商榷2019年高考題中表述欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?4道題

北京豐臺二中 (郵編：100071)

一年一度的高考是考生、老師、家長、學(xué)校乃至全社會關(guān)注的重點(diǎn)話題．2019年的高考已塵埃落定，筆者作為一名高中數(shù)學(xué)老師，也抓緊時間認(rèn)真鉆研了本年度的高考數(shù)學(xué)真題(文理共計13套，其中上海、浙江文、理同卷，江蘇文、理除附加題外同卷)，發(fā)現(xiàn)了它們有試題常規(guī)(多考計算)、情景新穎、杜絕偏怪等特點(diǎn)，這也與新課改之精神、教育乃培養(yǎng)人的活動、數(shù)學(xué)本來應(yīng)當(dāng)是人人能夠喜愛的美的科學(xué)合拍．但筆者發(fā)現(xiàn)有14道高考題在表述上欠嚴(yán)謹(jǐn)：雖然原題不會太影響考生正確答題，但作為高考題的權(quán)威性及引用的廣泛性，還是要注意表述上的嚴(yán)謹(jǐn)．

筆者發(fā)表的文獻(xiàn)[1]-[5]分別對2014～2018年的高考題在表述上欠嚴(yán)謹(jǐn)之處也作了商榷.

1 全國卷I

圖1

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190cm

流行解法B.頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26cm.

又因為肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.618≈65(cm)，即該人的身高大于65+105=170(cm).

綜上所述，可得身高在170cm-178cm之間．因而選B．

正確解答解答本題必須要得到相應(yīng)的不等式，不能由近似計算來求解.

再結(jié)合選項，可知選B.

商榷“咽喉”指喉嚨，包括咽、食管上部、喉及氣管的通向胃和肺的通道，頸的前方上部緊接面頰的部分.因而“咽喉”不是一個點(diǎn)，所以題1中的“頭頂至咽喉的長度”、“ 咽喉至肚臍的長度”說法均不通.

另外，因為題1運(yùn)算量較大且涉及的量較多，所以建議把題1放置在試卷中選擇題倒數(shù)第二題或倒數(shù)第一題的位置(因為這份試卷第5～12題都很基礎(chǔ)常規(guī)，且運(yùn)算量均不太大).

圖2

題2 (2019年高考全國卷I文科第19題與理科第18題的綜合表述)如圖2，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).

(1)證明：MN∥平面C1DE；

(2)(文)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離；

(理)求二面角A-MA1-N的正弦值.

商榷現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材(比如普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版)(下簡稱《必修2》))中均沒有給出“直四棱柱”的概念(給出了“四棱柱”的概念)，因而建議把題2題設(shè)中的“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形”改為“四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)棱A1A與底面垂直”.

題3 (2019年高考全國卷I文科第21題)已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，│AB│=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．

(1)若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時，│MA│-│MP│為定值？并說明理由．

商榷因為現(xiàn)行關(guān)于平面解析幾何的高中數(shù)學(xué)教科書(比如《必修2》)中均沒有使用過符號“⊙”，所以建議把題3中的第一處“⊙M”改為“圓M(點(diǎn)M是其圓心，下同)”，把題3中的第二處“⊙M”改為“圓M”.

2 全國卷II

題4 (2019年高考全國卷II文科、理科第4題)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

商榷(1)題4以物理知識萬有引力定律為背景，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，宣傳了我國航天事業(yè)的發(fā)展及取得的重大成就.但此題既沒有考查物理也沒有考查閱讀(題目冗長，且第一段文字對解題沒有任何幫助，逐字逐句研讀完后會大呼上當(dāng)，會使考生對于應(yīng)用題不會再看這些無用的文字(又不會排除漏看了有用的信息)的壞習(xí)慣，數(shù)學(xué)考題給出的主要信息應(yīng)是數(shù)學(xué))，數(shù)學(xué)閱讀的意義應(yīng)體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

(3)因為題4運(yùn)算量較大且涉及的字母較多，所以建議把題4放置在試卷中選擇題倒數(shù)第二題的位置(因為文科試卷第5～11題都很基礎(chǔ)常規(guī)，且運(yùn)算量均不太大).

A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

圖3

圖4

題6 (2019年高考全國卷II文科、理科第16題)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖3).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖4是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____個面，其棱長為____.(本題第一空2分，第二空3分.)

商榷建議把該題6中的后四處“半正多面體”均應(yīng)添上雙引號.

題7 (2019年高考全國卷II文科、理科第22題)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.

(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OM上時，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

商榷建議把題7第(2)問中的“P點(diǎn)”改為“點(diǎn)P”.

因為現(xiàn)行教材中的有關(guān)表述均是“點(diǎn)P”，從來沒有出現(xiàn)過“P點(diǎn)”，比如《必修2》、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修1-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)及普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下簡稱《選修2-1》).

另外，把“|x|”讀作“絕對值x”、“a”讀作“a向量”均不對，應(yīng)分別讀作“x的絕對值”、“向量a”.其理由源于教材，比如普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)4·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第2版)中的《第二章 平面向量》.

3 全國卷III

題8 (2019年高考全國卷III文科第12題即理科第11題)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則( )

商榷建議把題8中的“為R的偶函數(shù)”、“在(0,+∞)單調(diào)遞減”分別改為“為R上的偶函數(shù)”、“在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減”.

①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點(diǎn)

②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點(diǎn)

其中所有正確結(jié)論的編號是( )

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

4 北京卷

題10 (1)(2019年高考北京卷文科第6題)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的( )

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

商榷(1)建議把這兩個小題的前三個選項分別改為“A.充分不必要條件、B.必要而不充分條件、C.充要條件”，這樣與《選修2-1》第11頁習(xí)題1.2A組第3題的答案一致.對于2019年高考天津卷文科第3題及理科第3題，也應(yīng)有這樣的改動.

(2)若把題設(shè)“設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線”去掉，則答案是A.另外，建議把題目中的“點(diǎn)A,B,C不共線”改為“三點(diǎn)A,B,C不共線”.

圖5

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

題12 (2019年高考北京卷理科第18題)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩上定點(diǎn).

商榷在題12第(2)問的解法中用不到到條件“斜率不為0”，所以把該條件去掉后所得結(jié)論仍然成立.事實上，當(dāng)“直線l的斜率為0”時，可得點(diǎn)M與點(diǎn)A(或點(diǎn)B)重合，其坐標(biāo)是(-2,-1)；點(diǎn)N與點(diǎn)B(或點(diǎn)A)重合，其坐標(biāo)是(2,-1)，進(jìn)而可求得以AB為直徑的圓的方程是x2+(y+1)2=4，它也經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn)(0,-3)與(0,1).

因而建議去掉第(2)問中的“斜率不為0的”.

5 江蘇卷

圖6

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

題14 (2019年高考江蘇卷第23題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.

令Mn=An∪Bn∪Cn.從集合Mn中任取兩個不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

(1)當(dāng)n=1時，求X的概率分布；

(2)對給定的正整數(shù)n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示).

商榷建議把題中的“求X的概率分布”改為“求X的概率分布列”，因為在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版)的“第二章 隨機(jī)變量及其分布”中表述的都是“求X的概率分布列”.

關(guān)于2019年高考天津卷(文、理)、上海卷、浙江卷，筆者沒有發(fā)現(xiàn)值得商榷之處.