對(duì)邊簡(jiǎn)支功能梯度板振動(dòng)功率流特性分析

吳江海， 朱竑禎， 安 方， 殷學(xué)文

（1. 中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 無(wú)錫214082； 2. 南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京210016）

0 引 言

功能梯度材料(FGM)是一種新型復(fù)合材料，在微觀上具有空間連續(xù)梯度變化的結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)材料屬性在結(jié)構(gòu)剖面上的連續(xù)梯度變化。 與傳統(tǒng)的層合材料相比，不同材料間的宏觀界面被消除了，從而可以通過(guò)人為設(shè)計(jì)材料內(nèi)部的梯度變化有效實(shí)現(xiàn)內(nèi)力、溫度等物理量沿厚度方向的漸變，達(dá)到緩解熱應(yīng)力[1]、避免或降低應(yīng)力集中的目的。

目前大部分有關(guān)功能梯度材料結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的研究集中在熱應(yīng)力、彎曲、穩(wěn)定性方面[2-5]，而針對(duì)功能梯度材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方面的研究也是比較熱門(mén)的。曹志遠(yuǎn)[6]采用與矩形板邊界條件相應(yīng)的梁函數(shù)組合級(jí)數(shù)，求解得到適用于多種邊界條件的功能梯度矩形板的固有頻率與振型的解析解。 孫丹[7]等采用一階剪切變形理論，由頻散方程給出了波在功能梯度板中傳播的頻散及相速度曲線，分析了功能梯度材料指數(shù)對(duì)波傳播的影響規(guī)律。 Singh 等[8]采用殼單元研究了功能梯度板殼的非線性振動(dòng)和屈曲問(wèn)題。黃小林[9]等基于Reddy 高階剪切變形理論和廣義Karman 型方程，用雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法研究黏彈性地基上功能梯度材料板的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)特性，并討論了材料組份、平板尺寸及地基參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。 關(guān)于功能梯度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題研究大多僅僅考慮材料的梯度指數(shù)對(duì)于振動(dòng)模態(tài)的影響，而很少以此為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)中的振動(dòng)能量分布。

振動(dòng)實(shí)際上是一種能量的傳遞，振動(dòng)功率流就基于結(jié)構(gòu)上的力和速度，反應(yīng)結(jié)構(gòu)中能量的傳遞，從能量的觀點(diǎn)研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)和噪聲問(wèn)題。 平板功率流的研究已經(jīng)較為成熟，在1978 年Goyder[10]就引入功率流的概念，以此分析有限大平板和梁的彎曲波、扭轉(zhuǎn)波以及功率流的傳播。 Seo 等[11]采用波傳播法求解了中高頻域內(nèi)含加強(qiáng)筋的平板振動(dòng)響應(yīng)，基于功率流研究了平板內(nèi)的能量分布，尤其對(duì)板與梁組合界面上波的反射與功率流的傳播做了詳細(xì)的分析。 張雄等[12]基于薄板有限元模型，研究了不同邊界條件下的薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)功率流特性，并且繪制了功率流矢量場(chǎng)分布圖，以此反應(yīng)振動(dòng)源的位置以及振動(dòng)能量的分布特征。 大部分平板振動(dòng)功率流的研究都是關(guān)于各向同性板的分析，而對(duì)于功能梯度板的研究較少。 華中科技大學(xué)的張玲等[13]基于四邊簡(jiǎn)支矩形板的解析解，采用模態(tài)疊加法，得到了四邊簡(jiǎn)支功能梯度矩形薄板的橫向自由振動(dòng)的位移， 結(jié)合振動(dòng)功率流分析平板受簡(jiǎn)諧載荷時(shí)板內(nèi)的功率流傳播。

在彈性力學(xué)的經(jīng)典理論中，對(duì)于矩形板的橫向振動(dòng)來(lái)說(shuō)，除了四邊簡(jiǎn)支的邊界情況外，其余邊界下矩形板的振動(dòng)均沒(méi)有解析解， 因此其振動(dòng)問(wèn)題是較難求解的。 有限元法可以突破對(duì)邊界條件的約束，但由于其單位位移函數(shù)不精確，因此往往需要將結(jié)構(gòu)細(xì)化為大量單元，降低了計(jì)算效率[14]。 動(dòng)剛度法通過(guò)引入滿(mǎn)足邊界條件的精確位移假設(shè)，只需將結(jié)構(gòu)劃分為若干個(gè)單元，甚至一個(gè)單元便可進(jìn)行精確求解[15]。 本文將動(dòng)剛度法引入對(duì)邊簡(jiǎn)支功能梯度矩形薄板的橫向振動(dòng)及動(dòng)態(tài)響應(yīng)求解，在此基礎(chǔ)上研究功能梯度矩形板的振動(dòng)功率流特性。

1 基于動(dòng)剛度法的對(duì)邊簡(jiǎn)支功能梯度矩形板面外振動(dòng)

圖1 中為一個(gè)矩形薄板，沿x 方向板長(zhǎng)為b，沿y 方向板寬為L(zhǎng)，厚度為h。假設(shè)y=0 和y=L 兩條邊簡(jiǎn)支，以“SSSS”表示，如圖中所示，而x=0，x=b 兩條邊的邊界條件可任意組合。 考慮薄板問(wèn)題， 忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響， 滿(mǎn)足Kirchhoff 假設(shè)。

圖1 功能梯度板Fig.1 Functionally graded plates

沿厚度方向變參數(shù)的功能梯度矩形板的面外自由振動(dòng)方程為

考慮阻尼的影響，用EC=E （1+ jη ）代替原楊氏模量。 因此振動(dòng)方程（1）簡(jiǎn)化為

本文考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振動(dòng)，則力和位移為隨時(shí)間t 呈簡(jiǎn)諧變化的函數(shù)，考慮到y(tǒng)=0 和y=L 兩條邊簡(jiǎn)支，因此將（2）式的解設(shè)為

將x=0 和x=b 兩邊界上的位移向量和力向量表示為:

其中的下標(biāo)m 表示第m 項(xiàng)項(xiàng)數(shù)。

2 功能梯度板振動(dòng)功率流

功率流是單位時(shí)間內(nèi)所做的功。 假設(shè)作用于結(jié)構(gòu)某處的激勵(lì)瞬時(shí)值為P（t ），相應(yīng)的速度響應(yīng)為V（t ），此時(shí)的瞬時(shí)輸入功率流值為P（t ）=F（t ）V（t ），而在工程中，在一段時(shí)間內(nèi)的平均功率流比瞬時(shí)功率流更方便，因此有

對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)，外力與速度響應(yīng)可寫(xiě)為:F（t ）=Feiωt，V（t ）=Veiωt，從而輸入功率流為P=Re （F· V*）。能量輸入板結(jié)構(gòu)后，會(huì)在板內(nèi)傳播，單位時(shí)間內(nèi)傳播的能量即為傳播功率流。 對(duì)于板上的每個(gè)點(diǎn)，有2個(gè)微元面垂直x 軸和y 軸，求出這兩個(gè)微元面上的功率流即可得該點(diǎn)的功率流矢量。 矢量模的大小為功率流大小，方向?yàn)槟芰總鞑シ较颉?基于Kirchoff 假設(shè)的薄板的功率流強(qiáng)度表達(dá)式為:

式中:Qx和Qy為橫向剪力，Mxx和Myy為彎矩，Myx和Mxy為扭矩。 由上一節(jié)中， 施加外力后得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，求得結(jié)構(gòu)位移，結(jié)合內(nèi)力函數(shù)一起代入（8）式，即可求得功率流。

3 算例分析

3.1 功能梯度矩形板模態(tài)分析

本文取文獻(xiàn)中的功能梯度矩形板模型，考慮板x 方向?yàn)? m，y 方向?yàn)?.8 m，厚h=0.01 m，彈性模量與密度沿厚度方向以?xún)缰笖?shù)規(guī)律變化，泊松比、溫度不變。參考文獻(xiàn)中考慮為陶瓷-金屬功能梯度矩形板，其材料屬性按如下規(guī)律變化:

式中:Xm、Xc為金屬和陶瓷的材料屬性，k 為梯度指數(shù)（下文中不加特別說(shuō)明時(shí)，梯度指數(shù)k 值取1）。 考慮Al/Al2O3功能梯度材料，則彈性模量Em=70 GPa，Ec=380 GPa，密度為ρm=2 707 kg/m3和ρc=3 800 kg/m3，泊松比νm=νc=0.3，結(jié)構(gòu)阻尼η=0.001。

本文首先給出了功能梯度矩形板三種邊界下前八階固有頻率，四邊中有兩條為簡(jiǎn)支邊界，故考慮另外兩條邊為固支、簡(jiǎn)支、自由三種邊界條件。其中四邊簡(jiǎn)支板在文獻(xiàn)[1]中給出了經(jīng)典解，本文同時(shí)采用了ABAQUS 有限元進(jìn)行了三種邊界條件的下模態(tài)分析，將兩者與本文級(jí)數(shù)解析解進(jìn)行對(duì)比分析?？梢钥闯霰疚呐c文獻(xiàn)中的經(jīng)典解吻合較好，文獻(xiàn)與本文的解均基于薄板理論基礎(chǔ)，而有限元中的解考慮剪切變形，故兩者存在一定的誤差。 本文與有限元的誤差較小，三種邊界條件中最大誤差為3.6%，優(yōu)于文獻(xiàn)[13]中的最大誤差7.98%，說(shuō)明本文中的方法均有較高的精確度。

表1 功能梯度矩形板固有頻率（Hz）Tab.1 Natural frequencies of an FGM rectangular plate (Hz)

表2 中給出了三種邊界條件下，不同梯度指數(shù)下功能梯度矩形板的前八階固有頻率。 從表中可以明顯地看出每種邊界條件下，隨著梯度指數(shù)增大，功能梯度板剛度增大，各階固有頻率值增大。 兩邊固支板的固有頻率最大，兩邊簡(jiǎn)支次之，兩邊自由為最小。

表2 不同梯度指數(shù)功能梯度板固有頻率（Hz）Tab.2 Natural frequencies of an FGM plate with different graded indexes (Hz)

3.2 功能梯度矩形板輸入功率流分析

本文中作用力大小為1 N，作用點(diǎn)為板中心（0 m，0.4 m）處。 根據(jù)輸入功率流的公式，計(jì)算四邊簡(jiǎn)支條件下功能梯度板的輸入功率流，并將其無(wú)量綱化，如圖2。 從輸入功率流曲線可以看出，輸入功率流的大小與激勵(lì)頻率相關(guān)， 在某些頻率附近出現(xiàn)峰值，這些峰值頻率分別與功能梯度板的固有頻率對(duì)應(yīng)。前三個(gè)峰值為101 Hz、417 Hz 和595 Hz，從功能梯度板對(duì)應(yīng)振型中看出，由于矩形板的對(duì)稱(chēng)性，在奇數(shù)階模態(tài)下，板中點(diǎn)的速度最大，在偶數(shù)對(duì)稱(chēng)模態(tài)中，中心點(diǎn)為振型節(jié)點(diǎn)，故輸入功率流在奇數(shù)模態(tài)時(shí)出現(xiàn)峰值。 其中LW=10lg （P/ P0），P0=1×10-12W。

圖2 功能梯度板輸入功率流Fig.2 The input power flow of an FGM plate

圖3 給出了不同梯度指數(shù)下功能梯度板輸入功率流隨頻率變化的曲線。 從圖中可以看出，隨著梯度指數(shù)的增大，輸入功率流的峰值也相應(yīng)地向高頻移動(dòng)，并且偏移量也隨著頻率的增大而增大。 這與表1 中不同梯度指數(shù)下功能梯度板的固有頻率變化一致，板的固有頻率增大，所以輸入功率流的共振峰也向高頻移動(dòng)，梯度指數(shù)越大，板的剛度變化越快，固有頻率變化也就越大，偏移量也因此變大。 但輸入功率流幅值并沒(méi)有變化， 說(shuō)明在相同作用力下，板中心的振動(dòng)速度幅值一致，該點(diǎn)的機(jī)械阻抗并沒(méi)發(fā)生變化。

圖3 功能梯度板輸入功率流Fig.3 The input power flow of an FGM plate with different grade indexes

3.3 功能梯度矩形板功率流傳播分析

圖4 功能梯度板功率流矢量圖Fig.4 The power flow vector of an FGM plate

圖5 功能梯度板功率流流線圖Fig.5 The power flow streamline of an FGM plate

基于上面動(dòng)剛度法與功率流公式，本文計(jì)算了功能梯度板內(nèi)功率流矢量圖與流線圖。 為了驗(yàn)證本文功率流計(jì)算的正確性，給出功能梯度板四邊簡(jiǎn)支條件下在486 Hz 激勵(lì)下功率流矢量圖和流線圖。 從圖4 與圖5 可以看出，本文的結(jié)果與文獻(xiàn)中的經(jīng)典解法、有限元解法的矢量圖與流線圖吻合，證明了本文方法的正確性。不同的邊界條件影響平板的剛度，即影響板內(nèi)功率流的傳播方式。本文給出功能梯度板在486 Hz簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，兩短邊簡(jiǎn)支，另外兩長(zhǎng)邊簡(jiǎn)支、固支、自由三種邊界條件下板內(nèi)的功率流傳播矢量圖與流線圖，如圖6-7。 考慮該算例板具有高度的對(duì)稱(chēng)性，本文給出矩形板的右半邊結(jié)果。 從圖中可以看出，三種邊界條件可以明顯地找出力作用點(diǎn)。 邊界條件影響了板內(nèi)能量渦的分布。 固支邊界下，板內(nèi)沒(méi)有渦結(jié)構(gòu)，能量從力作用點(diǎn)直接流向簡(jiǎn)支邊。 簡(jiǎn)支邊界下渦結(jié)構(gòu)均勻且較大，而自由邊界下渦結(jié)構(gòu)較小且遠(yuǎn)離力作用點(diǎn)。

為了研究功能梯度板振動(dòng)功率流特性，本文分別給出了四邊簡(jiǎn)支邊界條件下，在486 Hz 與912 Hz激勵(lì)下，不同梯度指數(shù)情況下板內(nèi)功率流流線圖，如圖8-9 所示。 從圖中可以看出912 Hz 激勵(lì)下板內(nèi)出現(xiàn)了復(fù)雜的能量漩渦，但仍能清晰地識(shí)別出激勵(lì)源位置，且流線圖能較好地識(shí)別板內(nèi)結(jié)構(gòu)的能量傳播路徑。 隨著指數(shù)的增大，板的剛度值變大，板內(nèi)能量漩渦減小，能量沿單方向傳遞。

圖6 不同邊界條件下功能梯度板功率流流線圖Fig.6 The power flow streamline of an FGM plate with different boundary conditions

圖7 不同邊界條件下功能梯度板功率流矢量圖Fig.7 The power flow vector of an FGM plate with different boundary conditions

圖8 不同梯度指數(shù)功能梯度板功率流流線圖（486 Hz）Fig.8 The power flow streamline of an FGM plate with different graded indexes (486 Hz)

圖9 不同梯度指數(shù)功能梯度板功率流流線圖（912 Hz）Fig.9 The power flow streamline of an FGM plate with different graded indexes (912 Hz)

4 結(jié) 論

本文從功能梯度矩形板振動(dòng)方程出發(fā)，利用動(dòng)剛度法求解了結(jié)構(gòu)固有頻率及振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)合功率流定義，得到了兩邊簡(jiǎn)支，另外兩邊簡(jiǎn)支、固支、自由三種邊界條件功能梯度板振動(dòng)輸入功率流曲線、功率流矢量圖與流線圖，對(duì)不同邊界條件與不同梯度指數(shù)的影響進(jìn)行了分析研究。 結(jié)果表明，邊界條件與梯度指數(shù)的變化，會(huì)影響板的剛度變化，剛度越大，F(xiàn)GM 板的固有頻率越大，板內(nèi)功率流漩渦結(jié)構(gòu)減少，能量沿單方向傳遞。 通過(guò)本文研究得到了功能梯度板內(nèi)功率流傳播特性，為功能梯度材料在結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲控制、激勵(lì)源識(shí)別及傳播路徑分析提供了理論依據(jù)。