對一道幾何綜合題的閱卷記錄與思考

☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)黃玨學(xué)校 趙萬兵

一次中考?？季毩?xí)后，備課組采用“流水閱卷”，筆者承擔(dān)的是一道幾何綜合題的閱卷任務(wù)，批閱幾何綜合題，雖然辛苦，但也增加了對這道幾何綜合題的深刻理解，特別是對一些典型錯誤有了更直接的記錄.本文整理這道幾何綜合題的閱卷記錄，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享.

一、幾何綜合題及思路突破

幾何綜合題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心、OA長為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)B.

（1）求⊙O的半徑；

（2）點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長；

（3）在（2）的條件下，連接PC，求tan∠PCA的值.

圖1

圖2

解法概述：（1）如圖2，連接OB.

由OA=OB，得∠ABO=∠A=30°.

由∠ACB=90°，∠A=30°，得∠ABC=60°.

則∠OBC=30°.

（2）如圖2，連接OP.

由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，得OP⊥AB，則∠QPO=∠A=30°.

二、閱卷記錄與常見錯誤

錯解1：審題不清.第（2）問中，條件“點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長”，很多學(xué)生將弧AB理解為線段AB，將點(diǎn)P取到線段AB上去，接下來的解答肯定就不符合題意了，導(dǎo)致失分.

錯解2：對在同圓或等圓中等弧所對的圓心角相等這一概念理解不到位.比如，由于題目中有條件：點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，立即想到在同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角相等，直接就寫出∠PCA=∠PCB，但這兩個角并不是圓心角，因此后面的解答顯然無意義.再有，在第（1）問的基礎(chǔ)上，有很多學(xué)生結(jié)合題目中的∠ACB=90°這一條件，直接得到∠PCA=45°，從而得到tan∠PCA=tan45°=1.

錯解3：錯將∠PCA理解為圓周角.比如，在第（1）問的基礎(chǔ)上，很多學(xué)生求出∠AOB=120°，這時候看到條件“點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)”，得到弧AP的度數(shù)是60°，直接就寫出∠PCA=30°，所以就有了錯誤的結(jié)果tan∠PCA=tan30°

錯解4：誤認(rèn)為OC是半徑.在第（1）問的求解中，有很多考生在求出線段CO后，直接認(rèn)為半徑為

錯解5：對含30°角的直角三角形三邊之間的關(guān)系運(yùn)用不熟練.

在第（1）問的求解中，很多考生求出△ABC是有一個角是30°的直角三角形，其中∠CAB=30°，∠ACB=90°，邊BC=1，立即得到邊AC=2，設(shè)OC=x，AO=2-x，AO=BO，則（2-x）2=x2+1，解得x=.很顯然是沒有理解“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”這一性質(zhì).

閱后感：平時的教學(xué)中，要注意加強(qiáng)學(xué)生解題后的反思，看看自己所做的答案是否符合題意.像這樣的錯誤，只要學(xué)生能做到稍微反思一下自己的解答與題目中的條件，就會很快發(fā)現(xiàn)自己的解答是有問題的，不至于出現(xiàn)這樣啼笑皆非的解答.

錯解6：運(yùn)算不過關(guān).

錯解7：錯用垂徑定理.

由點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)，得PC⊥AB，而這里點(diǎn)P不是圓心，故沒有這樣的結(jié)論.

錯解8：對三角函的概念理解不清.

錯解9：瞎做一通.

由點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，得AQ=OQ（亂做一通，沒有任何依據(jù)）.由AO=，得AQ=OQ=.（結(jié)果也不約分）在沒有任何依據(jù)的條件下想當(dāng)然地直接寫出了四邊形PBCQ是一個正方形.

閱卷隨感：這是一道作圖加解答的幾何題，題目新穎，一改以前將一個完整的題目呈現(xiàn)在學(xué)生面前，需要考生認(rèn)真讀題，并按照題目的要求作出相應(yīng)正確的圖形，然后才能解出正確答案，考查了學(xué)生的動手作圖能力，也引導(dǎo)教師在平時的教學(xué)中要注重讓學(xué)生多動手，不能越俎代庖，剝奪學(xué)生的實(shí)際操作訓(xùn)練.在正確解題過程中，也發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生的思維能力比較強(qiáng)，會巧妙利用平時學(xué)習(xí)過程中探究的一些結(jié)論，比如，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，頂角為120°的等腰三角形的性質(zhì)，在解題的過程中能起到事半功倍的效果，雖然這些不是課本上直接出現(xiàn)的結(jié)論，但是閱卷組的老師們認(rèn)為這些考生平時學(xué)習(xí)認(rèn)真，敢于探究，建議不扣分，鼓勵學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)，敢于探索，讓他們在平時的學(xué)習(xí)中有成就感.

三、由閱卷引發(fā)的教學(xué)思考

1.平時解題教學(xué)要多展示“一般學(xué)生”的解法

平時解題教學(xué)過程中，因?yàn)榻虒W(xué)進(jìn)度或教學(xué)內(nèi)容的原因，我們往往過多地安排優(yōu)秀學(xué)生講解、互動，或拿優(yōu)秀學(xué)生的解法直接投影，讓其余學(xué)生核對、記錄答案，一般學(xué)生的不當(dāng)解法往往被“遮蓋”、隱藏、無視，這樣教師自我感覺良好，教學(xué)任務(wù)完成了，但是經(jīng)常在考試之后發(fā)出一些感嘆“我都講過幾遍了，你們怎么還是錯的”.結(jié)合這次閱卷所見，學(xué)生以上一些低級失誤、錯誤，也許本來就存在，只是在平時課堂教學(xué)、解題教學(xué)過程中，被我們無視，這也就啟發(fā)示我們在平時解題教學(xué)過程中，要多多展示“一般學(xué)生”的解法，不能為了趕進(jìn)度、多講題而隱藏他們的錯誤.

2.利用錯誤的生成性資源組織學(xué)生參與診評

當(dāng)我們重視“一般學(xué)生”的解法展示之后，就會有很多錯誤的生成性資源出現(xiàn)，這時教師要組織學(xué)生參與進(jìn)來，讓學(xué)生一起閱讀、參與評價(jià)這些“不良解法”，并安排優(yōu)秀學(xué)生參與糾錯與究錯，這樣既能幫助“一般學(xué)生”修正錯漏，又讓優(yōu)秀學(xué)生站在高處審視、評價(jià)他人的錯漏，也是一次難得的能力提升.著名特級教師華應(yīng)龍老師近年來倡導(dǎo)的“化錯教育”正是重視課堂上一些錯誤資源的教學(xué)運(yùn)用，這也是值得我們在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（特別是解題教學(xué)）中積極嘗試的.如上文閱卷記錄所見，如果我們平時忽視學(xué)生可能的錯漏解法，他們就可能在獨(dú)立答題的考場反復(fù)上演這些“無奈的錯誤”.

3.幾何綜合題要重視規(guī)范而簡潔的語句組織

從我們在閱卷過程中所見，錯誤類型中有很多是因?yàn)閹缀瓮评碚Z句的組織不當(dāng)，推證或演算過程不規(guī)范，缺步、跳步解答普遍存在，這也對幾何教學(xué)提出了較高的要求.事實(shí)上，根據(jù)平面幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有些中等學(xué)生往往也能很快貫通思路，但是寫成的幾何語句缺步、跳步，或想當(dāng)然地人為添加了一些條件，使得閱卷過程中對這類學(xué)生的評價(jià)非常麻煩，如果認(rèn)定他們“高位錯漏”就會造成“扣大分”，如果判定他們是“筆誤”式的少寫一步、跳步解答，則可判為“不扣分”或“扣小分”，相信這樣的糾結(jié)很多閱卷老師都有同感.這也啟示我們，幾何解題語句的教學(xué)仍有待加強(qiáng)，讓學(xué)生在思路貫通之后先打草稿，然后精心組織語句的先后順序，審查有沒有跳步、漏寫推理關(guān)鍵步驟之處，這樣再寫到答題區(qū)域，養(yǎng)成習(xí)慣，堅(jiān)持訓(xùn)練一段時間之后，也許幾何解題步驟或語句組織方面的能力就能得到相應(yīng)的提升.