基礎(chǔ)性與綜合性并舉

祝峰

摘?要：在2019年全國Ⅰ卷理科第19題探究過程中，分析“基礎(chǔ)性”“綜合性”考查要求的特點，啟示教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生建立牢固的基礎(chǔ)知識體系，并不斷優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提升綜合素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：考查要求;基礎(chǔ)性;綜合性;教學(xué)啟示

1?問題提出

強調(diào)基礎(chǔ)性是高考命題不變的原則.考查基礎(chǔ)知識、基本能力、基本態(tài)度與價值觀，檢驗學(xué)生進入高校進行專業(yè)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展所需的通用性知識、能力和素養(yǎng)，以引導(dǎo)教學(xué)中夯實學(xué)生成長和后續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ).高考命題在重基礎(chǔ)抓主干的同時亦強調(diào)綜合性，特別是學(xué)科內(nèi)部各主線知識之間的綜合，達到全面考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的目的，可謂是基礎(chǔ)性與綜合性并舉.以具體試題為例，分析試題對知識、技能、方法、思想的基礎(chǔ)性、工具性、通用性、綜合性考查的目標(biāo)要求，能更好地發(fā)揮試題對教學(xué)的正向引導(dǎo)作用.本文通過對2019年全國Ⅰ卷理科第19題的探究，體會基礎(chǔ)性與綜合性并舉的考查要求，并感悟其給教學(xué)的啟示.

2?試題呈現(xiàn)

題目?（2019年全國Ⅰ卷理科第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為32的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程;

（2）若AP=3PB，求|AB|.

3?試題探究

3.1?第（1）問解析、評析、變式

解析?設(shè)直線l方程為y=32x+n，A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線定義可知AF+BF=x1+x2+32=4，所以x1+x2=52.聯(lián)立y=32x+n，y2=3x.

整理得 9x2+（12n-12）x+4n2=0.

注意到Δ=12n-122-144n2>0，所以n<12.

由x1+x2=-12n-129=52，解得n=-78.

所以直線l的方程為y=32x-78.

即12x-8y-7=0.

評析?拋物線方程、拋物線定義、直線方程的不同形式、二次方程、韋達定理是這一問考查的必備知識.解析法的基本原理是重點考查的關(guān)鍵技能，在對問題進行觀察、比較、分析、綜合后，用恰當(dāng)?shù)男问皆O(shè)出直線方程，依據(jù)拋物線定義用坐標(biāo)將|AF|+|BF|=4表示成x1+x2=52的形式，建立x1+x2與方程根的聯(lián)系，這一系列的步驟均是解析法熟練程度的具體體現(xiàn)，體現(xiàn)試題對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想的考查要求.

在作圖、設(shè)坐標(biāo)和方程、轉(zhuǎn)化與化歸、方程求解的過程中，學(xué)生表現(xiàn)出推理縝密、運算有序、表述清晰的思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的體現(xiàn).

變式1?已知拋物線C：y2=2px（p>0），焦點為F，直線12x-8y-7=0與C交于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，求C的方程.

變式2?已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，直線12x-8y-7=0與C交于A，B 兩點，求|AF|+|BF|.

變式3?已知拋物線C：y2=3x，焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，與x軸交于點P，若P（712，0），且|AF|+|BF|=4，求直線l的方程.

3.2?第（2）問解析、評析、變式

解法1?設(shè)P（m，0），設(shè)直線l方程為x=23y+m.

聯(lián)立x=23y+m，y2=3x， 得 y2-2y-3m=0.

由Δ=4+12m>0，解得m>-13.

因為y1+y2=2，y1y2=-3m，AP=3PB ，所以y1=-3y2 ，進而解得y1=3，y2=-1.

故AB=1+49·（y1+y2）2-4y1y2=133·4+12=4133.

（亦可把y1=3，y2=-1代入C的方程得x1=3，x2=13，用兩點間距離公式直接求出|AB|=4133）

解法2?設(shè)點P坐標(biāo)為（m，0），AB方程為x=m+tcosθ，y=tsinθ， 其中t∈R，tanθ=32.

代入C的方程得t2sin2θ-3tcosθ-3m=0.

設(shè)其兩根為t1，t2，不妨令|t1|>|t2|.

由AP=3PB知t1=-3t2，故|AB|=-4t2.

注意到t1+t2=3cosθsin2θ=-2t2，tanθ=32.

所以cosθ=21313，sinθ=31313.

故|AB|=6cosθsin2θ=4133.

評析?本題考查的必備知識為直線方程的形式、平面向量的概念、平面向量的坐標(biāo)運算、平面上兩點距離公式、直線的參數(shù)方程、參數(shù)的幾何意義.同樣是考查解析法，第（1）問側(cè)重于基礎(chǔ)性考查，這一問注重解析幾何知識內(nèi)部的聯(lián)系，要求學(xué)生注重幾何學(xué)科整體的知識結(jié)構(gòu)、功能和相互作用.考查對解析幾何與平面向量、普通方程與參數(shù)方程、方程特點與曲線幾何性質(zhì)這些知識全面理解和應(yīng)用.對于直線方程，可以用普通方程亦可用參數(shù)方程，普通方程y=32（x-m），x=23y+m中選擇后者;求解距離不用兩點間距離公式，而是AB=1+49·（y1+y2）2-4y1y2，均是綜合能力的表現(xiàn).參數(shù)方程的應(yīng)用中參數(shù)t的幾何意義、θ的意義、|AB|=-4t2以及三角變換的應(yīng)用需有整體的認(rèn)知能力才能做到.

在恰當(dāng)?shù)倪x擇直線方程、向量語言AP=3PB準(zhǔn)確的坐標(biāo)化、AB的合理表示、嚴(yán)密的推理和運算、井然有序地描述過程中，能表現(xiàn)出學(xué)生的解析幾何思想和綜合能力水平、能察覺到學(xué)生的思維品質(zhì)特點，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

變式1?已知拋物線C：y2=3x，斜率為32的直線l與x軸交于點P，與C交于點A，B，若AP=λPB，|AB|=4133，求λ.