基于DEA的投入產(chǎn)出效率評價系統(tǒng)設(shè)計與實現(xiàn)

徐齊利

（江西財經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院 江西 南昌 330013）

一、引言

對于經(jīng)濟(jì)分析和管理決策中的系統(tǒng)評價問題，1978年，運(yùn)籌學(xué)家Charnes和Cooper提出一種數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（Data Envelopment Analysis，DEA），用于在具有多項投入指標(biāo)、多項產(chǎn)出指標(biāo)的同類型生產(chǎn)單元之中，評價具體某個生產(chǎn)單元其投入產(chǎn)出的相對有效性。自此，投入產(chǎn)出DEA效率評價便在經(jīng)濟(jì)分析和管理決策的諸多領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用。

在DEA的發(fā)展歷程中，致力于管理科學(xué)研究的理論運(yùn)籌學(xué)家在投入產(chǎn)出效率DEA評價的模型開發(fā)方面已取得長足進(jìn)步[1-3]；相比之下，致力于管理工程研究的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)家在投入產(chǎn)出效率DEA評價的系統(tǒng)開發(fā)方面卻一直難有起色。鑒于此，本文作者在MATLAB平臺上開發(fā)的一款基于DEA的投入產(chǎn)出效率評價系統(tǒng)。

系統(tǒng)的功能主要有：（1）投入效率評價，具體包括投入的綜合效率測度與評價、投入的技術(shù)效率測度與評價、投入的規(guī)模效率測度與評價、投入的超效率測度與評價及投入效率匯總評價；（2）產(chǎn)出效率評價，具體包括產(chǎn)出的綜合效率測度與評價、產(chǎn)出的技術(shù)效率測度與評價、產(chǎn)出的規(guī)模效率測度與評價、產(chǎn)出的超效率測度與評價及產(chǎn)出效率匯總評價；（3）投入產(chǎn)出系統(tǒng)效率的綜合評價。

以中國商業(yè)銀行經(jīng)營績效的評價工作為例，經(jīng)測試，發(fā)現(xiàn)：該軟件能夠系統(tǒng)、準(zhǔn)確、便捷的實現(xiàn)投入產(chǎn)出效率DEA評價相關(guān)模型的功能，能夠解決系統(tǒng)評價中的效率評價難題，能夠為相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析和管理決策提供服務(wù)。

二、需求分析

（一）應(yīng)用場景

DEA在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用：（1）企業(yè)投入產(chǎn)出效率DEA評價，如評價中國各商業(yè)銀行的經(jīng)營績效；（2）行業(yè)投入產(chǎn)出效率DEA評價，如評價房地產(chǎn)行業(yè)在一段時間內(nèi)的運(yùn)行效率；（3）市場投入產(chǎn)出效率DEA評價，如評價股票交易市場在一段時間內(nèi)的運(yùn)行效率。

DEA在管理決策中的應(yīng)用：（1）生產(chǎn)決策，如通過DEA評價，識別出哪些生產(chǎn)車間有效率，哪些生產(chǎn)車間缺乏效率；（2）營銷決策，在多個備選的市場推廣方案面前，要系統(tǒng)性、權(quán)衡性的選出高效的市場推廣方案需借助DEA方法；（3）財務(wù)決策，在成本收益分析中借助DEA方法找出開源節(jié)流的去向；（4）人事決策，在考查員工效能方面，DEA方法能夠通盤考查員工數(shù)量和員工質(zhì)量對工作數(shù)量和工作質(zhì)量的影響；（5）研發(fā)決策，對創(chuàng)新績效的DEA評價，是幫助決策者從創(chuàng)新投入與創(chuàng)新產(chǎn)出兩個層面系統(tǒng)性考察各研發(fā)方案的可行性。

既然應(yīng)用場景如此之多，那么DEA方法又是如何對決策單元的投入產(chǎn)出效率進(jìn)行評價的？也就是對于軟件開發(fā)而言，需要了解有關(guān)DEA評價的四個基本問題：DEA評價的原理是什么？DEA評價的模型是什么？DEA評價的內(nèi)容是什么？DEA評價的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

（二）DEA評價

1.DEA 評價數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

DEA模型的指標(biāo)體系結(jié)構(gòu)：設(shè)有m個投入指標(biāo)，X1，X2，…，Xm，各投入指標(biāo)依次賦非負(fù)權(quán)重v1，v2，…，vm；s個產(chǎn)出指標(biāo)，Y1，Y2，…，Ys，各產(chǎn)出指標(biāo)依次賦非負(fù)權(quán)重u1，u2,，…，us。在該指標(biāo)體系下共有n個被評價的決策單元，DMU1，DMU2，…，DMUj，…，DMUn，如n家銀行。DEA模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：決策單元DMUj，j=1，…，n在投入維度上各指標(biāo)的取值依次為X1j，X2j，…，Xmj，在產(chǎn)出維度上各指標(biāo)的取值依次為Y1j，Y2j，…，Ysj。如此，則n個決策單元在該指標(biāo)體系下構(gòu)成一個 (m+s)×n的投入產(chǎn)出矩陣，如表1所示，其中前m×n部分為投入矩陣，后s×n部分為產(chǎn)出矩陣。

表1 投入產(chǎn)出效率DEA評價模型的指標(biāo)體系與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2.投入效率DEA評價

對于決策單元 DMUj，j=1，…，n，找出其所處生產(chǎn)前沿面的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）模型為

對（1）式的分式規(guī)劃做如下Charnes-Cooper 變換

得線性規(guī)劃模型為

該線性規(guī)劃模型的對偶模型為

（2）式即為對決策單元 DMUj，j=1，…，n進(jìn)行投入效率DEA評價的待執(zhí)行模型。具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理1給出。

定理1：決策單元 DMUj，j=1，…，n的投入效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（2）式的最優(yōu)解θ，λ1，…，λn之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj的投入效率DEA評價為無效的充要條件是θ＜1；

（2）決策單元 DMUj的投入效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有不等式約束實則為等式約束；

（3）決策單元 DMUj的投入效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分不等式約束嚴(yán)格成立。

3.產(chǎn)出效率DEA評價

對于決策單元 DMUj，j=1，…，n，找出其所處生產(chǎn)前沿面的DEA模型還可以寫成

對（3）式的分式規(guī)劃做如下Charness-Cooper 變換

得線性規(guī)劃模型為

該線性規(guī)劃模型的對偶模型為

（4）式即為對決策單元DMUj，j=1，…，n進(jìn)行產(chǎn)出效率DEA評價的待執(zhí)行模型。具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理2給出。

定理2：決策單元 DMUj，j=1，…，n的產(chǎn)出效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（4）式的最優(yōu)解θ，λ1，…，λn之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj的產(chǎn)出效率DEA評價為無效的充要條件是θ＞1；

（2）決策單元DMUj的產(chǎn)出效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有不等式約束實則為等式約束；

（3）決策單元 DMUj的產(chǎn)出效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分不等式約束嚴(yán)格成立。

由上述分析知，DEA評價的原理是：對于被評價決策單元，先找出其所處的生產(chǎn)前沿面，然后考察自身與其生產(chǎn)前沿面的距離。DEA評價的模型是：將原本是分式規(guī)劃DEA模型變換為基本可執(zhí)行的線性規(guī)劃DEA模型，可分為投入的DEA模型（2）式和產(chǎn)出的DEA模型（4）式。DEA評價的內(nèi)容是：投入導(dǎo)向的效率評價，給定產(chǎn)出不低于某一水平的條件下，投入越少則說明效率越高；產(chǎn)出導(dǎo)向的效率評價，給定投入不超出某一水平的條件下，產(chǎn)出越多則說明效率越高。DEA評價的標(biāo)準(zhǔn)是：投入效率DEA評價的基本標(biāo)準(zhǔn)如定理1所述，產(chǎn)出效率DEA評價的基本標(biāo)準(zhǔn)如定理2所述。接下來報告如何在MATLAB平臺上開發(fā)一款基于DEA的投入產(chǎn)出效率評價系統(tǒng)，并使軟件能夠系統(tǒng)、準(zhǔn)確、便捷的實現(xiàn)投入產(chǎn)出效率DEA評價的需求和功能。

三、系統(tǒng)設(shè)計

（一）系統(tǒng)架構(gòu)

1.模塊架構(gòu)

如圖1所示，系統(tǒng)共有10個功能模塊組成，從數(shù)據(jù)到應(yīng)用，將各模塊的層級劃分為底層（模塊1個）、中下層（模塊6個）、中上層（模塊2個）、頂層（模塊1個）共4個層級。（1）底層：模塊1，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)導(dǎo)入，形成投入產(chǎn)出矩陣。（2）頂層：模塊4，實現(xiàn)投入產(chǎn)出系統(tǒng)效率DEA綜評。（3）中上層：模塊3.1，實現(xiàn)投入效率DEA匯評；模塊3.2，實現(xiàn)產(chǎn)出效率DEA匯評。（4）中下層：模塊2.1.1，實現(xiàn)投入的綜合效率DEA測評；模塊2.1.2，實現(xiàn)投入的技術(shù)效率DEA測評；模塊2.1.3，實現(xiàn)投入的超效率DEA測評；模塊2.2.1，實現(xiàn)產(chǎn)出的綜合效率DEA測評；模塊2.2.2，實現(xiàn)產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA測評；模塊2.2.3，實現(xiàn)產(chǎn)出的超效率DEA測評。根據(jù)圖1所示模塊間的鏈接關(guān)系知：（1）只有在底層模塊功能實現(xiàn)后，中層和頂層的9個模塊功能才能實現(xiàn)；（2）中層和頂層的9個功能模塊既可依次實現(xiàn)，也可獨(dú)立實現(xiàn)，還可跳躍實現(xiàn)。

2.系統(tǒng)主界面

系統(tǒng)主界面如圖2所示，它是對圖1所示系統(tǒng)模塊架構(gòu)的總體實現(xiàn)。系統(tǒng)分為3個順序工作步驟：“步驟1：數(shù)據(jù)”“步驟2：分析”“步驟3：報告”?！安襟E1：數(shù)據(jù)”框內(nèi)的按鈕“導(dǎo)入Excel數(shù)據(jù)”實現(xiàn)模塊1的功能，即導(dǎo)入結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，形成投入產(chǎn)出矩陣?！安襟E2：分析”框內(nèi)包括兩個平行的子系統(tǒng)：投入效率DEA評價和產(chǎn)出效率DEA評價。在投入效率DEA評價子系統(tǒng)內(nèi)部，按鈕“綜合效率DEA測評”“技術(shù)效率DEA測評”“超效率DEA測評”“投入效率DEA匯評”分別實現(xiàn)圖1架構(gòu)有關(guān)投入效率模塊2.1.1、模塊2.1.2、模塊2.1.2和模塊3.1的功能。在產(chǎn)出效率DEA評價子系統(tǒng)內(nèi)部，按鈕“綜合效率DEA測評”“技術(shù)效率DEA測評”“超效率DEA測評”“產(chǎn)出效率DEA匯評”分別實現(xiàn)圖1架構(gòu)有關(guān)產(chǎn)出效率模塊2.2.1、模塊2.2.2、模塊2.2.3、模塊3.2的功能。“步驟3：報告”模塊內(nèi)的按鈕“投入產(chǎn)出效率綜評”實現(xiàn)圖1架構(gòu)有關(guān)投入產(chǎn)出效率模塊4的功能?！安襟E1：數(shù)據(jù)”與“步驟2：分析”“步驟3：報告”是串聯(lián)關(guān)系，“步驟2：分析”與“步驟3：報告”以及“步驟2：分析”內(nèi)部各按鈕之間都是并聯(lián)關(guān)系。

（二）輸入輸出

1.輸入設(shè)計

圖1 系統(tǒng)的功能模塊及其結(jié)構(gòu)

圖2 系統(tǒng)主界面

圖3 數(shù)據(jù)輸入的Excel格式

在數(shù)據(jù)導(dǎo)入系統(tǒng)之前，須事先在Excel上對數(shù)據(jù)做結(jié)構(gòu)化處理。以商業(yè)銀行的績效評價為例，新建一個Excel，在其Sheet1里面對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，如圖3所示。操作要點如下：（1）決策單元定位，從單元格A3開始往下，依次錄入各決策單元的名稱。（2）指標(biāo)定位，從單元格B2開始往右，依次錄入所有指標(biāo)的名稱。先錄入所有的投入指標(biāo)名，然后再錄入所有的產(chǎn)出指標(biāo)名；或者先錄入所有的產(chǎn)出指標(biāo)名，然后再錄入所有的投入指標(biāo)名；投入指標(biāo)名和產(chǎn)出指標(biāo)名不可交替錄入。（3）指標(biāo)歸屬定位，將所有投入指標(biāo)名上一行所在單元格合并，且輸入“投入”二字，將所有產(chǎn)出指標(biāo)名上一行所在單元格合并，且輸入“產(chǎn)出”二字。或者在所有投入指標(biāo)名上一行的單元格輸入“投入”二字，在所有產(chǎn)出指標(biāo)名上一行的單元格輸入“產(chǎn)出”二字。操作完畢之后，從B1單元格往右，有且僅有“投入”“產(chǎn)出”兩個詞，而且這兩個詞不會交替出現(xiàn)。（3）數(shù)值定位，從B3單元格開始，往下是各決策單元在某個具體指標(biāo)上的取值，往右是某個決策單元在各指標(biāo)上的取值。從B3開始的各單元格必須是數(shù)值型數(shù)據(jù)。

2.輸出設(shè)計

如圖1主界面所示，系統(tǒng)只有1個輸入，10個輸出。（1）底層：輸出1，報告模塊1的計算結(jié)果，即輸出表1指定數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的投入產(chǎn)出矩陣。將圖3所示的商業(yè)銀行績效評價的Excel結(jié)構(gòu)化原數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，輸出如圖4所示的投入產(chǎn)出矩陣。（2）頂層：輸出4，報告模塊4的計算結(jié)果，即各決策單元其投入產(chǎn)出效率概況。界面中，表格的行名為投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)，表格的列名為決策單元名，表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。（3）中上層：輸出3.1，報告模塊3.1的計算結(jié)果，即各決策單元其投入效率概況；輸出3.2，報告模塊3.2的計算結(jié)果，即各決策單元其產(chǎn)出效率概況。（4）中下層：輸出2.1.1，報告模塊2.1.1的計算結(jié)果，即各決策單元其投入的綜合效率情況；輸出2.1.2，報告模塊2.1.2的計算結(jié)果，即各決策單元其投入的技術(shù)效率情況；輸出2.1.3，報告模塊2.1.3的計算結(jié)果，即各決策單元其投入的超效率情況；輸出2.2.1，報告模塊2.2.1的計算結(jié)果，即各決策單元其產(chǎn)出的綜合效率情況；輸出2.2.2，報告模塊2.2.2的計算結(jié)果，即各決策單元其產(chǎn)出的技術(shù)效率情況；輸出2.2.3，報告模塊2.2.3的計算結(jié)果，即各決策單元其產(chǎn)出的超效率情況。中上層、中下層和頂層各輸出設(shè)計將在對應(yīng)模塊的實現(xiàn)部分具體說明。只有點擊按鈕“導(dǎo)入Excel數(shù)據(jù)”得到輸出1，即得到圖4所示投入產(chǎn)出矩陣界面后，點擊主界面上的其他按鈕從有效；否則會提示先導(dǎo)入數(shù)據(jù)。

四、投入效率DEA匯評模塊

（一）投入的綜合效率DEA測評模塊

1.CCR 模型

考慮到計算機(jī)的計算精度，令無窮小量ε1=10-7，ε2=10-5，將線性規(guī)劃（2）式的待執(zhí)行CCR模型修改為可執(zhí)行CCR模型：

圖4 數(shù)據(jù)輸出界面

（5）式實際上是對決策單元 DMUj，j=1，…，n進(jìn)行投入的綜合效率DEA評價的可執(zhí)行模型。具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理3給出。

定理3：決策單元DMUj，j=1，…，n其投入的綜合效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（5）式的最優(yōu)解θ，之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj其投入的綜合效率DEA評價為無效的充要條件是θ＜1；

（2）決策單元 DMUj其投入的綜合效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元 DMUj其投入的綜合效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

推論 1：由向量 (λ1，…，λn) 構(gòu)成的被評價點 (Xi X j，XiY j|iX=1，…，m，iY=1，…，m) 其所處的生產(chǎn)前沿面 (∑j=1λj XiX j，∑j=1λj Xi Yj|iX=1，…，m，iY=1，…，m) 知，決策單元 DMUj，j=1，…，n的規(guī)模報酬值R和各投入維度的帕累托改進(jìn)值 ΔXi j分別為

依此判斷該決策單元 DMUj的規(guī)模報酬性質(zhì)和建議投入的優(yōu)化力度為

（1）決策單元 DMUj其投入的規(guī)模報酬DEA評價標(biāo)準(zhǔn)：若R=1，則決策單元DMUj其投入的規(guī)模報酬不變；若R＞1，則決策單元 DMUj其投入的規(guī)模報酬遞減；若R＜1，則決策單元 DMUj其投入的規(guī)模報酬遞增。

（2）若決策單元DMUj其投入的綜合效率DEA評價為無效，則可按照上述帕累托改進(jìn)值 ΔXij，i=1，…，m的力度來減少在相應(yīng)維度的投入量。

2.程序?qū)崿F(xiàn)

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（6）式對應(yīng)的決策單元 DMUj，j=1，j=1,…，n其投入的技術(shù)效率值θ ST及向量分別為

對于標(biāo)量θj和向量按照定理 4 給出的定性標(biāo)準(zhǔn)，即可判斷決策單元 DMUj，j=1,…，n其投入的技術(shù)效率DEA評價為有效、弱有效抑或無效。進(jìn)而，按照推論2給出的定性標(biāo)準(zhǔn)，可判斷該決策單元 DMUj其投入的規(guī)模報酬DEA評價為不變、遞增抑或遞減；以及建議該決策單元在投入上的帕累托改進(jìn)空間。

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面投入效率DEA評價框內(nèi)的“綜合效率DEA測評”按鈕，彈出如圖5所示，投入的綜合效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括4個部分，①定理3所要解決的綜合效率定性判斷，②推論1所要解決的規(guī)模報酬定性判斷，③求解線性規(guī)劃模型（5）式得出的各變量θ，δX，δY，λ，④推論1中需要求解的規(guī)模報酬值和帕累托改進(jìn)值兩類變量；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

（二）投入的技術(shù)效率DEA測評模塊

1.BCC 模型

在線性規(guī)劃模型（5）式中加進(jìn)規(guī)模報酬不變的約束條件，則可得到對決策單元 DMUj，j=1，j=1,…，n進(jìn)行投入的技術(shù)效率DEA評價模型，即如下的BCC模型：

具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理4給出。

圖5 投入的綜合效率DEA評價結(jié)果界面

定理 4：決策單元 DMUj，j=1，…，n其投入的技術(shù)效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（6）式的最優(yōu)解θ，之間的關(guān)系為

（1）決策單元DMUj其投入的技術(shù)效率DEA評價為無效的充要條件是θ＜1；

（2）決策單元DMUj其投入的技術(shù)效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元 DMUj其投入的技術(shù)效率DEA評價為弱有效的充要條件是 θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

推論 2：由（5）式計算出決策單元 DMUj，j=1，…，n其投入的綜合效率值，即規(guī)模技術(shù)效率值和由（6）式計算出該決策單元其投入的技術(shù)效率值得該決策單元其投入的規(guī)模效率值以此對決策單元 DMUj，j=1，…，n進(jìn)行投入的規(guī)模效率DEA評價：若則該決策單元 DMUj其投入的規(guī)模效率DEA評價為有效；否則DEA評價為無效。

2.程序?qū)崿F(xiàn)

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（6）式對應(yīng)的決策單元 DMUj，j=1，…，n其投入的技術(shù)效率值及向量分別為

圖6 投入的技術(shù)效率DEA評價結(jié)果界面

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面投入效率DEA評價框內(nèi)的“技術(shù)效率DEA測評”按鈕，彈出如圖6所示，投入的技術(shù)效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括2個部分，①定理4所要解決的技術(shù)效率定性判斷，②求解線性規(guī)劃模型（6）式得出的各變量θ，δX，δY，λ；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

(三) 投入的超效率DEA測評模塊

1.超效率模型

要評價決策單元 DMUj，j=1，…，n的投入效率，若生產(chǎn)前沿面是由除DMUj自身之外的n-1 個決策單元 DMU1，…，DMUj-1，DMUj-1，…，DMUn構(gòu)成，即線性規(guī)劃模型變?yōu)?/p>

則被評價的決策單元 DMUj可能處于生產(chǎn)前沿面上，也可能處于生產(chǎn)前沿面之內(nèi)，還可能處于生產(chǎn)前沿面之外。這種投入效率的DEA評價模式稱為超效率評價，具體評價標(biāo)準(zhǔn)由定理5給出。

定理5：決策單元DMUj，j=1，…，n其投入的超效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（7）式的最優(yōu)解θ，之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj其投入的超效率DEA評價為無效的充要條件是θ＜1；

（2）決策單元 DMUj其投入的超效率DEA評價為有效的充要條件是θ≥1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元 DMUj其投入的超效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ≥1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

2.程序?qū)崿F(xiàn)

當(dāng)j=1 時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

當(dāng) 1＜j＜n時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

當(dāng)j=n時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（7）式相對應(yīng)的策單元 DMUj，j=1，…，n其投入的超效率值θj及向量分別為當(dāng)j=1 時，(λ1j,λ2j，…，λnj)=[NaN,zj(2：n)]；當(dāng) 1＜j＜n時，(λ1j，…，λj-1,j，λj,j，λj+1，j，…，λnj)=[zj(2：j)，NaN，zj(j+1：n)]；當(dāng)j=n時，(λ1j，…，λn-1,j,λnj)=[zj(2：n),NaN]。對于標(biāo)量θ_j 和向量按照定理 5 給出的定性標(biāo)準(zhǔn)，即可判斷決策單元 DMUj，j=1，…，n其投入的超效率DEA評價為有效、弱有效抑或無效。

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面投入效率DEA評價框內(nèi)的“超效率DEA測評”按鈕，彈出如圖7所示，投入的超效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括3個部分，①定理5所要解決的超效率定性判斷，②根據(jù)投入的超效率模型（7）式計算得的效率值θ，在各決策單元之間展開投入效率排名，③求解線性規(guī)劃模型（7）式得出的各變量θ,δX,δY,λ；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

圖7 投入的超效率DEA評價結(jié)果界面

五、產(chǎn)出效率DEA匯評模塊

(一）產(chǎn)出的綜合效率DEA測評模塊

1.CCR 模型

考慮到計算機(jī)的計算精度，令無窮小量ε1=10-7，ε2=10-5，將線性規(guī)劃（4）式的待執(zhí)行CCR模型修改為可執(zhí)行CCR模型：

（8）式實際上是對決策單元 DMUj，j=1，…，n進(jìn)行產(chǎn)出的綜合效率DEA評價的可執(zhí)行模型。具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理6給出。

定理 6：決策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的綜合效率 DEA 評價與線性規(guī)劃模型（8）式的最優(yōu)解θ，之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的綜合效率DEA評價為無效的充要條件是θ＞1；

（2）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的綜合效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的綜合效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

推論 3：由向量 (λ1，…，λn) 構(gòu)成的被評價點 (XiX j，XiY j) |iX=1，…，m,iY=1，…，m) 其所處的生產(chǎn)前沿面 (∑j=1λj知，決策單元 DMUj，j=1，…，n的規(guī)模報酬值R和各產(chǎn)出維度的帕累托改進(jìn)值 ΔYij分別為

依次判斷該決策單元 DMUj的規(guī)模報酬性質(zhì)和建議產(chǎn)出的優(yōu)化力度為

（1）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的規(guī)模報酬DEA評價標(biāo)準(zhǔn)：若R=1，則決策單元 DMUj其產(chǎn)出的規(guī)模報酬不變；若R＞1，則決策單元 DMUj其產(chǎn)出的規(guī)模報酬遞減；若R＜1，則決策單元DMUj其產(chǎn)出的規(guī)模報酬遞增。

（2）若決策單元 DMUj其產(chǎn)出的綜合效率DEA評價為無效，則可按照上述帕累托改進(jìn)值 ΔYij，i=1，…，m的力度來增加在相應(yīng)維度的產(chǎn)出量。

2.程序?qū)崿F(xiàn)

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（8）式對應(yīng)的決策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的綜合效率值及向量分別為

圖8 產(chǎn)出的綜合效率DEA評價結(jié)果界面

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面產(chǎn)出效率DEA評價框內(nèi)的“綜合效率DEA測評”按鈕，彈出如圖8所示，產(chǎn)出的綜合效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括4個部分，①定理6所要解決的綜合效率定性判斷，②推論3所要解決的規(guī)模報酬定性判斷，③求解線性規(guī)劃模型（8）式得出的各變量θ，δX，δY，λ，④推論3中需要求解的規(guī)模報酬值和帕累托改進(jìn)值兩類變量；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

（二）產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA測評模塊

1.BCC 模型

在線性規(guī)劃模型（8）式中加進(jìn)規(guī)模報酬不變的約束條件，則可得到對決策單元DMUj，j=1，…，n進(jìn)行產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價模型，即如下的BCC模型：

具體的評價標(biāo)準(zhǔn)由定理7給出。

定理7：決策單元DMUj其產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價與線性規(guī)劃模型（9）式的最優(yōu)解θ，λ1，…，之間的關(guān)系為

（1）決策單元DMUj其產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價為無效的充要條件是θ＞1；

（2）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價為有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元DMUj其產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ=1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

推論 4：由（8）式計算出決策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的綜合效率值，即規(guī)模技術(shù)效率值和由（9）式計算出該決策單元其產(chǎn)出的技術(shù)效率值得該決策單元其產(chǎn)出的規(guī)模效率值以此對決策單元 DMUj，j=1，…，n進(jìn)行產(chǎn)出的規(guī)模效率 DEA 評價 ：若則該決策單元 DMUj其產(chǎn)出的規(guī)模效率DEA評價為有效；否則DEA評價為無效。

2.程序?qū)崿F(xiàn)

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（9）式對應(yīng)的決策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的技術(shù)效率值及向量分別為

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面產(chǎn)出效率DEA評價框內(nèi)的“技術(shù)效率DEA測評”按鈕，彈出如圖9所示，產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括2個部分，①定理4所要解決的技術(shù)效率定性判斷，②求解線性規(guī)劃模型（9）式得出的各變量θ,δX,δY,λ；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

（三）產(chǎn)出的超效率DEA測評模塊

1.超效率模型

要評價決策單元DMUj，j=1，…，n的產(chǎn)出效率，若生產(chǎn)前沿面是由除 DMUj自身之外的n-1 個決策單元 DMU1，…，DMUj-1，DMUj+1，…，DMUn構(gòu)成，即線性規(guī)劃模型變?yōu)?/p>

則被評價的決策單元 DMUj可能處于生產(chǎn)前沿面上，也可能處于生產(chǎn)前沿面之內(nèi)，還可能處于生產(chǎn)前沿面之外。這種產(chǎn)出效率的DEA評價模式稱為超效率評價，具體評價標(biāo)準(zhǔn)由定理8給出。

定理 8 ：決策單元 DMUj其產(chǎn)出的超效率 DEA 評價與線性規(guī)劃模型（10）式的最優(yōu)解θ,λ1,…,λn,之間的關(guān)系為

（1）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的超效率DEA評價為無效的充要條件是θ＞1；

（2）決策單元 DMUj其產(chǎn)出的超效率DEA評價為有效的充要條件是θ≤1，且在最優(yōu)解下所有松弛變量皆不起作用，即

（3）決策單元DMUj其產(chǎn)出的超效率DEA評價為弱有效的充要條件是θ≤1，且在最優(yōu)解下仍有部分松弛變量在起作用，即存在某些

圖9 產(chǎn)出的技術(shù)效率DEA評價結(jié)果界面

2.程序?qū)崿F(xiàn)

當(dāng)j=1 時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

當(dāng) 1＜j＜n時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

當(dāng)j=n時，等式約束的系數(shù)矩陣Bj取值為

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解zj得與（10）式相對應(yīng)的策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的超效率值θj及向量分別為當(dāng)j=1 時，(λ1j,λ2j,…,λnj)=[NaN,zj(2：n)]；當(dāng) 1＜j＜n時，(λ1j,…,λj-1,j),λj,j,λj+1,j,…,λnj)=[zj(2：j),NaN,zj(j+1：n)]；當(dāng)j=n時，(λ1j, …,λn-1,j,λnj)=[zj(2：n),NaN]。對于標(biāo)量θj和向量按照定理 8 給出的定性標(biāo)準(zhǔn)，即可判斷決策單元 DMUj，j=1，…，n其產(chǎn)出的超效率DEA評價為有效、弱有效抑或無效。

3.報表顯示

點擊如圖1所示系統(tǒng)主界面產(chǎn)出效率DEA評價框內(nèi)的“超效率DEA測評”按鈕，彈出如圖10所示，產(chǎn)出的超效率DEA評價結(jié)果界面。界面中，表格的列名為決策單元的名稱；表格的行名稱包括3個部分，①定理8所要解決的超效率定性判斷，②根據(jù)產(chǎn)出的超效率模型（10）式計算得的效率值 θ，在各決策單元之間展開產(chǎn)出效率排名，③求解線性規(guī)劃模型（10）式得出的各變量 θ,δ^X,δ^Y,λ；表格的內(nèi)容為列維度上各決策單元在行維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。

六、系統(tǒng)測試

（一）投入效率DEA匯評

圖5至圖7分別測試完投入的綜合效率、技術(shù)效率、超效率三個模塊的DEA測評結(jié)果，下面測試投入效率DEA匯評結(jié)果。在如圖1所示系統(tǒng)主界面的投入效率DEA評價框內(nèi)，點擊按鈕“投入效率DEA匯評”，彈出如圖11所示各決策單元其投入效率DEA評價結(jié)果的匯總界面。界面中，表格的行名為決策單元的名稱；表格的列名稱包括3個部分，①投入的綜合效率值、技術(shù)效率值、規(guī)模效率值、超效率值共4個定量指標(biāo)，②投入的綜合效率、技術(shù)效率、規(guī)模效率、超效率共4個定性指標(biāo)，③根據(jù)超效率值而來的投入效率排名；表格的內(nèi)容為行維度上各決策單元在列維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。其中規(guī)模效率值是由推論2的規(guī)模效率公式計算得來，規(guī)模效率定性判斷是根據(jù)推論2的判斷標(biāo)準(zhǔn)得出的。

（二）產(chǎn)出效率DEA匯評

圖8至圖9分別測試完產(chǎn)出的綜合效率、技術(shù)效率、超效率三個模塊的DEA測評結(jié)果，下面測試產(chǎn)出效率DEA匯評結(jié)果。在如圖1所示系統(tǒng)主界面的投入效率DEA評價框內(nèi)，點擊按鈕“投入效率DEA匯評”，彈出如圖12所示各決策單元其投入效率DEA評價結(jié)果的匯總界面。界面中，表格的行名為決策單元的名稱；表格的列名稱包括3個部分，①產(chǎn)出的綜合效率值、技術(shù)效率值、規(guī)模效率值、超效率值共4個定量指標(biāo)，②產(chǎn)出的綜合效率、技術(shù)效率、規(guī)模效率、超效率共4個定性指標(biāo)，③根據(jù)超效率值而來的產(chǎn)出效率排名；表格的內(nèi)容為行維度上各決策單元在列維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。其中規(guī)模效率值是由推論4的規(guī)模效率公式計算得來，規(guī)模效率定性判斷是根據(jù)推論4的判斷標(biāo)準(zhǔn)得出的。

（三）投入產(chǎn)出系統(tǒng)效率DEA綜評

圖10 產(chǎn)出的超效率DEA評價結(jié)果界面

圖11 投入效率DEA評價結(jié)果匯總界面

圖12 產(chǎn)出效率DEA評價結(jié)果匯總界面

圖13 投入產(chǎn)出效率DEA評價結(jié)果匯總界面

在如圖1所示系統(tǒng)主界面的“步驟3：報告”框內(nèi)，點擊按鈕“投入產(chǎn)出效率綜評”，彈出如圖13所示各決策單元其投入產(chǎn)出效率DEA評價結(jié)果的匯總界面。界面中，表格的行名為決策單元的名稱；表格的列名稱包括3個部分，①投入產(chǎn)出效率的定性判斷，②投入產(chǎn)出的效率排名，③投入效率值、產(chǎn)出效率值、投入效率指數(shù)、產(chǎn)出效率指數(shù)共4個定量指標(biāo)；表格的內(nèi)容為行維度上各決策單元在列維度上對應(yīng)指標(biāo)的取值。其中投入產(chǎn)出效率定性判斷的標(biāo)準(zhǔn)是：對于被評價的某個決策單元，只有其投入效率值和產(chǎn)出效率值皆為1，即投入和產(chǎn)出都為DEA有效（含弱有效）時，才能認(rèn)定該決策單元其投入產(chǎn)出效率評價為“有效”，否則評價為“無效”。各決策單元的投入效率指數(shù)和產(chǎn)出效率指數(shù)分別為圖11對應(yīng)決策單元其投入的超效率值和圖12對應(yīng)決策單元其產(chǎn)出的綜合效率值。投入產(chǎn)出的效率排名是圖11所示投入效率排名和圖12所示產(chǎn)出效率排名的綜合排名：一般而言，投入效率排名與產(chǎn)出效率排名是一致的；倘若出現(xiàn)個別差異，會同時將投入效率排名位次和產(chǎn)出效率排名位次在同一個單元格里報告出來。

七、結(jié)束語

對于經(jīng)濟(jì)分析和管理決策中的系統(tǒng)評價問題，在MATLAB平臺上開發(fā)出一款基于DEA的投入產(chǎn)出效率評價系統(tǒng)。系統(tǒng)的功能主要有：（1）投入效率評價，具體包括投入的綜合效率測度與評價、投入的技術(shù)效率測度與評價、投入的規(guī)模效率測度與評價、投入的超效率測度與評價及投入效率匯總評價；（2）產(chǎn)出效率評價，具體包括產(chǎn)出的綜合效率測度與評價、產(chǎn)出的技術(shù)效率測度與評價、產(chǎn)出的規(guī)模效率測度與評價、產(chǎn)出的超效率測度與評價及產(chǎn)出效率匯總評價；（3）投入產(chǎn)出系統(tǒng)效率的綜合評價。對中國商業(yè)銀行經(jīng)營績效評價做測試發(fā)現(xiàn)，該軟件能夠系統(tǒng)、準(zhǔn)確、便捷的實現(xiàn)投入產(chǎn)出效率DEA評價不同模型的功能，能夠解決系統(tǒng)評價中的效率評價難題，能夠為相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析和管理決策提供服務(wù)。