實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)中的傭金率問題研究

（河北地質(zhì)大學(xué)，河北 石家莊 050031）

一、引言

從被動(dòng)投放到主動(dòng)選擇，新型的實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)（RTB）互聯(lián)網(wǎng)廣告模式正逐漸成為一種趨勢(shì)。近些年互聯(lián)網(wǎng)巨頭紛紛進(jìn)入使得實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)廣告迅速發(fā)展。2012年全球通過RTB模式投放的展示廣告金額高達(dá)19億美元。據(jù)IDC預(yù)測(cè)，到2015年基于RTB的展示廣告將實(shí)現(xiàn)飛躍式發(fā)展，其中美國(guó)的增長(zhǎng)率將達(dá)到71%，德國(guó)增長(zhǎng)99%，法國(guó)增長(zhǎng)103%，英國(guó)增長(zhǎng)114%[1]。同時(shí)在國(guó)內(nèi)RTB也是飛速增長(zhǎng)，自2012年RTB廣告模式踏進(jìn)中國(guó)市場(chǎng)只占據(jù)0.3%的市場(chǎng)份額，今年起將發(fā)展到1%到1.5%，預(yù)計(jì)明年將會(huì)達(dá)到3%至5%。

在搜索廣告中主要的參與者是搜索引擎和廣告主，而在 RTB廣告產(chǎn)業(yè)鏈上需要四方合作，首先需要供應(yīng)方（SSP）提供廣告位資源，即廣告投放平臺(tái)；其次是需求方（DSP），即需要投放廣告的主體；把供需雙方聯(lián)系到一起需要廣告交易平臺(tái)（AD Exchange）以及數(shù)據(jù)管理平臺(tái)（DMP）。本文為了簡(jiǎn)化模型把中間環(huán)節(jié)看成全部由（AD Exchange）來完成。由于中間環(huán)節(jié)的第三方的出現(xiàn)，啟發(fā)把傳統(tǒng)物品拍賣中的傭金率引入到RTB模型中，從而可以從理論的角度對(duì)RTB廣告模式中各方的策略、收益展開研究。已有學(xué)者傳統(tǒng)拍賣中的傭金問題進(jìn)行了研究[2]，同時(shí)也有對(duì)關(guān)鍵詞廣告中的保留價(jià)的研究[3-6]。拍賣的機(jī)制設(shè)計(jì)在網(wǎng)絡(luò)廣告中已有廣泛的應(yīng)用。隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)廣告由展示性廣告發(fā)展到關(guān)鍵詞廣告，再到實(shí)事競(jìng)價(jià)廣告。關(guān)于互聯(lián)網(wǎng)廣告機(jī)制研究已有很多的成果，本文給出了在固定傭金率以及線性傭金率（報(bào)價(jià)越高傭金率越低）時(shí)需求方（DSP）的報(bào)價(jià)策略，并且證明了在無保留價(jià)時(shí)，需求方的期望支出與任何形式的傭金率無關(guān)，傭金率的存在只是改變了均衡的報(bào)價(jià)策略。隨后論文對(duì)既有保留價(jià)又有傭金率的情況進(jìn)行闡述，指出在保留價(jià)存在時(shí)需求方的期望支出與傭金率相關(guān)，傭金率增加時(shí)需求方的期望支出增加[7]。即保留價(jià)存在時(shí)，需求方無通過調(diào)整自己的均衡報(bào)價(jià)來對(duì)沖傭金率的提高對(duì)自己的期望損失。最后論文分別假定保留價(jià)和傭金率為外生給定，得出了最優(yōu)傭金率和最優(yōu)保留價(jià)滿足的條件[8]。

二、模型的基本假設(shè)

A1、論文模型考慮的是一次靜態(tài)博弈。

A2、此廣告展示平臺(tái)有k 個(gè)廣告位，同時(shí)n個(gè)廣告需求方。

A3、廣告的供給方、需求方、交易平臺(tái)都是風(fēng)險(xiǎn)中性，即各方的目標(biāo)是最大化自己的期望收益。

A4、需求方是對(duì)稱的，即需求方對(duì)每次曝光展示的估價(jià)是獨(dú)立同分布。

A5、令vi表示需求方i 對(duì)單次曝光展示的估價(jià)，vi在區(qū)間[0,1]服從連續(xù)可微的概率分布函數(shù)F (·)，相應(yīng)的密度函數(shù)為f (·)，且滿足F (0)=0，F(xiàn) (1)=1。

A7、令αj表示在第j個(gè)廣告位的點(diǎn)擊率，且點(diǎn)擊率只與廣告位有關(guān)，與在此位展示的廣告無關(guān)。

A8、以上假設(shè)均是共同知識(shí)。

三、主要的結(jié)論

（一）無保留價(jià)只有固定傭金

命題1 在實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)過程中，若廣告交易平臺(tái)采用固定傭金c 時(shí)，則需求方的均衡投標(biāo)策略為

證明 考慮典型的需求方i ，它對(duì)某廣告平臺(tái)的某次展示的估價(jià)為v。假設(shè)其它需求方都采用對(duì)稱的競(jìng)價(jià)策略b (·)，而需求方i 的報(bào)價(jià)為b (z)，則i 得期望收益為

對(duì)上式關(guān)于z 求一階條件可得

對(duì)（4）式整理可得

對(duì)（5）式從0到v 積分，并由b (0)=0可得

對(duì)（6）式整理可得均衡的報(bào)價(jià)策略

由命題1容易得到均衡的報(bào)價(jià)策略b(v,c)關(guān)于估價(jià)單調(diào)遞增，從而保證了實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)的有效性；同時(shí)報(bào)價(jià)策略關(guān)于傭金率c是單調(diào)遞減函數(shù)，即需求方會(huì)根據(jù)傭金率的變化調(diào)整自己最優(yōu)的報(bào)價(jià)。

下面分別計(jì)算廣告供給方、廣告交易平臺(tái)、廣告需求方的期望收益。令廣告的展示平臺(tái)的期望收益為RSSP，則

對(duì)上式的前半部分使用分部積分，對(duì)后半部分交換積分變量的積分次序可得

對(duì)（7）式計(jì)算整理可得

對(duì)（8）式中的最后一項(xiàng)再用分部積分可以得到

從（9）式很容易得到廣告展示平臺(tái)的期望收益關(guān)于傭金率遞減，即傭金率越高期望收益越低[12]。

下面給出廣告交易平臺(tái)的期望收益RAD，由RAD=cRSSP可得

上式（10）表明廣告交易平臺(tái)的期望收益隨著傭金率的提高而增加。

最后計(jì)算需求方的期望支付PDSP

發(fā)現(xiàn)需求方的期望支付與傭金率沒有關(guān)系，即傭金率的大小變化不影響需求方的期望支付。如果傭金率不是固定的值，而是報(bào)價(jià)的線性函數(shù)即c=k0-k1b，其中k0，k1＞0，并且k0是所能要求達(dá)到的最大傭金率。直覺上有線性傭金率鼓勵(lì)需求方報(bào)高價(jià)來減小傭金，從而減小支出。下面計(jì)算線性傭金率的前提下需求方的期望支出。假設(shè)其它需求方都采用對(duì)稱的競(jìng)價(jià)策略bL(·)，而估計(jì)為v 需求方i 的報(bào)價(jià)為bL(z)，則i 得期望收益為

類似固定傭金的求解過程可以得到均衡的報(bào)價(jià)策略

由均衡的報(bào)價(jià)策略可得需求方的期望支付

由（14）可以看到線性傭金率時(shí)，需求方的期望支付也與傭金率無關(guān)。由此斷言需求方的期望支付與傭金率無關(guān)。

命題2在實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)過程中，如果沒有保留價(jià)則需求方的期望支付與任何形式的傭金率無關(guān)。證明 令E[ p (v)]表示估價(jià)為v 的典型需求方i 的在某傭金率下的期望支付，同時(shí)其期望所得為

于是均衡時(shí)需求方i 的期望收益滿足

由積分包絡(luò)定理可得

再由E[p (0)]=0可得

所以由（18）可得需求方的期望支付與任何形式的傭金率無關(guān)。證畢

（二）既有保留價(jià)又有傭金率

當(dāng)展示廣告的保留價(jià)r ＞0，且傭金率c ≠0時(shí)，先確定需求方滿足的初始條件，即參與競(jìng)價(jià)與不

命題3當(dāng)保留價(jià)r 和傭金率c 同時(shí)存在時(shí)，需求方的競(jìng)價(jià)策略為br(v ,r,c)，其中v*=(1+c)r，

證明 假設(shè)其它需求方都采用對(duì)稱的競(jìng)價(jià)策略br(·)，而需求方i 的報(bào)價(jià)為br(z)，則i 得期望收益為

類似命題1中的計(jì)算過程可以得到

對(duì)（20）式從v*到v 積分可得

下面分別計(jì)算當(dāng)保留價(jià)和傭金率都存在時(shí),廣告供給方、廣告交易平臺(tái)、廣告需求方的期望收益。

廣告供給方即廣告展示平臺(tái)的期望收益為

對(duì)上式第二部分交換積分順序可得

對(duì)（24）式后半部分是用分部積分可得

命題 4 假設(shè)廣告展資源的保留價(jià)值為v0，如果傭金率c外生給定，則廣告展示平臺(tái)所確定的最優(yōu)保留價(jià)滿足如下條件

證明 由（26）式可以得出廣告交易平臺(tái)出售廣告資源獲得的期望收益，如果廣告資源沒有賣出（即所有的需求方的報(bào)價(jià)均低于保留價(jià)），那其獲得期望收益為從而可以得到其總的期望收益為

對(duì)總的期望收益關(guān)于保留價(jià)r 求一階條件

廣告交易平臺(tái)獲得的期望收益為

命題5 假設(shè)保留價(jià)r 外生給定，則廣告交易平臺(tái)的最優(yōu)傭金率滿足

其中v*=(1+c)r，L(x)=F(x)+xf(x)-1。

證明 對(duì)廣告交易平臺(tái)的期望收益關(guān)于傭金率求一階條件，由（29）可得

對(duì)上式整理可得（30）。證畢

命題6當(dāng)保留價(jià)存在時(shí)（r＞0），需求方的期望支付關(guān)于傭金率遞增，即當(dāng)傭金率增加時(shí)需求方的期望支付增加。

由上式后半部分被積分函數(shù)大于零，當(dāng)傭金率增大時(shí)必有v*增大，從而幾分區(qū)間變小，所以后半部分的值變小所以期望支付增大。

四、結(jié)論

論文基于廣義一價(jià)的支付方式,對(duì)實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)中的傭金率進(jìn)行了研究。首先，本文給出了在固定傭金率以及線性傭金率時(shí)需求方（DSP）的報(bào)價(jià)策略，并且證明了在無保留價(jià)時(shí)，需求方的期望支出與任何形式的傭金率無關(guān)，傭金率只是改變了均衡的報(bào)價(jià)策略。其次，論文對(duì)既有保留價(jià)又有傭金率的情況進(jìn)行闡述，指出在保留價(jià)存在時(shí)需求方的期望支出與傭金率相關(guān)，傭金率增加時(shí)需求方的期望支出增加[16]。即保留價(jià)存在時(shí)，需求方無通過調(diào)整自己的均衡報(bào)價(jià)來對(duì)沖傭金率的提高對(duì)自己的期望損失。最后，論文分別假定保留價(jià)和傭金率為外生給定，得出了最優(yōu)傭金率和最優(yōu)保留價(jià)滿足的條件。