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    探究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

    2019-11-04 01:34:36赫文波
    理科愛好者(教育教學版) 2019年4期
    關鍵詞:二次函數(shù)對稱軸拋物線

    赫文波

    【摘 要】在初中數(shù)學中,二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)使不少初學二次函數(shù)的初中生感到困惑。結(jié)合教科書的內(nèi)容安排,按照本文中的研究順序,循序漸進,逐步深入,會很容易弄明白二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

    【關鍵詞】二次函數(shù);拋物線;對稱軸

    【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437(2019)22-0170-02

    在初中數(shù)學中,二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)使不少初學二次函數(shù)的初中生感到比較困惑。其實二次函數(shù)的本質(zhì)是數(shù)量關系的變化,將數(shù)量變化與圖形相結(jié)合進行學習,就不會像一些同學想象的那么困難。結(jié)合教科書的內(nèi)容安排,按照下面的研究順序,循序漸進,逐步深入,會很容易弄明白二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

    1? ?y=x2和y=-x2的圖像和性質(zhì)

    二次函數(shù)的學習,要以y=x2和y=-x2的探究為起點。采用五點法作圖,通過找到函數(shù)圖像的最高點或最低點,然后根據(jù)橫坐標對稱性取點,描點作圖,這樣就很容易得出這兩個函數(shù)圖像(如圖1)。仔細觀察這兩個函數(shù)的圖像特點,不難發(fā)現(xiàn):y=x2和y=-x2的圖像都是頂點在原點、關于y軸對稱的拋物線,其形狀和張口大小完全相同,區(qū)別僅在于開口方向不同。

    2? ?y=ax2(a≠0)和y=ax2+k(a≠0)的圖像和性質(zhì)

    在上面研究的基礎上,再來探究y=ax2(a≠0)的圖像和性質(zhì)。還是先通過五點法描點畫圖,得出圖像。比如研究y=2x2(和y=-2x2)的圖像,y=2x2的圖像與y=x2的圖像對比可知,y=2x2的圖像的張口要比y=x2的圖形的張口小;y=x2的圖像張口比y=x2的圖像的張口大。也就是說,x2的系數(shù)a的絕對值越大,圖像的張口越小;a的絕對值越小,圖像的張口越大。a是負數(shù)時只是對應的開口方向不同。

    于是得到,函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像與y=x2的圖像對比:當a是正數(shù)時,它們的頂點、對稱軸完全相同,只是張口大小不同;而且當a的絕對值越大張口越小,a的絕對值越小張口越大。與y=x2和y=-x2的圖像關系相同,y=ax2中a是正數(shù)與a是負數(shù)時圖像的開口方向不同。例如y=3x2

    的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口小,y=x2的圖像的張口要比y=x2的圖像的張口大;y=-3x2的圖像的張口大小與y=3x2的圖像的張口大小相同,只是它們的開口方向相反。

    理解了y=ax2(a≠0),接下來探究y=ax2+k(a≠0)的圖像。通過畫圖,可以看到,這一函數(shù)的圖像(如圖2),只是在y=ax2的圖像的基礎上向上或向下平移|k|個單位。當k是正數(shù)時,向上平移;當k是負數(shù)時,向下平移。頂點坐標是(0,k),對稱軸還是y軸。例如y=2x2+1的頂點坐標是(0,1);y=-3x2-1的頂點坐標是(0,-1)。

    3? ?y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像和性質(zhì)

    在探究了y=ax2(a≠0)和y=ax2+k(a≠0)的圖像基礎上,再來探究y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像。通過五點法描點作出圖像(如圖3),可以發(fā)現(xiàn)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像和y=ax2+k(a≠0)的圖像形狀和大小相同,只是對稱軸向右或向左平移了|h|個單位。當h是正數(shù)時對稱軸向右平移,當h是負數(shù)時對稱軸向左平移。對稱軸是x=h,頂點坐標是(h,k)。

    如y=2(x-1)2+1的頂點坐標是(1,1),對稱軸是x=1,它可以看做是y=2x2+1的圖像向右平移了1個單位;y=2(x+1)2+1的頂點坐標是(-1,1),對稱軸是x=-1,它可以看做是y=2x2+1的圖像向左平移了1個單位。

    此外,所有的二次函數(shù)都可以寫成y=a(x-h)2+k(a≠0)。當h=0時,就是函數(shù)y=ax2+k(a≠0);當k=0時,就是函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0);當h=0、k=0時,就是函數(shù)y=ax2(a≠0);當a=1、h=0、k=0時,就是函數(shù)y=x2。對于一般形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),也可以通過配方的方法轉(zhuǎn)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為

    y=a(x+)2+(a≠0),它的對稱軸是x=,

    頂點坐標是(,)。如y=x2+2x+3可變形為y=(x+1)2+2,它的頂點坐標是(-1,2),對稱軸是x=-1;再

    如y=3x2-2x+5可變形為y=3(x-)2+,它的頂點坐標是(,),對稱軸是x=。

    按照上述順序,由簡入難,循序漸進地學習二次函數(shù),找到與之對應的具體二次函數(shù)認真思考、舉一反三、反復練習,每一種類型都堅持這樣去做,便會弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,那么二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的問題就會迎刃而解。如y=5x2、y=5x2-2、y=5(x-1)2、y=5(x-1)2-2

    (即y=5x2-10x+3),這些二次函數(shù)圖像的形狀如何,它們的頂點坐標、對稱軸分別是什么?y=5x2-2、y=5(x-1)2、y=5(x-1)2-2(即y=5x2-10x+3),這些函數(shù)的圖像是由函數(shù)y=5x2的圖像怎樣移動得到的?認真分析各個函數(shù)的圖像特點、函數(shù)間的移動變化規(guī)律,二次函數(shù)的實質(zhì)也就弄明白了。

    初學二次函數(shù)的學生,不要被一條條抽象的曲線嚇住了,按照上述學習步驟,逐步揭開數(shù)量變化與圖形之間的關系,認真思考,積極訓練,一定能學好二次函數(shù)。

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