“擺”出學(xué)問(wèn)“拼”出思維

程露萍 舒素琴

【教學(xué)內(nèi)容】北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”單元《圖形中的規(guī)律》。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過(guò)擺三角形的直觀操作，探究連接三角形的個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系。

2.通過(guò)類比、遷移，探究連接正方形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的規(guī)律，體會(huì)數(shù)與圖形的聯(lián)系。

3.在“拼”和“擺”的活動(dòng)中，積累探索規(guī)律及解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、思維能力和解決問(wèn)題能力。

【教學(xué)過(guò)程】

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

1.前測(cè)導(dǎo)入，認(rèn)識(shí)公共邊

師：同學(xué)們，課前我們進(jìn)行了一次小測(cè)試，一起來(lái)看一看這兩張學(xué)習(xí)單，你有什么想說(shuō)的嗎？（投影展示）

師：請(qǐng)做了上面這份測(cè)試單的同學(xué)上臺(tái)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你的想法，這樣擺有什么好處？

生：比較節(jié)省小棒，兩個(gè)三角形共用了一條邊。

師：我們把兩個(gè)三角形共用的邊叫作公共邊，有了公共邊我們就能用更少的小棒擺出更多的三角形。

師：如果照這樣一直橫著往下擺，擺100個(gè)三角形，是不是真的需要201根小棒呢？我們一起來(lái)驗(yàn)證。（課件出示100個(gè)三角形）

2.揭題

師：同學(xué)們，要研究擺100個(gè)三角形需要多少根小棒是不是很麻煩？我們先來(lái)研究擺10個(gè)三角形一共需要多少根小棒。

（二）操作探究，探索規(guī)律

1.動(dòng)手操作，初探規(guī)律

（1）出示活動(dòng)要求。

①用畫(huà)一畫(huà)或擺一擺的方法，完成表格。

②想一想：小棒的根數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？

③把你的想法用算式表示出來(lái)。

（2）學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手探索規(guī)律，教師巡視指導(dǎo)。

（3）小組合作，經(jīng)驗(yàn)交流。

2.集體交流，總結(jié)規(guī)律（板書(shū)）

小組匯報(bào)反饋。（一人匯報(bào)一人擺）

（1）方法一：3+2（n-1）。

師：10個(gè)三角形為什么只加9個(gè)2，不是10個(gè)？（引導(dǎo)學(xué)生理解“-1”的意思）

生：第一個(gè)主體三角形已經(jīng)算過(guò)了，所以減掉1個(gè)。

師：也就是說(shuō)，如果有11個(gè)三角形就是加10個(gè)2，16個(gè)呢？（板書(shū)16個(gè)三角形：3+2×15=33）

師：如果三角形的個(gè)數(shù)一直增加，有無(wú)數(shù)個(gè)呢？我們?cè)撛趺幢硎荆恳龑?dǎo)學(xué)生總結(jié)出公式3+2（n-1）。（板書(shū)）

（2）方法二：3n -（n-1）。

生：我們組是先算10個(gè)三角形的總數(shù)，再減去9條重復(fù)的公共邊。你們有什么疑問(wèn)嗎？

預(yù)設(shè)生質(zhì)疑：為什么是減去9條？

生：2個(gè)三角形的時(shí)候減去1根，3個(gè)三角形的時(shí)候減去2根，以此類推，我們發(fā)現(xiàn)重復(fù)邊都比三角形總數(shù)少1，所以是減去9條。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)太有價(jià)值了，那12個(gè)三角形應(yīng)該減去幾條公共邊？20條呢？（板書(shū)：3×20-19=41）

師：如果三角形的個(gè)數(shù)很多呢？你能像上面一樣列出公式嗎？

生：3n-（n-1）。（師板書(shū)）

（3）方法三：1+2n。

生：我們組把第一個(gè)主體三角形分割開(kāi)，分成了1+2，之后的每個(gè)都多2根小棒。

師：他說(shuō)的你發(fā)現(xiàn)了嗎？你能試著列出算式嗎？

生：1+2×10=21。

師追問(wèn)：2×10表示什么？

師：你還能像前面一樣推導(dǎo)出公式嗎？（板書(shū)：1+2n）

3.建構(gòu)模型，深究規(guī)律

（1）鞏固呼應(yīng)。

師：現(xiàn)在回過(guò)頭看看“100個(gè)三角形需要幾根小棒”的問(wèn)題可以解決了嗎？試著算一算。

（2）究其本質(zhì)。

師：恭喜同學(xué)們終于解決了這個(gè)大難題，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)看看這三種方法，它們有共同點(diǎn)或者區(qū)別嗎？（觀察每個(gè)算式中的數(shù)字分別表示什么，與什么相對(duì)應(yīng)）

生：這里的n都表示三角形的個(gè)數(shù)。

生：方法一中的 “n-1”指的是去掉最前面的三角形個(gè)數(shù)，也就是這里的減1指的是減掉第1個(gè)三角形。方法二里的“n-1”指的是它們的公共邊。

師：思路清晰，清楚理解了三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系，我們就能更好地解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題了。

4.思維提升，應(yīng)用規(guī)律

師：剛才我們能根據(jù)三角形個(gè)數(shù)求小棒根數(shù)，現(xiàn)在反一反，根據(jù)小棒根數(shù)求三角形的個(gè)數(shù)，你會(huì)嗎？

（1）一共有17根小棒，能擺多少個(gè)這樣的三角形？

①生獨(dú)立完成。

②反饋交流：投影展示學(xué)生作品。

預(yù)設(shè)1：（17-1）÷2=8（個(gè)）。

預(yù)設(shè)2：（17-3）÷2=7（個(gè)），7+1=8個(gè)。（追問(wèn)：為什么要加1？）

師：請(qǐng)舉手示意，用的是哪種方法？

師：看來(lái)還是用2n+1這一規(guī)律計(jì)算的同學(xué)更多，說(shuō)說(shuō)你們的理由。

生：因?yàn)樗闫饋?lái)最快，還不容易遺忘+1。

（2）18根小棒，可以擺出像這樣的連接三角形嗎？

生獨(dú)立思考，想一想、算一算，發(fā)現(xiàn)不能擺成。

師：那要擺成這樣的連接三角形，你覺(jué)得對(duì)小棒的根數(shù)有什么樣的要求？

生：我想到了“1+2n”和“3+2（n-1）”的方法，要拼出連接三角形，只要它們的第一項(xiàng)都是奇數(shù)，其結(jié)果也一定是奇數(shù)。也就是說(shuō)無(wú)論多少個(gè)三角形拼在一起，小棒根數(shù)一定是奇數(shù)。

師：太會(huì)思考了，原來(lái)小棒的根數(shù)和三角形的個(gè)數(shù)之間也存在著奇偶性。

5.直觀演示，回顧規(guī)律

小結(jié)：剛才我們從不同的角度觀察、思考，發(fā)現(xiàn)了三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的規(guī)律，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)回顧一下這三種方法吧。

（三）舉一反三，類比遷移

師：剛才我們通過(guò)細(xì)心觀察—大膽猜測(cè)—操作驗(yàn)證等活動(dòng)探究了三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的規(guī)律，這些都是非常好的數(shù)學(xué)方法，現(xiàn)在我們帶著這樣的數(shù)學(xué)思維再來(lái)看看，擺這樣的50個(gè)正方形需要多少根小棒呢？

1.探究連接正方形中的規(guī)律

師：這樣擺正方形，你看得懂嗎？（出示課件）

生：我受到了前面三角形規(guī)律的啟發(fā)。

師：看來(lái)，我們掌握了一個(gè)圖形的規(guī)律就可以用同樣的方法來(lái)解決其他圖形的規(guī)律，那連接五邊形、六邊形你還會(huì)嗎？

2.觀察比較

師：這跟剛才連接三角形中的規(guī)律有什么相同與不同的地方？

師小結(jié)：雖然連接三角形和連接正方形的規(guī)律不完全相同，但思考方法是相同的。

（四）運(yùn)用規(guī)律，拓展應(yīng)用

師：其實(shí)，這樣的規(guī)律不僅存在于圖形中，生活中也有呢！（出示以下題目）

（1）1張桌子可以坐6人，2張桌子可以坐10人。3張呢？5張呢？

（2）如果像這樣坐70人，要擺（ ? ）張桌子？

（五）反思內(nèi)化，總結(jié)提升

（1）回顧一下，這節(jié)課我們一起研究了什么問(wèn)題？

（2）揭題：圖形中的規(guī)律。

（3）想一想：這節(jié)課我們是怎么解決這個(gè)問(wèn)題的？

生：先呈現(xiàn)難的100，然后將它轉(zhuǎn)化成容易的10，最后找到規(guī)律后再來(lái)解決更難的題。

師總結(jié)：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們知道了可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題再進(jìn)行研究。從不同的角度觀察思考，發(fā)現(xiàn)連接圖形中的規(guī)律，就能解決更難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的化繁為簡(jiǎn)的思想。

（六）板書(shū)設(shè)計(jì)

【評(píng)析】

《圖形中的規(guī)律》是新教材五年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，已經(jīng)對(duì)“規(guī)律”這一知識(shí)積累了一些相關(guān)的基本經(jīng)驗(yàn)。五年級(jí)學(xué)生正處于從具體思維向抽象思維過(guò)渡的階段，如何順利把握知識(shí)的要點(diǎn)，提升思維層次顯得尤為關(guān)鍵。因此，充分了解學(xué)生的學(xué)情，引導(dǎo)他們的認(rèn)知水平從最初的探索簡(jiǎn)單模型的規(guī)律逐漸提升到探究平面圖形的規(guī)律，直至積累探究立體圖形規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)與方法，使學(xué)生的思維層次不斷提升，最終建立完整的“數(shù)形結(jié)合”知識(shí)體系。本課例充分體現(xiàn)了學(xué)生在生本課堂中數(shù)學(xué)思維的逐步提升。

（一）基于前測(cè)，精準(zhǔn)聚焦課堂

“學(xué)情前測(cè)”是把握學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的重要手段，是落實(shí)“學(xué)為中心”課堂教學(xué)、打造“學(xué)本課堂”的有效途徑。任課教師在課前對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，首先出示問(wèn)題一：“擺1個(gè)三角形需要幾根小棒，4個(gè)三角形需要幾根小棒？100個(gè)三角形呢？”讓學(xué)生在已有的經(jīng)驗(yàn)下自主思考三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系。再出示第二個(gè)問(wèn)題：“17根小棒可以擺出幾個(gè)三角形？”引發(fā)學(xué)生的思維沖突，思考如何用最少的小棒擺出最多的三角形，為本節(jié)課學(xué)習(xí)擺連接三角形這一難點(diǎn)找到了突破口。在整個(gè)新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，前測(cè)顯得尤為重要，基于學(xué)情的課堂教學(xué)才能精準(zhǔn)地突破重難點(diǎn)，以學(xué)生為主體，真正有效地提升課堂效率，提升學(xué)生思維層次。

（二）基于實(shí)踐，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，通過(guò)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、關(guān)系及其變化規(guī)律，從而形成模型思想。本課重在直觀操作、感悟探究，引導(dǎo)學(xué)生在擺三角形的過(guò)程中，通過(guò)操作、畫(huà)圖、列表等形式從不同角度思考發(fā)現(xiàn)不同的規(guī)律，建立初步的數(shù)學(xué)模型思想，能用字母表示三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的規(guī)律，并能深究其規(guī)律的本質(zhì)，聯(lián)系、區(qū)別三種規(guī)律的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。在生本課堂的氛圍中，教師通過(guò)小組合作、實(shí)踐探究，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（三）基于經(jīng)驗(yàn)，提升思維層次

學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的富有個(gè)性的過(guò)程。教師給予學(xué)生充分思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、積極探索、合作交流，積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生通過(guò)擺連接三角形，探究規(guī)律，進(jìn)而探究擺正方形的規(guī)律、多邊形的規(guī)律，最后應(yīng)用到生活中，舉一反三、遷移提升、以點(diǎn)帶面，形成扎實(shí)全面的知識(shí)體系，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)源于生活，又高于生活。

（浙江省衢州市衢江區(qū)第四小學(xué) ? 324000）