淺談新教材中引入例題的合理性

——以指數函數的引入例題為例

浙江省杭州學軍中學 張 瑋 (郵編：310012)

2019年下半年，浙江將使用新版的人教版教材.之前筆者也參加過一些關于新教材的培訓，對新教材也略知一二.今天筆者有幸參加了在杭州第二中學舉行的杭州市高中數學青年教師核心組主題研討會暨課堂教學實踐研究(新教材研究)主題活動.主辦方早上安排了展示課，下午安排了人民教育出版社中數室的李龍才老師關于新教材的專題報告.早上的展示課內容是新教材指數函數第一課時，學生是已經學習過指數函數的高一學生.

展示課的執(zhí)教老師按照新教材的例題順序給出了第一個例子.

例1 隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.下表給出了A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次及逐年增加量.

隨后教師讓學生做了3個探究.(1)根據兩地游客的變化人次，探究兩地的游客人次變化規(guī)律；(2)對于B景區(qū)游客的年增加量越來越大，能否有更好的刻畫方式；(3)寫出B地景區(qū)人數變化規(guī)律的函數解析式.對于A地景區(qū)，變化規(guī)律較容易得出，學生馬上就得出了結論.對于B地景區(qū)，學生顯得有些困難，在老師提醒下，有部分學生借助圖形計算器做了游客人次比值的運算.結果發(fā)現(xiàn)相鄰年份的比值大約是1.11，使得課堂得以繼續(xù).

時間/年A地景區(qū)B地景區(qū)人次/萬次年增長量/萬次人次/萬次年增長量/萬次200160027820026099309312003620113443520046319383392005641104274420066509475482007661115285320086711058860200968110655672010691107297420117029811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126

1 質疑的產生

至此，筆者有一些疑問.

疑問1 如果教師不提醒，學生是否能想到求比值？即使老師提醒了，有多少學生能領會教師的意圖？

疑問2 是否會有學生用其他的函數，比如二次函數，來代替指數函數？

對于疑問2，筆者也將數據用Excel畫成了圖，如下所示：

若從學生的角度來看，二次函數應該是首選.要觀察公比為1.11的等比數列，從學生的認知結構來講，之前沒有類似的經驗，在處理數據的時候，會遇到很大的問題.故筆者認為該例題的數據，無法有效的引入指數概念.

新課標提出了數學學習的六大核心素養(yǎng)，而核心素養(yǎng)要在教學中落實，又離不開數學“四基”的教學，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.新的課程目標也指出，要讓學生通過高中數學的學習，獲得“四基”，提高“四能”，在學習和應用數學的過程中，發(fā)展核心素養(yǎng).學生在分析例1的數據時，出現(xiàn)了困難，使得數學活動無法進行下去.而數學教學是數學活動的教學，因此通過例1的學習和思考，學生無法獲得基本的活動經驗以及提高解決問題的能力，從而無法發(fā)展學生數據分析和數學抽象這兩大核心素養(yǎng)，即例1放在此處并不合適.

2 釋疑及改進

課后跟幾位剛剛上課的學生進行了交流，發(fā)現(xiàn)只有少數學生能想到求比值，其他學生都沒想到考慮比值的做法.而對于想到求比值的學生，問其原因，則是因為看到了“指數函數”的課題，故而想到.由此也證實了之前的想法，即對于疑問1，能想到通過比值去觀察數據之間關系的學生，可謂是鳳毛麟角.對于已經學習過指數函數的學生，都很難想到用比值去分析，那么對于還沒有指數函數概念的學生，要讓學生自主的通過數據分析，從例1得出指數函數的概念，難度很大，幾乎不可能.也就是說，這里的數據分析，一定是由教師代替學生分析的.對于疑問2，大多數學生不是很清楚，只是說要畫圖.也有學生想到了二次函數，但是不確定是否能找到比較好的二次函數滿足題意.

在教學過程中，數學核心素養(yǎng)的滲透可以借助“兩個過程”的合理性，即數學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學生思維過程的合理性[1].在李龍才老師的報告中提到，在加強兩個過程的合理性的同時，還要讓學生經歷完整的學習過程.所謂完整，是指我們應該要對多個實例進行觀察、比較、分析，歸納出共性，抽象出(或提取出)本質特征.然后推理出性質，并建立相關知識之間的聯(lián)系而形成結構功能良好、遷移能力強大的數學認知結果，最后通過建模，解決數學內外的問題.而新教材中新增加的例1，其目的也在于結合教材中的例2，讓學生對多個實例進行觀察、比較、分析，然后一起抽象概括出指數函數的概念.

由于學生在對例1進行數據分析時，會遇到困難，因此要通過例1來抽象出指數函數的概念，這顯然違反學生思維的合理性原則.若說例1是因為考慮到學生的熟悉程度，那么新教材中的例2(生物體死亡后C14的含量)，學生也是相對陌生的；若說例1是考慮到數學要來源于生活，那么把銀行存款利息的例子作為問題引入，則更適合，因為數據間的關系更加明顯.因此，筆者認為還是銀行存款利息的例子更為合適，這個例子學生更容易接受，而且也能完成例1所要完成的任務.

如此一來，是否要將例1刪除，或者跳過呢？筆者以為如果僅僅是因為數據分析不容易做，那么可以把例1延后，即在把指數函數概念抽象出來之后，再把例1作為例題，則比較合適.因為在有了指數函數的概念之后，學生再想到指數函數的模型應該更為簡單一些.此問題來源于生活，可以讓學生找到數學在日常生活中的運用實例.與此同時，也可以利用模型對下一年做出預測，即通過建模，解決數學內外的問題，即實現(xiàn)了數學的有用性，學生經歷的學習過程也就相對完整了.

3 再質疑

對于例1，筆者還有2個疑問.

疑問3 由于例1中的數據符合的太過完美，相鄰的兩個數據之間都是1.11倍的關系.所以例1中的B地景區(qū)的游客人數，是真實的數據么？

疑問4 學生想到的二次函數模型是否會比指數模型更好呢？

對于疑問3，在下午李老師的報告中，偶然間得知，B地景區(qū)就是杭州的西湖景區(qū).筆者在政府網站[2]上搜索了一下歷年的西湖游客人次，發(fā)現(xiàn)例1中的數據跟網站上的數據有比較大的出入.例如2015年，接待游客量為1200萬人次，而例1中給出的是1244萬人次；2014年，接待游客量為1000萬人次，增長13.9%，而例1中給出的是1118萬人次.由2014年的數據可以推算出2013年的接待游客量為877.96萬人次，而例1中給出的是1005萬人次.

由此看來教材中的數據應該是做了改動，表格中給出的數據并非原始數據.也就是說教材為了要引出指數函數，將真實的數據做了修改，使得數據符合預期.數學源于生活，教材用一個真實的生活場景來作為問題引入，筆者以為應該要保證數據的真實性，否則還不如用其他的例子作為引入.另外改造真實情境的數據，會更加讓人體會到數學的無用性，因此改造真實數據的情境，不適合放入教科書作為引入或者例題，以免引起誤導.

對于疑問4，由于新教材所給的數據有誤，故不宜采用問題1中的數據進行擬合.筆者搜索了政府網站[2]上的數據，得到了2013年到2018年的西湖景區(qū)歷年游客量，最后用Excel進行數據擬合.從Excel的結果可知，若擬合函數是二次函數，則R2=0.9974；若擬合函數是指數函數，則R2=0.9911(其中R2等于回歸平方和與總平方和的比值，即該比值等于1或越趨近于1，說明擬合程度越好).由此看來，從2013年到2018年的游客量，指數模型并非是最好的擬合函數模型.另外筆者還查閱了2001年到2018年杭州市歷年的游客量[3]，通過Excel進行數據擬合得到如下結果：若擬合函數是二次函數，則R2=0.9981；若擬合函數是指數函數，則R2=0.9929.由此可知，對于反映游客量變化規(guī)律的函數模型，從擬合程度來看，二次函數比指數函數擬合程度更好.因此，例1不適合用指數模型來進行擬合，即將例1的情境放在指數函數的引入上不合適.

4 一點感想

本次新教材的編寫，對很多模塊都做了調整，除此之外，還有一些新的東西進入了新教材.由此可以看出新課標對一線教師在如何教的問題上提出了更高的要求，一線教師也應該盡快的領悟和消化新教材的精髓.但是對于引入例題的合理性，是否可以再斟酌一下.至少筆者以為，無論從學生思維過程的合理性角度，或者是從數據真實性的角度，抑或是從數據擬合的角度來看，例1都不是一個好的引入，應該從教材中刪去，換一個數據真實簡單的、更加符合學生思維過程的問題來作為引入.

5 尾聲

新教材要求教師盡可能將數學思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分的暴露在學生面前，吸引學生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，讓學生在數學課堂會話中驗證，實現(xiàn)意義建構，進而實現(xiàn)“兩個過程”的合理性，即數學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學生思維過程的合理性.