全面歸納總結(jié) 突破圖象問題

福建

圖象問題是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)，以2019年高考為例，涉及圖象的題目中全國(guó)卷Ⅲ分值為24分，全國(guó)卷Ⅰ為37分，全國(guó)卷Ⅱ則達(dá)到了驚人的64分，具體統(tǒng)計(jì)如下表。

表1 2019年全國(guó)卷(物理)圖象題題號(hào)、圖象類型、分值統(tǒng)計(jì)

從表1可以看出，全國(guó)卷對(duì)物理圖象問題的考查分值占比大，特別是全國(guó)卷Ⅱ，分值占比達(dá)到了全卷的58.18%，占比最少的全國(guó)卷Ⅲ也達(dá)到了30.91%，此外三份全國(guó)卷選擇題壓軸題(21題)都是圖象題，全國(guó)卷Ⅰ、卷Ⅱ的計(jì)算題壓軸題(25題)也都是圖象題，由此可見，就物理學(xué)科而言，有效突破圖象問題，是考生在高考中取得高分的關(guān)鍵。筆者認(rèn)為，突破圖象問題，可以從以下三個(gè)方面著力。

一、融會(huì)貫通，明確數(shù)學(xué)量和物理量的關(guān)聯(lián)

突破圖象問題，首先要明確各數(shù)學(xué)量和物理量之間的關(guān)聯(lián)，涉及的數(shù)學(xué)量有斜率、截距、面積、交點(diǎn)、拐點(diǎn)、突變點(diǎn)、起點(diǎn)、中點(diǎn)、終點(diǎn)等。

1.斜率

物理圖象中斜率常與某一物理量對(duì)應(yīng)，對(duì)于矢量而言，斜率的正負(fù)，表示了矢量的方向，如v-t圖象中，斜率表示加速度，正值表示加速度與規(guī)定的正方向同向，負(fù)值則表示與規(guī)定的正方向相反。有時(shí)圖象斜率的物理意義無法直觀得出，需要通過知識(shí)遷移或適當(dāng)計(jì)算才能明確。

( )

圖1

A.質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，4 s末速度為4 m/s

B.質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，4 s末速度為2 m/s

C.質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為1 m/s2

D.質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為2 m/s2

【答案】D

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)圖象斜率意義的理解，學(xué)生在解題時(shí)需要通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)計(jì)算，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，才能得出圖象斜率的物理意義，很好地考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力、理解能力、推理能力。

表2 常見物理圖象的“斜率”

2.面積

在物理圖象中，面積常指縱軸所對(duì)應(yīng)物理量在橫軸所對(duì)應(yīng)物理量上的累積，如力與位移的函數(shù)(F-s)圖象，面積表示力F的作用效果在位移s上的累積，即“功”。再如力與時(shí)間的函數(shù)(F-t)圖象，面積表示力F的作用效果在時(shí)間t上的累積，即“沖量”。

【例2】質(zhì)量為2 kg的物體靜止在足夠大的水平地面上，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2。從t=0時(shí)刻開始，物體受到方向不變、大小呈周期性變化的水平拉力F的作用，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖2所示，重力加速度g=10 m/s2，則物體12 s末速度大小為

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A.72 m/s B.36 m/s C.24 m/s D.12 m/s

圖2

【答案】D

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)圖象面積的物理意義及動(dòng)量定理的理解，0～3 s內(nèi)物體受靜摩擦力作用是設(shè)置的陷阱，本題很好地考查了理解能力、綜合分析能力。

【解析】0～3 s物體靜止，合外力沖量為零，3～12 s，力F的沖量大小等于圖象與t軸所圍的面積IF=60 N·s，摩擦力沖量大小If=μmgΔt=36 N·s，根據(jù)動(dòng)量定理IF-If=mv，得12 s末速度v=12 m/s，選項(xiàng)D正確。

表3 常見物理圖象中的“面積”

3.突變點(diǎn)

數(shù)學(xué)上突變點(diǎn)指函數(shù)出現(xiàn)斷續(xù)的點(diǎn)。物理圖象中常表示物理過程或物理量性質(zhì)的變化，比如摩擦力從滑動(dòng)摩擦變化為靜摩擦，物體從運(yùn)動(dòng)變?yōu)殪o止等。

圖3

【例3】如圖3所示，把一個(gè)重為G的物體，用一水平推力F=kt(k為常量，t為時(shí)間)壓在豎直的足夠高的平整墻面上(摩擦因數(shù)處處相同)，從t=0開始，物體所受的摩擦力f隨時(shí)間t的變化關(guān)系是下圖中的

( )

A

B

C

D

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)圖象突變點(diǎn)物理意義的理解及動(dòng)量定理的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生綜合分析能力的要求較高。

二、深層挖掘，理清圖象與物理過程的聯(lián)系

物理圖象往往和物理過程相互聯(lián)系，從圖象中挖掘隱含條件，理清物體經(jīng)歷的物理過程，特別是運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象，通過受力分析，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量、能量有關(guān)定理(定律)，對(duì)圖象進(jìn)行抽絲剝繭式的分析，將復(fù)雜的圖象問題肢解分析，化難為易，是解題的關(guān)鍵。

【例4】在光滑水平面上，小球A、B(可視為質(zhì)點(diǎn))沿同一直線相向運(yùn)動(dòng)，A球質(zhì)量為1 kg，B球質(zhì)量大于A球質(zhì)量。如果兩球間距離小于L時(shí)，兩球之間會(huì)產(chǎn)生大小恒定的斥力，大于L時(shí)作用力消失，兩球運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間關(guān)系如圖4所示。下列說法正確的是

( )

圖4

A.L=80 m，B球質(zhì)量為2 kg

B.兩球之間的斥力大小為0.15 N

C.t=30 s時(shí)，兩球發(fā)生彈性碰撞

D.最終B球做勻速直線運(yùn)動(dòng)

【答案】BC

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)多對(duì)象、多過程運(yùn)動(dòng)圖象的分析，主要考查學(xué)生的理解能力、綜合分析能力、推理能力。

三、細(xì)心謹(jǐn)慎，有效規(guī)避思維定式和易錯(cuò)點(diǎn)

圖象問題，陷阱重重，平時(shí)在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的審題、解題習(xí)慣，有效規(guī)避思維定式和易錯(cuò)點(diǎn)，現(xiàn)將常見的陷阱和思維定式導(dǎo)致的錯(cuò)誤歸納如下。

1.對(duì)斜率的理解不透徹

有些物理圖象中圖線的斜率沒有物理意義，但圖線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率有物理意義，學(xué)生容易將兩種斜率混淆。

【例5】如圖5所示，是小燈泡通電后其電流I隨所加電壓U變化的圖線，P為圖線上一點(diǎn)，PN為圖線的切線，PQ為U軸的垂線，PM為I軸的垂線，則下列說法中正確的是

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圖5

A.隨著所加電壓的增大，小燈泡的電阻減小

D.對(duì)應(yīng)P點(diǎn)，小燈泡功率為圖中梯形PQON所圍的面積

【答案】B

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)圖象斜率的正確理解，考查學(xué)生的理解能力。

對(duì)于斜率的求解，還要注意橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的單位，答題時(shí)務(wù)必要結(jié)合題意，判斷是否需要進(jìn)行單位的換算，此外還要注意橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)是否從零開始取值，這在涉及閉合電路歐姆定律的一類實(shí)驗(yàn)題中最為常見，如測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)。

2.對(duì)面積的理解不準(zhǔn)確

數(shù)學(xué)意義上的面積，和物理意義上的面積不能完全等同，坐標(biāo)軸物理量的不同決定了物理圖象中“面積”的含義差異，深刻理解其物理含義是利用面積處理物理難題的關(guān)鍵所在。比如數(shù)學(xué)上圓的面積公式一定滿足橫、縱坐標(biāo)標(biāo)度相同，而物理圖象的坐標(biāo)系中的橫、縱坐標(biāo)軸的標(biāo)度不一定對(duì)應(yīng)相等，而且單位或量綱一般是不同的，具有各向異性，因此求物理圖象中圓的“面積”時(shí)應(yīng)該用橢圓面積公式，求解正方形面積時(shí)應(yīng)利用矩形面積公式S=ab求解。

【例6】如圖6所示為某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖象，2～4 s內(nèi)圖線為半圓形，若4 s末質(zhì)點(diǎn)回到了出發(fā)點(diǎn)，則下列說法正確的是

( )

圖6

A.1～2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的加速度大小為8 m/s2

B.2～4 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移大小為8 m

C.3 s末質(zhì)點(diǎn)的加速度等于零

【答案】ABC

3.思維定式導(dǎo)致錯(cuò)誤

思維定式有可能是教師的不當(dāng)教學(xué)過程引起的，也可能是學(xué)生的錯(cuò)誤概念引起的。比如在s-t圖象中交點(diǎn)表示兩物體相遇，而在講v-t圖象時(shí)，為了和s-t圖象加以區(qū)分，有的教師會(huì)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，v-t圖象中，交點(diǎn)表示兩物體速度相等，但不是表示兩物體相遇，即使老師沒這樣強(qiáng)調(diào)，不少學(xué)生也是這樣理解的。實(shí)際上這樣強(qiáng)調(diào)是不妥的，在某些特殊情況下，v-t圖象中的交點(diǎn)既表示速度相等，也是兩物體相遇的時(shí)間點(diǎn)。

【例7】A、B兩物體在同一直線上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)A在B的前方20 m處，它們的速度圖象如圖7所示，下列說法正確的是

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圖7

A.6 s內(nèi)A、B兩物體運(yùn)動(dòng)方向相反

B.6 s內(nèi)A、B兩物體加速度方向相反

C.A、B兩物體將相遇兩次

D.t=4 s時(shí)，A、B兩物體相遇

【答案】BD

【命題意圖】本題主要考查學(xué)生對(duì)物理圖象中“交點(diǎn)”的準(zhǔn)確理解，通過巧設(shè)陷阱，提醒學(xué)生不要陷入思維定式。

高考《考試大綱》中對(duì)圖象的考查要求大多為Ⅱ級(jí)要求，如v-t圖象、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象、橫波圖象等；所謂Ⅱ級(jí)要求，高考考試說明中是這樣解釋的“對(duì)所列知識(shí)要理解其確切含義及其他知識(shí)的聯(lián)系，能夠進(jìn)行敘述和解釋，并能在實(shí)際問題的分析、綜合、推理和判斷等過程中運(yùn)用”，《考試大綱》中明確指出高考要考查理解能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力等五項(xiàng)能力，要求學(xué)生能認(rèn)識(shí)物理概念和規(guī)律的數(shù)學(xué)(圖象)表述，能運(yùn)用幾何圖形和函數(shù)圖象對(duì)物理問題進(jìn)行分析、表達(dá)。高考試題考法靈活，考試范圍往往不局限于考試綱要，甚至高于考試綱要，試題每年都能推陳出新，教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生做好全面的歸納總結(jié)，明確數(shù)學(xué)量和物理量的關(guān)聯(lián)，理清圖象與物理過程的關(guān)系，規(guī)避思維定式及易錯(cuò)點(diǎn)，以不變應(yīng)萬變，有效突破圖象問題。