關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，拓展應(yīng)用探究
——以2019年泰州市中考數(shù)學(xué)第25題為例

☉江蘇省淮陰中學(xué)開明校區(qū) 韓 建

幾何是初中數(shù)學(xué)重要的知識內(nèi)容，而在實(shí)際中考中常以綜合題的形式考查，其中涉及眾多的幾何性質(zhì)和定理，同時(shí)圖形結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜.合理把握圖形特點(diǎn)，活用幾何模型是問題突破、效率提升的關(guān)鍵.本文以一道中考幾何綜合題為例，開展試題解析、賞析，并對其中的模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓展探究，與讀者交流.

一、真題呈現(xiàn)

以下是2019年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題：

如圖1所示，線段AB=8，射線BG⊥AB，P是射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合），試回答下列問題.

（1）求證△AEP△CEP；

圖1

（2）試判斷線段CF和AB的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）試求△AEF的周長.

二、試題解析

本試題共分三個(gè)小問，題干給出了圖形構(gòu)建的過程，首先需要根據(jù)文字描述理解圖形的結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合對應(yīng)的問題來探究具體的解題思路，具體如下：

（1）該問為三角形全等證明，需要根據(jù)題干信息來探尋三角形全等所需的條件，需要注意△AEP 和△CEP均是依托正方形構(gòu)建的，因此需要充分利用正方形的性質(zhì).

已知四邊形APCD為正方形，DP為其一條對角線，根據(jù)其性質(zhì)可得PC=PA，∠CPE=∠APE=45°，因此在△AEP和△CEP中，有，所以△CEP（SAS），證畢.

（2）該問屬于線段位置關(guān)系判斷題，初步觀察兩線段為垂直關(guān)系，有兩種證明思路.思路1是由角出發(fā)，通過證明∠AFC=90°加以確定.思路2則是通過證明CF∥BG來完成，因題干給出射線BG⊥AB，若CF與BG相平行，則有CF⊥AB.

方法1：直接求角度∠AFC=90°存在一定困難，可以將其放置在三角形中.設(shè)FC與AP的交點(diǎn)為點(diǎn)M，則∠AFC為△AFM的一個(gè)內(nèi)角，只需要證明∠AMF與∠AFM互余.

方法2：證明兩線平行，由兩線平行的判定定理可知需要分析其中存在相等關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角、同位角或互補(bǔ)關(guān)系的同旁內(nèi)角.根據(jù)條件可知BG⊥AB，若CF∥BG，同樣可證CF⊥AB，具體如下.由可得∠EAP=∠ECP.結(jié)合∠EAP=∠BAP，可推得∠ECP=∠BAP.由于所以∠GPC=∠BAP，進(jìn)而可得∠ECP=∠GPC.根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，可得CF∥BG，所以CF⊥AB.

（3）該問求解△AEF的周長，題干只給出了線段AB的長度，因此實(shí)際上就是分析AF+EF+AE與線段AB之間的長度關(guān)系.除了AF與AB共線，其他兩條線段EF和AE均與其不共線，因此需要通過線段組合、等長轉(zhuǎn)化等方式，將其轉(zhuǎn)化到AB所在直線上，或建立與AB所在直線上相關(guān)線段之間的長度關(guān)系.

圖2

三、試題賞析

上述考題分為三問，并采用難度遞進(jìn)的設(shè)問方式，主要考查初中角平分線、正方形、三角形的性質(zhì)定理等核心知識，是對學(xué)生空間幾何觀、定理應(yīng)用能力、邏輯推理能力的綜合考查.下面結(jié)合解題過程對試題加以賞析.

1.設(shè)問賞析

第（1）問是常規(guī)的三角形全等證明，需要根據(jù)全等的判斷定理來探尋條件.復(fù)合圖形中存在正方形，因此解題核心就是依托正方形的性質(zhì)來提煉等邊、等角條件.第（2）問求證兩線的位置關(guān)系，主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理.對于該類型幾何題的求解，需要采用“猜想→證明”的方式，即分兩步進(jìn)行：第一步，通過直觀判斷來猜想兩線之間的位置關(guān)系；第二步，利用幾何知識對其加以證明，該過程中同樣可以對猜想做出修正.觀察復(fù)合圖形，顯然兩線為垂直關(guān)系，考慮到所給圖形的特殊性，證明有多種方法，傳統(tǒng)的方法是以角度作為切入口，將所求角放置在三角形中加以證明.更切合圖形結(jié)構(gòu)的方法是以兩線平行來進(jìn)行垂直轉(zhuǎn)化.無論哪一種方法，最后均需要?dú)w結(jié)于三角形的內(nèi)角分析.第（3）問是該幾何壓軸題的核心之問，也是兼具邏輯分析、幾何轉(zhuǎn)化的一問，表面上是求解三角形的周長，但分析題中所給條件，需要利用已知線段長對其加以表示，實(shí)際上就是分析不共線線段之間的長度關(guān)系，這是命題人的本意，因此該問屬于線段長的關(guān)系分析題，充分利用圖形之間的位置關(guān)系和長度關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在.

2.圖形賞析

圖3

對復(fù)合圖形的提煉、轉(zhuǎn)化是幾何壓軸題的重要考查點(diǎn)，也是幾何綜合題突破求解的難點(diǎn)之一，而充分把握圖形結(jié)構(gòu)、理解幾何元素關(guān)系、靈活運(yùn)用圖形特性是解題的關(guān)鍵.上述復(fù)合圖形中綜合了正方形、三角形、兩線垂直、角平分線等幾何內(nèi)容，設(shè)問也是依托這些幾何內(nèi)容進(jìn)行.雖圖形較為復(fù)雜，但實(shí)際解題時(shí)需要針對設(shè)問來拆解圖形，從中提取有用的部分，排除干擾.深入分析圖形，實(shí)際上該復(fù)合圖中隱含著初中數(shù)學(xué)常見的“K”型圖，即過點(diǎn)C作CN⊥PB可構(gòu)建三垂直圖形結(jié)構(gòu)，如圖3所示.△CPN和△ABP均為直角三角形，且兩個(gè)三角形其中的兩條直角邊共線（邊NP和BP共線），共用一個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)P為兩個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)），該“K”型圖的顯著特點(diǎn)是存在三個(gè)垂直關(guān)系，以圖3為例，有CP⊥AP、CN⊥PN、BP⊥AB.“K”型圖是一種較為特殊的圖形結(jié)構(gòu)，構(gòu)成“K”型圖的兩個(gè)三角形互為相似三角形，即通過其中的三垂直關(guān)系可以轉(zhuǎn)化出等角關(guān)系，這是“K”型圖的性質(zhì)所在，上述考題第（3）問的第一步在求證兩三角形全等時(shí)就是充分利用“K”型圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì).

四、圖“型”的拓展

“K”型圖的性質(zhì)定理核心是同角或等角的余角相等，利用該性質(zhì)定理可以較為簡潔地獲得三角形全等的證明條件，從而顯著提高解題效率.“K”型圖在幾何全等問題中有著廣泛的應(yīng)用，而上述只是其中的一種類型——經(jīng)典三垂直模型，下面對其深入探索.

1.經(jīng)典模型——特殊角

對于經(jīng)典的三垂直模型，還存在如下三種垂直變化模型，具體如下.

將上述經(jīng)典模型中的兩個(gè)三角形沿著共線邊向左或向右滑動(dòng)，則可以得到如圖4所示的模型，該模型同樣是不同三角形的兩個(gè)直角邊共線.若更換共線邊，使一斜邊和另一三角形的直角邊共線，則可以得到圖5所示的模型.若將兩個(gè)三角形翻折可以得到如圖6所示的模型.無論哪種模型，其中均存在垂直關(guān)系，其中除了三角形本身所具有的直角垂直關(guān)系，還存在兩三角形有邊垂直的特點(diǎn)，這是構(gòu)建余角相等的關(guān)鍵所在，而實(shí)際證明過程均一致，以圖6為例，過程如下.

圖4

圖5

圖6

條件：在圖6中，已知△ABE和△BDC均為直角三角形，其中∠AEB=∠BDC=90°，且有AB⊥BC.

求證：∠A=∠DBC.

證明：因?yàn)椤螦EB=∠BDC=90°，AB⊥BC，所以所以∠A=∠DBC.

利用等角的余角相等特性，結(jié)合其中的邊相等可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等的證明，這也是上述考題第（3）問的求證思路.

2.一般模型——一般角

經(jīng)典“K”型圖是以三組特殊的垂直關(guān)系為依托構(gòu)建的，而對其中的角度一般化則可以實(shí)現(xiàn)“K”型圖的一般化拓展.以本考題所涉及的模型結(jié)構(gòu)一般化為例，若去掉其中的垂直關(guān)系，僅確保其中涉及的三角相等即可實(shí)現(xiàn)模型的一般化.以銳角為例，如圖7所示，其中∠B=∠E=∠ACF=α（其中α為銳角），∠B和∠E分別為兩個(gè)三角形的內(nèi)角，而∠ACF為兩個(gè)三角形兩邊的夾角構(gòu)成的.在該一般化“K”型圖中，同樣存在著不同三角形中的等角性質(zhì)，且其證明過程與經(jīng)典模型相一致，以α=60°為例，過程如下.

圖7

圖8

條件：如圖8所示，點(diǎn)B、C和E位于同一直線上，且∠B=∠E=∠ACF=60°.

求證：∠BAC=∠FCE.

證明：在△ABC中，∠B=60°，則∠BAC+∠ACB=120°.由已知∠ACF=60°，得∠ACB+∠FCE=120°，則∠BAC=∠FCE.

五、寫在最后

中考試題是對學(xué)生綜合知識的應(yīng)用考查，對學(xué)生的邏輯思維和分析推理能力有著較高的要求，對其中的幾何綜合題，不僅需要理解教材中涉及的幾何定理，還需要準(zhǔn)確識別圖形，整體把握圖形結(jié)構(gòu)，合理地對圖形拆解、提煉，得出有利于解題的圖形部分.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，注重幾何模型的提煉、積累顯得尤為重要，也是提升圖形識別能力、提高解題效率的重要方式.另外，歷年中考中存在眾多優(yōu)秀試題，以考題為依托，開展拓展學(xué)習(xí)、模型強(qiáng)化更能提升學(xué)生的綜合能力，因此在教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注類題的研究，重視模型的學(xué)習(xí)，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.