數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維及培養(yǎng)途徑探索

摘 要：創(chuàng)造性思維具有新穎獨特、突破常規(guī)和靈活變通的特征。文章探索了在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的途徑：引發(fā)興趣，激起創(chuàng)造誘因;創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、合理驗證;鼓勵創(chuàng)新，提倡競爭，重視學(xué)生差異性培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);創(chuàng)造性思維;問題情境

中圖分類號：O1-0

一、思維的創(chuàng)造性與“再發(fā)現(xiàn)”

創(chuàng)造性思維與它的結(jié)果，即發(fā)現(xiàn)、發(fā)明或創(chuàng)造，是人類智慧的花朵和文明的結(jié)晶。所謂創(chuàng)造，一般是指發(fā)現(xiàn)新事物、揭示新規(guī)律、獲得新成果、建立新理論、創(chuàng)造新方法、發(fā)明新技術(shù)、研制新產(chǎn)品、作出新成績或解決新問題等。因此創(chuàng)造所涉及的范圍（或外延）是非常廣泛的，包括科學(xué)發(fā)現(xiàn)、技術(shù)發(fā)明、藝術(shù)創(chuàng)造和其他物質(zhì)文化方面的創(chuàng)新。從這種意義上講，創(chuàng)造性思維就是“創(chuàng)新過程中的思維活動”，即只要思維的結(jié)果具有創(chuàng)新實質(zhì)，則它的思維（過程）就是創(chuàng)造性思維。

思維結(jié)果的創(chuàng)新性是有客觀標(biāo)準(zhǔn)的。一方面表現(xiàn)為這種結(jié)果的自身價值和社會意義，通常應(yīng)對人類社會的物質(zhì)或文化的發(fā)展具有一定的社會效應(yīng)和促進作用。另一方面是思維結(jié)果的創(chuàng)新程度和它的相對性。在這方面，我們可以按照創(chuàng)新的相對意義從兩種不同的角度把創(chuàng)造性思維分成兩類：“創(chuàng)造”（嚴(yán)格意義，社會意義）與“再發(fā)現(xiàn)”（廣義、教育意義）。

創(chuàng)造是指相對于人類認(rèn)識史而言第一次產(chǎn)生的、前所未有的，具有社會價值或社會意義的思維活動。但是這種活動不能嚴(yán)格地按照時間順序唯一地確定。由于地域或通信條件等其他因素的作用，創(chuàng)造性的判定要根據(jù)實際情況給予評價。例如，在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展史上，牛頓和尼布萊茲在17世紀(jì)后半期幾乎同時發(fā)現(xiàn)了微積分;勾股定理為我國商高（約公元前11世紀(jì)）與希臘的畢達哥拉斯（約公元前540年）先后獨立發(fā)現(xiàn);已知三邊計算三角形面積的公式是屬于希臘的海倫（約公元前60年）和我國的秦九韶（約公元前1202—1261）分別獨立發(fā)現(xiàn)的。

“再發(fā)現(xiàn)”是指相對于思維主題而言，具有一定的自身價值或認(rèn)識意義的新穎獨創(chuàng)的思維活動。著名的荷蘭教育家、數(shù)學(xué)家佛羅登塔爾（HansFreudenthal）就是用這個概念一Reinvenion來看待學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的。美國心理學(xué)家布魯納所倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”，其用意也在于使學(xué)生成為知識的發(fā)現(xiàn)者，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)性思維，這里的發(fā)現(xiàn)也是指教育意義上的廣義創(chuàng)造性。通常意義上的創(chuàng)造性思維是上述兩種類型的總括。嚴(yán)格意義下的創(chuàng)造并不能一蹴而就，它是“再發(fā)現(xiàn)”式創(chuàng)造性思維的積累和發(fā)展。只有“再發(fā)現(xiàn)”式的創(chuàng)造性思維得到充分的發(fā)展之后，才有可能產(chǎn)生從量變到質(zhì)變的飛躍，達到真正的發(fā)明、創(chuàng)造的高度。在這種理解下，創(chuàng)造性思維對于一切正常人來說就都是可能產(chǎn)生的，特別是對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實教育意義。

例如，雞兔同籠問題，即已知籠中雞兔共有60個頭，160條腿，問雞和兔各有多少只？在解決這個問題時，對于一個未學(xué)過方程解法的學(xué)生來說，他想到若所有的雞都單腿獨立，而所有的兔子都雙腿站立，則腿的總數(shù)只有原來的一半，即80條。但因總頭數(shù)保持不變，且此時雞的頭數(shù)等于雞的腿數(shù)，于是用80-60=20，得到兔子單腿站立數(shù)，即為兔子頭數(shù)，剩下的雞就是40只。這種富有想象力的思路顯得新穎獨特，別出心裁，就是一種“再發(fā)現(xiàn)”式的創(chuàng)造性思維，也是一種突破常規(guī)的創(chuàng)造性思維。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的途徑

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大量的所謂創(chuàng)造性思維應(yīng)是指“再發(fā)現(xiàn)”式的，是學(xué)生通過自己的獨立思維活動解決問題的過程。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)生機制，可采取以下途徑。

1.引發(fā)興趣，激起創(chuàng)造誘因

教師要注意在日常教學(xué)中活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，經(jīng)常地選擇一些發(fā)散性強的典型數(shù)學(xué)知識或問題。如逆向思維常表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則，逆向進行推理，反向進行證明，從反方向形成新結(jié)論。

例如，已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0，x∈R}，B={x| x<0，x∈R}，且A∩B≠φ，求實數(shù)的取值范圍。

分析：由條件A∩B≠φ，可知方程x2-4ax+ 2a+6=0的實數(shù)根組成一個非空集合并且此方程至少有一個負(fù)根。即有兩個負(fù)根、一負(fù)根一零根、一負(fù)根一正根三種情況，分別求解比較麻煩，我們可以從反面考慮，先求出方程x2-4ax+2a+6=0有實根的全集U，然后考慮方程x2-4ax+2a+6=0有兩根均非負(fù)時a的取值范圍，最后利用補集求解。

解：設(shè)全集U={a|△=（-4a）2-4（2a+6）≥ 0}={a|a≤-1或a≥—}。

若方程x2-4ax+2a+6=0的兩根x1，x2均非負(fù)，則

解得a≥ 0，又因為a∈U，所以a≥—。

全集U中{a|a≥—}的補集為{a|a≤-1}，所以實數(shù)a的取值范圍是a≤-1。

2.創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、合理驗證

學(xué)生對事物的認(rèn)識，總是通過觀察接觸該事物，了解該事物的某些已知部分，從而對該事物產(chǎn)生一些感性認(rèn)識，并以此為素材根據(jù)有關(guān)知識對該事物進行推論判斷，產(chǎn)生一些推測性的看法，這就是猜想或者叫假說，猜測雖然未必是真理，但它卻是激起學(xué)生創(chuàng)造性思維的火種，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理進入新的學(xué)科領(lǐng)域的必要征程，然后對猜想進行驗證，判斷猜想是否正確。在數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多解題過程，常常是先對題設(shè)進行認(rèn)真觀察思考，然后對可能出現(xiàn)的結(jié)果做一個初步的猜想，最后進行嚴(yán)格論證。這樣可以幫助我們打破解題時無從下手的僵局。

例如，判斷數(shù)列xn=sinn是否有極限，并證明你的結(jié)論。

解：對于這個問題，通過觀察和分析，可以猜測答案只有存在或不存在兩種，關(guān)鍵在于對猜測進行理論驗證。

假設(shè)limsinn=a，有l(wèi)imsin（n+1）=a，limsin（n-1）=a。

因為sin（n+1）-sin（n-1）=2cosnsin1，

這與limcosn=0矛盾。因此limsinn不存在。

3.鼓勵創(chuàng)新，提倡競爭，重視學(xué)生差異性培養(yǎng)

創(chuàng)新是人類發(fā)展與進步的源泉，學(xué)生本身也可以通過創(chuàng)新不斷獲得能力提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中要體現(xiàn)競爭性，使每個學(xué)生都想表現(xiàn)自我。另外，教學(xué)中要重視學(xué)生個體差異性，允許學(xué)生在認(rèn)識問題上存在差異。

參考文獻：

[1]熊惠民.數(shù)學(xué)思想方法通論[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]宮玉榮.數(shù)學(xué)文化與大學(xué)生思辨能力的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（19）：14-15.

作者簡介：袁德有（1960—），男，教授，研究方向：函數(shù)論、高等數(shù)學(xué)教學(xué)。