組間對(duì)決，組內(nèi)合作
——一道難題引發(fā)的合作教學(xué)與再思考

☉江蘇省無錫市江南中學(xué)陽光校區(qū) 陸 濱

本人在任教九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，遇到了如下問題，題目看似不難，方法也頗多，但學(xué)生在解決過程中遇到了不少障礙，筆者特拋出這一問題，與各位同仁進(jìn)行探討和研究：

如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是CB、CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，已知EF=BE+DF，求∠EAF的度數(shù).

本題文字簡(jiǎn)練，是一道難得的好題，但學(xué)生在實(shí)際解決的過程中難以上手，于是筆者十分好奇，與學(xué)生進(jìn)行了探討，想弄清楚困難到底出在哪里.

首先，筆者查閱了該題的出處：原來該題作為一道數(shù)學(xué)難題刊登在《數(shù)學(xué)通報(bào)》2013年第12期上，用高中三角函數(shù)知識(shí)解決的，難道就沒有初中解法嗎？這一次，筆者發(fā)動(dòng)了學(xué)生的積極性，讓他們?nèi)ヌ綄み@個(gè)題目的發(fā)展與變化，結(jié)果是令人欣喜的，學(xué)生找到了一篇文章《一則數(shù)學(xué)問題的解法再探》，本文通過平面幾何的變化過程，給出了多種方法，巧妙地解決了這一問題.參與該題研究的學(xué)生走到這一步，感覺十分滿意.

那么，能否通過本題來發(fā)現(xiàn)一下數(shù)學(xué)問題的剩余價(jià)值呢？通過一個(gè)疑難問題，激發(fā)學(xué)生的思維過程，最終找到研究數(shù)學(xué)的真諦，甚至獲得一些有用的結(jié)論，這種入寶山滿載而歸的感覺是筆者所向往的.于是，針對(duì)這一問題，筆者將參與研究的學(xué)生分為兩個(gè)小組，各自進(jìn)行小組研究，最終將他們的研究成果進(jìn)行匯總，歸納出有用的結(jié)論.

圖1

一、解法再探

圖2

A組學(xué)生借鑒了平面幾何的變化過程，他們進(jìn)行反復(fù)嘗試，得到了以下解答過程：

A組結(jié)論：

我們組在閱讀完題目、觀察圖形后，立刻想到求直角三角形內(nèi)切圓半徑的圖形（如圖2），因?yàn)閳D1給人的第一直覺與圖2非常相似.加上四邊形ABCD是正方形，易知點(diǎn)A在∠C的平分線上.如果EA平分∠CEF（或FA平分∠CFE），則點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)心，過點(diǎn)A作EF的垂線段AM（如圖3），易證則BE=ME，DF=MF.則EF=ME+MF=BE+DF.與已知條件相符，此時(shí)則∠EAF=180°-45°=135°.

我們把上述解法叫作特例法.對(duì)于解答選擇題或填空題，由于不需要寫出解答過程，運(yùn)用特例法有時(shí)非常奏效.特例法本質(zhì)上是對(duì)已知條件的特殊化（強(qiáng)化已知條件）.對(duì)于解答題，雖然不能直接運(yùn)用特例法，但特例法可以起到風(fēng)向標(biāo)的作用，為我們指引解題方向，幫助我們找到解題思路.

圖3

圖4

B組進(jìn)行了反駁：

我們小組認(rèn)為，特例法是在還不能確定點(diǎn)A是否為△CEF的內(nèi)心的情況下首先假設(shè)點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)心.事實(shí)上,如果能夠注意到點(diǎn)A在∠C的平分線上，且AD=正好是Rt△CEF的內(nèi)切圓半徑，由此我們可以猜測(cè)點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)心.因此接下來我們只需要證明點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)心，即證明EA平分∠CEF（或FA平分∠CFE），可過點(diǎn)A作EF的垂線段，再看垂線段的長(zhǎng)是否等于即可，于是我們有了如下的解答過程：

解：設(shè)Rt△CEF的內(nèi)切圓半徑為r，則r=

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則BE+a=CE，DF+a=CF.

以上兩式相加，得BE+DF+2a=CE+CF，即EF+2a=CE+CF.

上述解法的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在∠C的平分線上，且到∠C兩邊的距離等于Rt△CEF的內(nèi)切圓半徑.表面上看這種解法比較麻煩，實(shí)則簡(jiǎn)捷.另外在解答過程中用到了這樣兩個(gè)結(jié)論：直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半，直角三角形的面積等于直角三角形的周長(zhǎng)與其內(nèi)切圓半徑乘積的一半.

看著學(xué)生之間激烈的思維碰撞，作為教師，筆者內(nèi)心是十分欣喜的.在這里適時(shí)進(jìn)行總結(jié)是不可少的：兩個(gè)組的同學(xué)開動(dòng)了腦筋，你們的發(fā)現(xiàn)正是數(shù)學(xué)研究的一般程序，從特殊走向了一般，所得到的結(jié)論是完全正確的.老師此時(shí)需要你們更深入地對(duì)問題進(jìn)行研究，我們兩個(gè)組的同學(xué)不妨進(jìn)行一下嘗試，能否得出一些有用的結(jié)論呢？

二、兩個(gè)組的重要結(jié)論

這一次B組的學(xué)生走在了前面，通過半天的研究和反復(fù)論證，B組的學(xué)生給出了以下一些結(jié)論：

結(jié)論1：如果直角三角形的直角平分線上的一點(diǎn)到兩直角邊的距離都等于該直角三角形的內(nèi)切圓半徑，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

結(jié)論2：如果直角三角形的銳角平分線上的一點(diǎn)到該銳角兩邊的距離都等于直角三角形的內(nèi)切圓半徑，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

綜合結(jié)論1和結(jié)論2，可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：

結(jié)論3：如果直角三角形的內(nèi)部有一點(diǎn)到它的任意兩邊的距離都等于該直角三角形的內(nèi)切圓半徑，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

上述結(jié)論與直角三角形的內(nèi)切圓半徑有關(guān).

結(jié)論1中的點(diǎn)在直角三角形的直角平分線上，B組派代表進(jìn)了幾何論證：

已知：如圖5，在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O在∠C的平分線上.過點(diǎn)O分別作AC、BC的垂線，垂足分別為D、E.如果AD+BE=AB，則點(diǎn)O是Rt△ACB的內(nèi)心.

證明：根據(jù)已知條件易知OD=OE.

連接OA、OB.在線段AB上截取AF=AD，則BF=BE.

過點(diǎn)F作AB的垂線并截取FH=OD.

圖5

則點(diǎn)A是△CEF的內(nèi)心.

A組的學(xué)生這一次反應(yīng)稍微慢了些，對(duì)于B組的結(jié)論，他們?cè)谏酝硪恍┑臅r(shí)間也發(fā)現(xiàn)了，學(xué)生在惋惜之余問我：我們能否在B組同學(xué)的基礎(chǔ)上繼續(xù)來進(jìn)行深入研究呢？筆者大為驚喜，于是提出了一個(gè)思考和研究的方向：

針對(duì)B組結(jié)論中的點(diǎn)在直角三角形的直角平分線上，如果在銳角的平分線上，是否還會(huì)有類似的結(jié)論成立？

A組的學(xué)生果然不負(fù)所望，他們?cè)贐組結(jié)論的基礎(chǔ)上得到如下結(jié)論，并作圖進(jìn)行了說明：

過直角三角形銳角的平分線上一點(diǎn)向該銳角兩邊作垂線，如果垂足與另外兩角對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)之間的線段和等于該銳角的對(duì)邊，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

如圖6，在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)O在∠A的平分線上.過點(diǎn)O分別作AC、AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E.如果CD+BE=BC，則點(diǎn)O是Rt△ACB的內(nèi)心.

更為難得的是，A、B兩組的學(xué)生進(jìn)行了通力合作，共同總結(jié)出了這樣的結(jié)論：

結(jié)論4：過直角三角形任意一角的平分線上一點(diǎn)向該角兩邊作垂線，如果垂足與另外兩角對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)之間的線段和等于該角的對(duì)邊，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

結(jié)論3是對(duì)結(jié)論1和結(jié)論2的綜合，而結(jié)論4又是對(duì)結(jié)論3的提煉.

這樣一番過程，筆者是非常滿意的，于是有了這樣一個(gè)想法，對(duì)本題的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的推廣，通過10分鐘的微課時(shí)間進(jìn)行總結(jié)和提煉.

圖6

三、微課形式的提煉與推廣

在進(jìn)行組與組之間的對(duì)決之后，筆者通過得到的結(jié)論錄制了一節(jié)有針對(duì)性的微課，對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行了提煉與推廣.可以看到，上面結(jié)論都是根據(jù)直角三角形得出的.對(duì)于任意三角形，是否仍有類似的結(jié)論？可以證明，對(duì)于任意三角形，仍有類似的結(jié)論：

結(jié)論5：如果三角形內(nèi)部有一點(diǎn)到它的任意兩邊的距離都等于該三角形的內(nèi)切圓半徑，那么這點(diǎn)是直角三角形的內(nèi)心.

如圖7，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，如果OD=OE=r（或OD=OF=r，或OE=OF=r），那么點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心.

通過對(duì)一則問題的探討和研究，讓學(xué)生發(fā)揮出他們的潛力，得到了許多有用的結(jié)論，這樣的課堂是扎實(shí)和富有成效的.W

圖7