“表格式思維”在教學中的應用

彭永新

【摘 ? 要】“表格式思維”是借助列表整理、分析數(shù)據(jù)，解決問題的思維活動。“表格式思維”具有讓數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)直觀整體、推理的過程可視可控的特點，是滲透對應思想的有效路徑。運用“表格式思維”開展問題解決活動，不僅可以幫助學生探究問題解決的思路，更可以豐富學生的策略性知識，對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成具有重要的意義。

【關(guān)鍵詞】表格式思維;小學數(shù)學;教學

一、“表格式思維”的特點

“解決問題的策略”是蘇教版教材的特色內(nèi)容之一。教材從三年級起每學期編排問題解決的策略性知識，列表整理信息是從四年級開始學習的內(nèi)容，五年級學習一一列舉策略，六年級學習假設(shè)策略以及選擇多種策略解決問題，形成較為豐富的列表整理策略經(jīng)驗，成為學生今后有效解決問題的手段與基本的思維模式。這種借助表格形式展開的思維活動，筆者稱之為“表格式思維”?！氨砀袷剿季S”有以下幾方面的特點。

（一）讓數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)直觀整體

表格是數(shù)據(jù)的載體，列表能將零散的數(shù)據(jù)有結(jié)構(gòu)地呈現(xiàn)出來。因此列表的第一步是從整段文字中梳理邏輯，然后提取相關(guān)的數(shù)據(jù)，并簡便清晰地呈現(xiàn)出來。比如蘇教版四年級上冊《解決問題的策略》例1給出“3行桃樹”“8行杏樹”“4行梨樹”以及“桃樹每行7棵”“杏樹每行6棵”“梨樹每行5棵”這六個已知條件，要解決的問題是：“桃樹和梨樹一共有多少棵？”這道題呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)比較散亂，問題的解決需要選擇有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)。學生需要從整體上對這些數(shù)據(jù)進行分類整理。比如有學生按照果樹的種類列出表1或表2，進而求出問題的答案。

（二）使推理過程可視可控

“表格式思維”是借助列表格的數(shù)據(jù)展開的思維過程，可實現(xiàn)“思維可視化”的目的。比如蘇教版五年級上冊《解決問題的策略》例1，題目里只有“用22根1米長的木條圍一個長方形花圃”一句信息，要解決的問題是：“怎樣圍面積最大？”解答這道題首先依據(jù)“長與寬的和是22÷2=11（米）”這一數(shù)據(jù)要求，按一定順序把所有可能情況一一列舉（見表3）。這里列舉的過程，也就是有序推理的過程，“怎樣圍面積最大”也隨之浮出水面。

又如蘇教版五年級上冊P97練習十七第6題：“一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10環(huán)，投中中圈得8環(huán)，投中外圈得6環(huán)。小華投中1次，可能得多少環(huán)？投中2次呢？”這道題的第一問比較簡單。但第二問，不同的列表形式帶來的思考難度就有差異，如表4和表5。表5相對于表4，思維過程顯得簡單可控。

（三）是滲透對應思想的有效路徑

列表可使數(shù)據(jù)形成對應關(guān)系，進而形成有序思維。如蘇教版六年級上冊P62練習十第7題：“校園里玫瑰花和月季花棵數(shù)的比是3∶8。（1）如果玫瑰和月季一共有120棵，這兩種花各有多少棵？（2）如果月季有120棵，玫瑰有多少棵？”可以將信息整理列成表6。

這種對應關(guān)系可以有效地防止學生出現(xiàn)思維“錯位”，是學生建立對應思想的有效路徑。再比如蘇教版六年級下冊P23練習四最后一題：“一個圓錐和一個圓柱底面積相等，體積的比是1∶6。如果圓錐的高是4.2厘米，圓柱的高是多少厘米？如果圓柱的高是4.2厘米，圓錐的高是多少厘米？”解題時可以采用列表的方式整理數(shù)據(jù)（見表7）。

根據(jù)表7，進行有序推理：圓錐的高=1×3÷1=3，圓柱的高=6÷1=6，圓錐的高：圓柱的高=3∶6=1：2。根據(jù)這一比例關(guān)系，列表8進行推理，分別得出圓柱和圓錐的具體高度。

從上面的分析可以看出，“表格式思維”具有培養(yǎng)學科核心素養(yǎng)所要求的基本要素。

二、“表格式思維”在教學中的應用舉例

“表格式思維”的教學價值在于能較好地促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的意義。

（一）用“表格式思維”引導學生有條理地分析問題

【教學片段】

出示題目：“用一個杯子向空水壺里倒水，如果倒進3杯水，連壺重740克;如果倒進5杯水，連壺重980克。每杯水重多少克？”（蘇教版四年級上冊P63思考題）

教師引導讀題，提問：什么叫 “連壺重”？

生：就是倒進去的水加上空壺的重量。

教師指導學生繪制表格，并用問號代替空壺重量，如表9。

師：請大家仔細觀察表格，兩次倒水后的數(shù)據(jù)有什么變化？

生：水重量增加了2杯，連壺重也增加了240克。

師：空壺有變化嗎？

生：沒有變化。

師：通過比較，你們能推算出每杯水的重量嗎？

生：240÷2=120（克）。

生：還能求出空壺的重量：740-120×3=380（克）?；蛘?80-120×5=380（克）。

【反思】本題的數(shù)量關(guān)系較為隱蔽，有學生看到題目后會覺得無從下手，因為題目里沒有告訴學生空壺的重量。解題的關(guān)鍵在于正確理解兩次不同的“連壺重”的區(qū)別與聯(lián)系。通過引導學生有序地列表整理，清楚地展露出兩次倒水情況的變化，使學生在縱向比較中發(fā)現(xiàn)線索并順利解答。從中體會“表格式思維”（有序推理）對解決問題的重要性。

（二）用“表格式思維”引導學生抽象概括

【教學片段】

出示題目：“學校食堂某天中午供應的葷菜有3種（紅燒魚、炸雞腿、牛排），素菜有4種（炒青菜、燒茄子、拌黃瓜、炒包心菜）。小洪選1種葷菜和1種素菜，一共有多少種不同的搭配？”（蘇教版五年級上冊P95練一練第3題）

師：這道題可以先列表再找到答案。

數(shù)分鐘后，教師展示學生列表（見表11），并請學生解釋想法。

生：我先取葷菜魚，它可以分別和青菜、茄子、黃瓜和包心菜搭配，再取葷菜雞腿，同樣可以有4種搭配，最后取葷菜牛排，也有這樣的4種搭配，這樣一共有12種搭配。

師：如果有4種葷菜和6種素菜，選1種葷菜和1種素菜，又會有多少種不同的搭配呢？你們還能像剛才這樣列表找答案嗎？

大部分學生都說可以。但有學生提出這樣列表太麻煩了！

生：如果像剛才這樣列表列舉，表格會很大，所以我不用列表列舉，直接列式4×6=24（種）就行了。

師：說說你的想法。

生：因為每1種葷菜都可以和6種素菜搭配，4種葷菜就有4個6種搭配方式。說著，這位同學主動到黑板上連起線來（如下圖）。

生：也可以先取素菜再搭配葷菜，每樣素菜可以搭配4樣葷菜，6種素菜一共可以有6個4種搭配方式。列成算式就是6×4=24（種）。

【反思】通過指導學生填表列舉，可提升學生的數(shù)學抽象思維水平。從3種葷菜4種素菜的搭配，到4種葷菜6種素菜的搭配，表格變得復雜了，但“表格式思維”卻依然清晰。學生在繁雜的列表中主動尋覓更簡單的方式（連線或計算），有效促進了學生的思維從直觀形象走向抽象概括。

（三）用“表格式思維”滲透數(shù)學思想方法

【教學片段】

出示題目：“全班42人去公園劃船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。已知租的小船比大船少2只。租的大船和小船各有多少只？”（蘇教版六年級下冊P28例2改編）

師：老師將例題做一點改動，大家能解答嗎？

生：運用假設(shè)的策略來解決。假設(shè)全部租小船，這樣42人一共需要租14只小船。假設(shè)大船的只數(shù)為0，小船只數(shù)比大船多14只，但實際上是少2只，所以要減少小船，增加大船，……（學生支支吾吾說不下去了）

師：這樣的想法有沒有道理呢？誰有辦法證實這樣的想法是否可行？

生：可以借助列表策略來嘗試尋找。

師：好辦法。大家一起來試試。

師：（學生完成后展示表12）說說看是怎么想的？

生：先假設(shè)小船為0只，大船只數(shù)為2只，這樣一共只有10人，比42人少了32人，因此要同時增加兩種船的只數(shù)。每調(diào)整一次就會增加3+5=8人，32人的差需要調(diào)整4次，也就是大船和小船各增加4只，這樣小船為4只，大船為6只。

師：調(diào)整的時候又為什么要同時增加兩種船的只數(shù)呢？

生：因為小船比大船少2只，所以每次必須同時增加兩種船的只數(shù)，才能保持兩種船的只數(shù)相差2。

師：這樣的想法有沒有道理呢，怎么驗證？

生：6×5+4×3=42（人），6-4=2（只）。

師：我們現(xiàn)在回過頭來看第一位同學的想法是否有道理，這道題大家可以怎樣假設(shè)？又如何調(diào)整呢？

生：這道題的條件不是直接告訴我們兩種船一共多少只，而是說它們相差2只。所以我們應抓住船的只數(shù)差來假設(shè)。調(diào)整的時候應該做到同時增加或者同時減少兩種船的只數(shù)。

生（激動地）：我想可以這樣假設(shè)：假設(shè)全是大船，這樣坐船的總?cè)藬?shù)只有5×2=10人，比42人少了32，因此需要同時增加兩種船，每調(diào)整一次可以增加5+3=8人，這樣一共需要調(diào)整32÷8=4次。這4次就是說小船有4只，大船有4+2=6只。

【反思】學生通過例題的學習對“假設(shè)—調(diào)整”這一解題策略已經(jīng)有了一定的體會和感悟。教學片段是一個變式訓練，相比例題困難一點，目的在于提高學生靈活假設(shè)與調(diào)整的思維策略水平。從學生貿(mào)然的“假設(shè)”碰壁開始，“逼”著學生主動運用列表進行探索，逐步改造升華原有的“假設(shè)—調(diào)整”解題策略，達到了數(shù)學思想方法的合理滲透。

總之，在問題解決活動中用好“表格式思維”，不僅可以幫助學生探求解題思路，更可以豐富學生的策略性知識，讓學生感受豐富的數(shù)學思想。因此，我們在教學中應注重引導學生自覺運用“表格式思維”方法，在具體解題活動中不斷總結(jié)積累經(jīng)驗，增強學生解決數(shù)學問題的能力。

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海小學 ? 215021）