例談轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘 要】結(jié)合實(shí)例分析說明幾種常見的轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)中五大思想之一。所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法[1]。更具體地說，就是將一個(gè)待解決的問題或者是一個(gè)復(fù)雜的問題通過轉(zhuǎn)化或再轉(zhuǎn)化，使之化歸為一個(gè)已經(jīng)解決或者是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題。下面結(jié)合實(shí)例分析說明常見的幾種轉(zhuǎn)化與化歸的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化與化歸;應(yīng)用;實(shí)例

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0089-02

1? ?化無理式為有理式

例1? 解方程

分析：這是一個(gè)含根式的對(duì)數(shù)方程，直接求解很有難度，我們可以通過轉(zhuǎn)化與化歸的思想將它化為一個(gè)有理方程，然后再去求解就簡(jiǎn)單多了。

解：變形設(shè)。即x=92y代入原方程得，于是有

即

觀察得y=1，又因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，所以y=1是唯一的根，從而有x=81。

2? ?化分式為整式

例2.設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c互異，且有abc≠0，求解下列關(guān)于x，y，z的方程組？

分析：通過觀察題目發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)形式上為分式的方程組，直接去分母化簡(jiǎn)求解很有些復(fù)雜，但是這三個(gè)方程形式上是相同的，我們可以通過轉(zhuǎn)化與化歸進(jìn)行化三歸一，然后利用根與系數(shù)關(guān)系定理來求解則可以化繁為簡(jiǎn)。

解：設(shè)x，y，z為常量，化三歸一為下列方程xt3-yt2+zt-1=0，由已知有該方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，分別為

，，于是由韋達(dá)定理有，，所以有方程的解為? x=abc，y=ab+bc+ca ，z=a+b+c

3? ?化代數(shù)式為三角式

例3.設(shè)有實(shí)數(shù)x，y，z，且有xy≠-1，yz≠-1，zx≠-1，

求證：

分析：要證明表上面這個(gè)分式等式成立，直接去分母難度極大，通過觀察，聯(lián)想到三角函數(shù)中的一些公式，我們可以通過將之轉(zhuǎn)化為三角形式來證明將大大簡(jiǎn)化了其計(jì)算量。

證明：因?yàn)楫?dāng)A+B+C=kπ，有tanA+tanB+tanC

=tanAtanBtanC成立，

又令A(yù)=α-β，B=β-γ，C=γ-α

且設(shè)x=tanα，y=tanβ，z=tanγ，則有由于A+B+C=0，所以上式成立，即有tan（α-β）+tan（β-γ）+tan（γ-α）=tan（α-β）tan（β-γ）tan（γ-α），展開三角函數(shù)表達(dá)式并代入x，y，z，即成立。

4? ?化代數(shù)為幾何

例4若，且有，求證：（第26屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)

賽題）

分析：這是一個(gè)不等式證明題，如果簡(jiǎn)單地想通過不等式的放縮是很難證明出來的。我們可以通過已知條件聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為p的等邊三角形，將此代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題然后運(yùn)用面積法來求證。

證明：構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為p的等邊三角形ABC，如圖1

所示。

圖1

因?yàn)榧从?/p>

故有。

5? ?化無窮為有窮

例5 當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，若n，n+6，n+12，n+18，n+24均為質(zhì)數(shù)，求n為多少？

分析：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，這里我們不可能一一列舉，我們需要化無窮為有窮，將無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)轉(zhuǎn)化為有限類進(jìn)行分析判定。

解：因?yàn)閚為正整數(shù)，我們可以將n分為五類進(jìn)行討論，分別為n=5k，5k+1，5k+2，5k+3，5k+4（這里k為整數(shù)）。當(dāng)n=5k+1時(shí)，n+24=5k+25=5（k+5）為合數(shù);不滿足條件。當(dāng)n=5k+2時(shí)，n+18=5k+20=5（k+4）為合數(shù);不滿足條件。當(dāng)n=5k+3時(shí)，n+12=5k+15=5（k+3）為合數(shù);不滿足條件。當(dāng)n=5k+4時(shí)，n+6=5k+10=5（k+2）為合數(shù);不滿足條件。當(dāng)n=5k時(shí)，要n為質(zhì)數(shù)，所以只有當(dāng)k=1時(shí)，即n=5才行，此時(shí)n+6=11，n+12=17，n+18=23，n+24=29，均為質(zhì)數(shù)，所以n=5。

點(diǎn)評(píng)：以上結(jié)合例題列舉了5種常見的轉(zhuǎn)化與化歸方法。在平時(shí)數(shù)學(xué)解題中，轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿了重點(diǎn)與難點(diǎn)知識(shí)的方方面面，學(xué)生在平時(shí)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與掌握中，熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想可以幫助學(xué)生在各知識(shí)點(diǎn)之間相互滲透與轉(zhuǎn)化，促進(jìn)重點(diǎn)知識(shí)融會(huì)貫通[2]。在解題中熟練運(yùn)用這些方法往往可以起到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果，但是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，需要平時(shí)仔細(xì)觀察題目的已知條件與所求結(jié)論，從中找到知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，日積月累。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張曉輝.化歸思想與例題解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2015（8）.

[2]張連吉.例談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（5）.

【作者簡(jiǎn)介】

王新（1971～），男，湖北武漢，職稱：高級(jí)，研究方向：數(shù)學(xué)教育。