逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的混合勢(shì)函數(shù)安全制導(dǎo)

劉將輝，李海陽，陸林，趙劍

國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073

航天器在空間中由于燃料耗盡或某部件發(fā)生故障時(shí)，將處于無控旋轉(zhuǎn)狀態(tài)[1-3]。為了使造價(jià)昂貴的航天器繼續(xù)在軌運(yùn)行，必須對(duì)航天器進(jìn)行在軌修復(fù)、燃料加注或部件更換等[4-7]。面向無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的安全逼近是實(shí)施上述任務(wù)的基礎(chǔ)。

相關(guān)學(xué)者在逼近無控旋轉(zhuǎn)航天器方面做了大量的研究并取得了許多重要成果。Ma等[8]提出了前饋?zhàn)顑?yōu)控制方法，將時(shí)間/燃料消耗作為優(yōu)化變量，重點(diǎn)放在搜尋最佳逼近路徑以及優(yōu)化追蹤航天器的推力分布。Xin和Pan[9]采用Thetas-D非線性最優(yōu)控制方法，通過攝動(dòng)過程求出Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程的近似解，設(shè)計(jì)了該問題的閉環(huán)反饋控制器。Martins-Filho和Jr[10]基于Clohessy-Wiltshire(C-W)方程建立了追蹤航天器與無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，分別采用線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)和比例微分(PD)控制器進(jìn)行控制，并對(duì)兩種控制器的魯棒性和跟蹤能力進(jìn)行了對(duì)比分析。Boyarko等[11]研究了圓軌道下逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的最小能量和最小時(shí)間的軌跡優(yōu)化問題，采用Pontryagin最小準(zhǔn)則對(duì)最優(yōu)控制問題進(jìn)行分析并通過高斯偽譜法進(jìn)行數(shù)值求解。Stoneman和Lampariello[12]提出了一種基于非線性優(yōu)化的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法，通過在線全局搜索的并行優(yōu)化法為追蹤航天器逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)衛(wèi)星提供參考軌跡。考慮到控制輸入飽和以及速度約束條件，Li等[13]提出模型預(yù)測(cè)控制策略以逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器。Zagaris和Romano[14]研究了逼近旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的可達(dá)性問題。李鵬等[15]提出追蹤航天器沿旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器最大慣量軸同步逼近的控制策略。姜博嚴(yán)等[16]采用滑模自適應(yīng)控制方法，著重考慮了逼近旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的姿軌強(qiáng)耦合控制問題。作者團(tuán)隊(duì)[17]提出增廣比例導(dǎo)引律方法，引入了跟隨旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)的逼近點(diǎn)概念。孫沖等[18]提出利用外包絡(luò)法來優(yōu)化追蹤航天器路徑。文獻(xiàn)[8-18]在逼近無附件剛性航天器方面控制性能較好，當(dāng)面對(duì)逼近具有太陽能電池帆板和天線等柔性航天器的問題時(shí)，則可能會(huì)導(dǎo)致追蹤航天器與目標(biāo)航天器太陽能電池帆板和天線等附件相撞，顯然無法滿足逼近過程的安全性要求。

為了保證航天器逼近過程的安全性，Breger和How[19]提出了一種主動(dòng)安全方法，將交會(huì)對(duì)接過程中的安全性作為約束，在保證安全性的同時(shí)不額外消耗燃料。Park等[20]開發(fā)了一種模型預(yù)測(cè)控制器，能有效躲避碎片的撞擊并有助于降低燃料的消耗。Chen等[21]利用人工勢(shì)場(chǎng)法對(duì)4個(gè)柔性航天器進(jìn)行在軌自主裝配，所提控制策略使得服務(wù)航天器在到達(dá)期望位置的同時(shí)也避免了碰撞問題的發(fā)生。Dong等[22]引入了勢(shì)函數(shù)法對(duì)追蹤航天器的路徑進(jìn)行約束，提出了實(shí)時(shí)自適應(yīng)控制律，在之后又提出了一種基于雙四元數(shù)的特殊人工勢(shì)場(chǎng)法來約束追蹤航天器的軌跡[23]，張大偉等[24]利用基于橢圓蔓葉線的人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)，Zhu等[25]提出了模型預(yù)測(cè)控制法，F(xiàn)eng等[26]設(shè)計(jì)了一種基人工勢(shì)函數(shù)的新型滑?？刂撇呗裕珻ao等[27]設(shè)計(jì)了次優(yōu)人工勢(shì)函數(shù)滑模控制。Nicoletta等[28]將人工勢(shì)場(chǎng)理論與滑模技術(shù)相結(jié)合設(shè)計(jì)了避障制導(dǎo)算法。作者團(tuán)隊(duì)[29]提出了追蹤航天器沿旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器某一體軸逼近的控制策略，設(shè)計(jì)了安全逼近軌跡。文獻(xiàn)[19-29]很好地解決了安全逼近問題，但上述方法對(duì)追蹤航天器的初始位置有要求，即追蹤航天器的初始位置必須位于目標(biāo)航天器本體坐標(biāo)系的某一范圍，否則追蹤航天器仍然會(huì)與目標(biāo)航天器的附件發(fā)生碰撞。

逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器方面的研究在取得大量成果的同時(shí)，也存在許多局限性，主要在以下兩個(gè)方面：第一，航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程大多都是基于Clohessy-Wiltshire(C-W)方程的圓軌道描述，航天器間的相對(duì)位置和相對(duì)速度測(cè)量需要地面高精度的遙測(cè)和濾波，實(shí)時(shí)性較差并且位置誤差較大。第二，為了滿足安全逼近要求，對(duì)追蹤航天器的初始位置有嚴(yán)格的限定。

基于上述考慮，本文以視線坐標(biāo)系建立兩航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)任意偏心率的軌道均適用，追蹤航天器與目標(biāo)航天器的相對(duì)位置和相對(duì)速度的測(cè)量主要依賴于追蹤航天器本身的傳感器，實(shí)時(shí)性較好并且位置誤差較小。其次，本文推導(dǎo)的方法對(duì)追蹤航天器的起始位置沒有要求，追蹤航天器可以從任意位置對(duì)目標(biāo)航天器進(jìn)行逼近。最后，本文所提的方法不僅能安全逼近而且能躲避逼近過程中的飛行障礙物，安全性更高。

1 基礎(chǔ)模型

1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)

(1)

(2)

(3)

e1=r-rd=x1-rd

(4a)

e2=qε-qεd=x2-qεd

(4b)

e3=qβ-qβd=x3-qβd

(4c)

(4d)

(4e)

(4f)

ep=xp-xpd

(5)

(6)

對(duì)式(5)和式(6)分別求導(dǎo)，可得

(7)

(8)

其中:

(9)

P2(x)=

(10)

1.2 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

為了方便分析，本文采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)，四元數(shù)描述下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

2 混合勢(shì)函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

混合勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)的原理為：定義能反映追蹤航天器在全局運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的混合勢(shì)函數(shù)，該混合勢(shì)函數(shù)由吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)、障礙物勢(shì)函數(shù)組成。用吸引勢(shì)函數(shù)表示參考位置，參考位置對(duì)追蹤航天器施加引力，混合勢(shì)函數(shù)在參考位置具有全局最小值。用安全勢(shì)函數(shù)表示安全區(qū)和安全走廊，安全區(qū)和安全走廊對(duì)追蹤航天器施加斥力。用障礙物勢(shì)函數(shù)表示障礙物，障礙物對(duì)追蹤航天器施加斥力。安全區(qū)、安全走廊和障礙物構(gòu)成了追蹤航天器的路徑限制區(qū)域?；旌蟿?shì)函數(shù)在路徑限制區(qū)域具有全局較大的值。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析混合勢(shì)函數(shù)，找出合適的控制律使混合勢(shì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，從而使混合勢(shì)函數(shù)保持單調(diào)遞減。使得追蹤航天器在到達(dá)參考位置的同時(shí)，也能有效地避開路徑限制區(qū)域(安全區(qū)、安全走廊和障礙物)，以達(dá)到預(yù)期的制導(dǎo)目的。

2.1 吸引勢(shì)函數(shù)

用吸引勢(shì)函數(shù)表示參考位置，將吸引勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)為

(15)

式中：Qp和Qv為正定對(duì)稱矩陣。由式(15)可知，當(dāng)ep=0且ev=0時(shí)，Ωd=0，否則Ωd>0，參考位置(ep=0且ev=0)為該吸引勢(shì)函數(shù)的最小值。

2.2 安全勢(shì)函數(shù)

圖2 安全區(qū)和安全走廊

圖3 安全區(qū)和安全走廊剖面

由圖2和圖3可知，可通過追蹤航天器視線與目標(biāo)航天器對(duì)接軸的夾角α與安全角θs的關(guān)系來劃分安全區(qū)和安全走廊。當(dāng)α>θs時(shí)，此時(shí)安全區(qū)起作用。當(dāng)α≤θs時(shí)，此時(shí)安全走廊起作用。根據(jù)上述分析，可得

(16)

用Gaussian函數(shù)表示安全區(qū)和安全走廊，將安全勢(shì)函數(shù)Ωs0設(shè)計(jì)為

(17)

(18)

對(duì)式(17)求導(dǎo)可得

(19)

(20)

下面求解式(19)中的其他各項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)，

(21)

(22)

(23)

聯(lián)立式(13)和式(18)可得

(24)

式中：

(25)

式中：

2.3 障礙物勢(shì)函數(shù)

在逼近任務(wù)中，有時(shí)候需要伴飛航天器對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器進(jìn)行全面的觀察偵測(cè)。追蹤航天器在逼近過程中應(yīng)避免與伴飛航天器發(fā)生碰撞，此時(shí)伴飛航天器表現(xiàn)為障礙物。將障礙物看作是具有一定半徑的球體，障礙物勢(shì)函數(shù)Ωo0的設(shè)計(jì)為

(26)

(27)

(4)壓濾機(jī)。凈化雜質(zhì)的液固分離主要選用XAZGFN150/1250- U自動(dòng)暗流隔膜壓濾機(jī)。壓濾機(jī)機(jī)座、壓緊板、止推板材質(zhì)為高強(qiáng)度Q345鋼，前后機(jī)架、壓緊板(包括地腳)玻璃鋼防腐(≥3 mm厚)；主梁材質(zhì)選用高強(qiáng)度橋梁鋼外包2 mm厚 316L不銹鋼；濾板材質(zhì)為TPE彈性體無堿玻纖聚丙烯；濾布采用滌綸短纖747工業(yè)濾布；拉板機(jī)構(gòu)鏈條、鏈盒、鏈輪材質(zhì)均為316L不銹鋼；渣斗、翻板為鋼襯PE結(jié)構(gòu)。

對(duì)式(26)求導(dǎo)可得

(28)

式中：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

式中：

2.4 系統(tǒng)混合勢(shì)函數(shù)

系統(tǒng)混合勢(shì)函數(shù)Ω0為吸引勢(shì)函數(shù)Ωd、安全走廊勢(shì)函數(shù)Ωs0和障礙物勢(shì)函數(shù)Ωo0之和，Ω0的表達(dá)式為

Ω0=Ωd+Ωs0+Ωo0=

(34)

由式(34)可知，Ω0的最小值不再精確位于參考位置狀態(tài)。為了避免上述情況發(fā)生，將式(17)的安全勢(shì)函數(shù)Ωs0和式(26)的障礙物勢(shì)函數(shù)Ωo0重新定義，補(bǔ)充二次型系數(shù)，可得

(35)

(36)

Ω=Ωd+Ωs+Ωo=

(37)

2.5 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

取Lyapunov函數(shù)V為系統(tǒng)混合勢(shì)函數(shù)Ω，即

(38)

由式(38)可知，V≥0。對(duì)式(38)求導(dǎo)可得

(39)

將式(7)和式(8)代入式(39)可得

(40)

(41)

(42)

整理式(41)可得

at+as+ao

(43)

式中：

(44)

(45)

(46)

其中：at為目標(biāo)參考位置對(duì)追蹤航天器的引力加速度；as為安全區(qū)和安全走廊對(duì)追蹤航天器的斥力加速度；ao為障礙物對(duì)追蹤航天器的斥力加速度。將式(41)代入式(40)可得

(47)

證明完畢，因此所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。

(48)

由于追蹤航天器的推力有限，因此其控制加速度有限，各方向的實(shí)際控制加速度為

(49)

式中：amax為追蹤航天器單個(gè)方向所能提供的最大加速度;a為由式(48)所求得的加速度大小。

3 仿真分析

本文以追蹤航天器相對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器超近距離段的交會(huì)對(duì)接任務(wù)進(jìn)行數(shù)值仿真。為了形象分析吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)和障礙物勢(shì)函數(shù)的作用，本文設(shè)置了兩組仿真場(chǎng)景，即

1) 考慮吸引勢(shì)函數(shù)和安全勢(shì)函數(shù)的作用。

2) 同時(shí)考慮吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)和障礙物勢(shì)函數(shù)的作用。

假設(shè)目標(biāo)航天器在空間中處于無外力矩的自由旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，且目標(biāo)航天器不存在機(jī)動(dòng)。其初始軌道根數(shù)如表1所示。

表1 目標(biāo)航天器軌道根數(shù)

目標(biāo)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jt為

初始時(shí)刻目標(biāo)航天器的姿態(tài)四元數(shù)qt(t0)和角速度ωt(t0)分別為

安全區(qū)的安全距離rs和安全走廊的安全角度θs分別為

追蹤航天器的質(zhì)量mc和各方向所能提供的最大推力Fmax分別為

吸引勢(shì)函數(shù)的各參數(shù)分別為

安全勢(shì)函數(shù)的各參數(shù)分別為

假設(shè)障礙物為半徑3 m的球體，障礙物勢(shì)函數(shù)的各參數(shù)分別為

需要說明的是，上述仿真參數(shù)的選擇采用了嘗試法，而沒有進(jìn)行最優(yōu)化處理。仿真時(shí)間為200 s，仿真步長(zhǎng)為0.05 s。

場(chǎng)景1考慮吸引勢(shì)函數(shù)和安全勢(shì)函數(shù)的作用，將式(44)中的Qo設(shè)為Qo=diag(0,0,0)，仿真結(jié)果如圖4～圖9所示。

圖4 目標(biāo)航天器的姿態(tài)與角速度

圖4為無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的姿態(tài)和角速度變化曲線，由圖4可以得出，不同時(shí)刻目標(biāo)航天器的姿態(tài)和角速度各不相同。

圖5為追蹤航天器與目標(biāo)航天器對(duì)接口的相對(duì)位置和相對(duì)速度變化曲線，經(jīng)過110 s，追蹤航天器到達(dá)了對(duì)接口位置，此時(shí)追蹤航天器與對(duì)接口的相對(duì)速度為0 m/s，此后追蹤航天器與對(duì)接口的相對(duì)位置和相對(duì)速度保持不變。

圖6為位置角和參考位置角的變化曲線。經(jīng)過69 s，方位角與參考方位角相同，并在之后兩者保持同步。經(jīng)過67 s，高低角與參考高低角相同，并在之后兩者保持同步。

圖5 追蹤航天器與對(duì)接口的相對(duì)位置與相對(duì)速度(場(chǎng)景1)

圖6 位置角與參考位置角(場(chǎng)景1)

圖7為目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系中追蹤航天器與目標(biāo)航天器對(duì)接口的相對(duì)運(yùn)動(dòng)變化曲線。圖8為安全剖面圖，由圖7和圖8可知，追蹤航天器先逼近到目標(biāo)航天器對(duì)接軸位置，之后沿著對(duì)接軸緩慢逼近追蹤航天器，期間沒有與安全區(qū)和安全走廊發(fā)生碰撞。

圖7 目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系中追蹤航天器相對(duì)目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)(場(chǎng)景1)

圖8 安全剖面(場(chǎng)景1)

圖9為追蹤航天器的控制加速度變化曲線，該控制加速度為追蹤航天器視線坐標(biāo)系描述的。由圖9可以得知，為了跟上目標(biāo)航天器對(duì)接口的位置，追蹤航天器視線方向(x方向)始終需要提供控制加速度，該加速度在-0.2～0.2 m/s2之間來回切換。視線方向的加速度出現(xiàn)了嚴(yán)重的過飽和現(xiàn)象，說明發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際所能提供的控制加速度小于目標(biāo)引力加速度，這主要是Qp和Ql取值較大決定的。如果Qp和Ql的取值較小，則目標(biāo)引力加速度對(duì)位置誤差和速度誤差不敏感，導(dǎo)致追蹤航天器的控制精度變差，甚至達(dá)不到預(yù)定的目標(biāo)位置。初始時(shí)刻y方向和z方向控制加速度變化劇烈，經(jīng)過72 s，y方向和z方向的控制加速度保持在一個(gè)極小的值，小于0.002 m/s2。本文中x方向開閉次數(shù)最高頻率為20 Hz，而實(shí)際航天器冷氣推力系統(tǒng)的開閉時(shí)間能夠達(dá)到20 ms(頻率50 Hz)，所以本文仿真結(jié)果(頻率20 Hz)是可以實(shí)現(xiàn)的。

圖9 控制加速度(場(chǎng)景1)

場(chǎng)景1說明，當(dāng)考慮吸引勢(shì)函數(shù)和安全勢(shì)函數(shù)的作用時(shí)，混合勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)可以實(shí)現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的逼近，逼近過程中能夠避免與目標(biāo)航天器的附件發(fā)生碰撞，保證了安全性要求。

場(chǎng)景2在場(chǎng)景1中追蹤航天器逼近目標(biāo)航天器的運(yùn)動(dòng)路徑上添加一個(gè)障礙物。同時(shí)考慮吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)和障礙物勢(shì)函數(shù)的作用，仿真結(jié)果如圖10～圖14所示。

圖10 追蹤航天器與對(duì)接口的相對(duì)位置與相對(duì)速度(場(chǎng)景2)

圖11 位置角與參考位置角(場(chǎng)景2)

圖12 目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系下追蹤航天器相對(duì)目標(biāo)航天器對(duì)接口運(yùn)動(dòng)(場(chǎng)景2)

圖13 安全剖面(場(chǎng)景2)

圖14 控制加速度(場(chǎng)景2)

圖10表明追蹤航天器到達(dá)了目標(biāo)航天器對(duì)接口的位置，與對(duì)接口的相對(duì)位置為0 m，相對(duì)速度為0 m/s。圖11表明追蹤航天器的位置角跟上了參考位置角。圖12和圖13表明，在考慮避障勢(shì)函數(shù)作用時(shí)，追蹤航天器能有效避開障礙物，最終安全逼近無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)。圖14表明，經(jīng)過一段時(shí)間，追蹤航天器y方向和z方向的控制加速度趨向于0 m/s2，x方向的控制加速度在-0.2～0.2 m/s2之間來回變化。

場(chǎng)景2說明，當(dāng)考慮障礙物勢(shì)函數(shù)作用時(shí)，混合勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)可以使追蹤航天器有效避開障礙物，實(shí)現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的逼近，保證了安全逼近和避障的制導(dǎo)要求。

表2給出了兩種場(chǎng)景下的燃料消耗，由表2可知，場(chǎng)景2的燃耗比場(chǎng)景1的燃耗高，說明當(dāng)追蹤航天器需要躲避障礙物時(shí)，其所需燃料顯著增加。

表2 不同場(chǎng)景所需燃料

4 結(jié) 論

研究了追蹤航天器利用混合勢(shì)函數(shù)對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的安全逼近和躲避障礙物的制導(dǎo)問題。建立了追蹤航天器相對(duì)于無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)計(jì)了吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)和障礙物勢(shì)函數(shù)。根據(jù)Lyapunov理論對(duì)混合勢(shì)函數(shù)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并推導(dǎo)了追蹤航天器的控制加速度。最后進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明：

1) 當(dāng)考慮吸引勢(shì)函數(shù)和安全勢(shì)函數(shù)的作用時(shí)，混合勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)可以實(shí)現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的逼近，逼近過程中能夠避免與目標(biāo)航天器的附件發(fā)生碰撞，保證了安全性要求。

2) 當(dāng)同時(shí)考慮吸引勢(shì)函數(shù)、安全勢(shì)函數(shù)和障礙物勢(shì)函數(shù)的作用時(shí)，混合勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)可以使追蹤航天器有效避開障礙物，實(shí)現(xiàn)追蹤航天器沿著安全路徑對(duì)無控旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的逼近，保證了安全逼近和避障的制導(dǎo)要求。

3) 當(dāng)追蹤航天器需要躲避障礙物時(shí)，其燃料消耗也更多。