從而得出b的值，由方程組把x20表示出來(lái)，得出c2的范圍，從而得出a的范圍.

解法3?由橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式可得，

SΔF1PF2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=b2=16.

所以b=4.

由題意可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P存在當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|·|PF2|=32，|PF1|2+|PF2|2=4c2.

由重要不等式可得，|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|.即4c2≥64.所以c2≥16.

所以a2=b2+c2≥32.所以a≥42.

所以a的取值范圍為[42，+∞）.

評(píng)注?由圓錐曲線(xiàn)中的二級(jí)結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形面積容易得b的值，再運(yùn)用勾股定理、三角形面積公式和重要不等式可得出c2的取值范圍，從而得出a的范圍.

3?變式探究

變式1?已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥F1F2，且∠F1PF2=60°，求C的離心率.

解?由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c.

在RtΔPF1F2中，|PF1|=|F1F2|tan60°=2 3c3，|PF2|=|F1F2|sin60°=43c3.

所以2 3c=2a.所以e=ca=3 3.

評(píng)注?本變式題主要考查了橢圓的離心率.解答過(guò)程中運(yùn)用了橢圓的定義、橢圓的離心率公式以及解直角三角形的知識(shí).

變式2?已知點(diǎn)P為橢圓C：x29+y26=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解?設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)P（x0，y0），a2=9，b2=6，所以c=3，|F1F2|=2c=2 3.

所以SΔPF1F2=12|F1F2||y0|=3|y0|=3.

所以y0=±1.代入x209+y206=1，解得x0=±302.

所以P（±302，±1）.

評(píng)注?本變式主要考查了橢圓的定義和橢圓的方程.先根據(jù)面積得出所求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入橢圓方程得到橫坐標(biāo).

變式3?已知點(diǎn)P為橢圓C：x29+y26=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左右焦點(diǎn)，且∠F1PF2=60°，求ΔPF1F2的面積.

解?由已知可得，|F1F2|=2a2-b2=2 3，

SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=34|PF1||PF2|.

由橢圓的定義可得，|PF1|+|PF2|=6.

所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=36.

由余弦定理得，|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12.

所以|PF1||PF2|=8.

所以SΔPF1F2=2 3.

評(píng)注?本變式考查了橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式的應(yīng)用.運(yùn)用了橢圓的定義、余弦定理和三角形面積公式.

變式4?設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為33，P為該橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足∠F1PF2=90°，若ΔPF1F2的面積為2，求橢圓C的方程.

解?由題設(shè)可得，e=ca=33.

所以a2=3c2，b2=a2-c2=2c2.

SΔPF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan45°=b2=2.

所以2c2=2.所以c2=1.

所以a2=3，b2=2.

所以橢圓C的方程為x23+y22=1.

評(píng)注?本題運(yùn)用了橢圓的定義、橢圓的離心率公式以及橢圓的焦點(diǎn)三角形ΔPF1F2的面積公式SΔPF1F2=b2tanθ2（其中θ=∠F1PF2，P為橢圓C的一點(diǎn)）.

4?源頭探究

高考試題源于教材而高于教材，本文通過(guò)認(rèn)真審視高考真題，發(fā)現(xiàn)人教A版《選修1-1》第41頁(yè)習(xí)題2.1A組第六題就是它的影子：已知點(diǎn)P是橢圓x25+y24=1上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

高考命題專(zhuān)家在命制試題時(shí)，也會(huì)對(duì)歷年高考真題密切關(guān)注并適當(dāng)改編作為新的高考試題，此高考真題第（1）問(wèn)可以看成2018年全國(guó)Ⅱ卷文科第11題的翻版：已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（?）.

A.1-32?B.2-3?C.3-12?D.3-1

5?解題啟示

羅增儒說(shuō)：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿(mǎn)足，從而導(dǎo)致心理封閉，恰好錯(cuò)過(guò)了提高的機(jī)會(huì)，無(wú)異于入寶山而空返.”本例解題沒(méi)有停留在題目的求解出上，而是調(diào)動(dòng)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，進(jìn)行一題多解.在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，通過(guò)滲透一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生從多角度、多方位去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生求異的創(chuàng)造性思維，可以打破思維定勢(shì)和機(jī)械的思維模式.本例解題從多角度、多方位對(duì)該高考真題進(jìn)行變式探究，生成一系列與該高考真題相關(guān)的題目，使學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)一步精細(xì)化，不局限于該真題的解出，而是隨機(jī)應(yīng)變，舉一反三，觸類(lèi)旁通.高考試題凝結(jié)了命題專(zhuān)家的心血和智慧，具有很好的研究?jī)r(jià)值.在平時(shí)的教學(xué)中，我們要嘗試對(duì)高考真題進(jìn)行多解探究和變式探究，通過(guò)“一題多解”和“一題多變”演繹問(wèn)題的產(chǎn)生過(guò)程，提高學(xué)生思維的變通性，可以開(kāi)拓學(xué)生的知識(shí)視野，增強(qiáng)學(xué)生的綜合思維能力和發(fā)展創(chuàng)造思維，同時(shí)有助于學(xué)生深刻理解知識(shí)的系統(tǒng)性、特殊性和廣泛性，提高學(xué)生的綜合思維能力和解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).所以我們還要嘗試對(duì)高考真題進(jìn)行源頭探究，可以防止復(fù)習(xí)備考的盲目性.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.