利用圖像特征巧解高中數(shù)學(xué)函數(shù)題研究

余文

摘 要：圖像與函數(shù)是密不可分的，通過(guò)圖像可以將抽象的函數(shù)直觀(guān)展現(xiàn)在學(xué)生面前，使函數(shù)問(wèn)題具體化、清晰化。文章通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像與函數(shù)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)研究，提出如何利用函數(shù)圖像解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題，幫助學(xué)生輕松應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題，使學(xué)生能夠擺脫函數(shù)學(xué)習(xí)困境，獲得學(xué)習(xí)自信，并提出函數(shù)教學(xué)的合理建議，以提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中函數(shù);圖像特征;解題技巧;對(duì)策建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2019）27-0057-02

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)生接受高層次學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容。函數(shù)不僅在數(shù)學(xué)中涉及，還存在于其他學(xué)科和專(zhuān)業(yè)中。因此，函數(shù)是高中生必須掌握和具備的數(shù)學(xué)知識(shí)。利用函數(shù)圖像將函數(shù)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖像，可以使函數(shù)更加直觀(guān)，學(xué)生理解起來(lái)更容易。本文對(duì)如何利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題進(jìn)行論述。

一、高中函數(shù)及函數(shù)圖像的特點(diǎn)和意義

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位。從內(nèi)容上看，很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都涉及函數(shù)，函數(shù)屬于解題的重要方式，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性和分析價(jià)值;從難易程度來(lái)看，函數(shù)的延展性比較強(qiáng)，既可以簡(jiǎn)化，又可以涉及較難的知識(shí)點(diǎn);從題型來(lái)看，通過(guò)變化，函數(shù)題型十分豐富，既可以簡(jiǎn)單考查某一知識(shí)點(diǎn)，以填空和單選形式出現(xiàn)，又可以考查函數(shù)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及和其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，以解答分析題出現(xiàn)在試卷最后;從函數(shù)的學(xué)習(xí)意義來(lái)看，函數(shù)不僅僅是獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容，還應(yīng)用于物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科和專(zhuān)業(yè)，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程不會(huì)只停留在高中階段，當(dāng)升入大學(xué)后，很多專(zhuān)業(yè)知識(shí)都會(huì)涉及函數(shù)。

由此可見(jiàn)，高中函數(shù)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、其他學(xué)科學(xué)習(xí)以及思維的培養(yǎng)有著重要的意義。函數(shù)圖像作為函數(shù)的一部分，具有解釋函數(shù)、輔助學(xué)生理解函數(shù)的作用。通過(guò)函數(shù)圖像輔助函數(shù)教學(xué)，可使學(xué)生較快掌握函數(shù)題的特點(diǎn)和解題方式。在函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生養(yǎng)成利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題的習(xí)慣，使學(xué)生形成清晰的函數(shù)思維。

二、利用圖像解答函數(shù)問(wèn)題的原則

1.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生圖像思維

函數(shù)與圖像是密不可分的，函數(shù)是圖像的表示，圖像是函數(shù)的體現(xiàn)。學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)，就應(yīng)養(yǎng)成函數(shù)圖像解題思維。高中教師在函數(shù)教學(xué)中，要以培養(yǎng)學(xué)生圖像思維能力為原則，使學(xué)生養(yǎng)成圖像解題的習(xí)慣，利用函數(shù)圖像分析語(yǔ)言，促使學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)能夠利用很少的運(yùn)算得到函數(shù)題的答案。

2.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生解題技巧

函數(shù)圖像解題思維要以扎實(shí)的解題技巧為基礎(chǔ)。俗話(huà)說(shuō)：“巧婦難為無(wú)米之炊。”僅有利用圖像的思維，缺少解題技巧，在面對(duì)函數(shù)題時(shí)不知道如何利用，也是無(wú)法實(shí)現(xiàn)良好結(jié)合的。教師要以培養(yǎng)學(xué)生解題技巧為原則，讓學(xué)生在解題時(shí)可以根據(jù)題目和重點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖像，找到解題方式。

3.利用函數(shù)圖像，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)

函數(shù)與圖像是不可分割的，教師利用函數(shù)圖像培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，在題目中設(shè)計(jì)做圖像的例題，既能鍛煉學(xué)生的畫(huà)圖能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的圖像思維意識(shí)。學(xué)生利用函數(shù)的特性，將特性表現(xiàn)在函數(shù)圖像中，能逐漸形成看到圖像就獲得表達(dá)式的技能，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)。

三、利用函數(shù)圖像解答函數(shù)題的實(shí)踐研究

單純地利用文字整理題目?jī)?nèi)容和關(guān)鍵點(diǎn)，難以得到全面、有效的答案，而通過(guò)繪制函數(shù)圖像解答函數(shù)問(wèn)題，卻可以直觀(guān)地分析、判斷。另外，利用函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)對(duì)應(yīng)，還可以解決函數(shù)零點(diǎn)、根的個(gè)數(shù)、不等式等問(wèn)題。因此，在看到函數(shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生首先要考慮可以繪制什么樣的函數(shù)圖像，通過(guò)函數(shù)圖像進(jìn)行接下來(lái)的探究。

1.對(duì)函數(shù)圖像分類(lèi)討論

學(xué)生利用函數(shù)圖像，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。函數(shù)問(wèn)題中，分類(lèi)討論的題目十分常見(jiàn)，并且情況復(fù)雜，學(xué)生僅通過(guò)文字很難把所有情況逐一列舉。因此，學(xué)生要掌握函數(shù)的特殊性質(zhì)，在繪制函數(shù)圖像后，通過(guò)圖像對(duì)各種情況展開(kāi)討論。有些函數(shù)題中，由于自變量的變化會(huì)影響函數(shù)，這時(shí)教師可讓學(xué)生繪制出函數(shù)圖像，利用坐標(biāo)表達(dá)函數(shù)，再對(duì)自變量進(jìn)行分類(lèi)討論。常見(jiàn)的圖像與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：從函數(shù)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)得到函數(shù)極值、最值，從圖像分析奇偶性，從圖像的趨勢(shì)分析單調(diào)性和周期。例如，函數(shù)中帶有絕對(duì)值判斷單調(diào)性，就要通過(guò)去掉絕對(duì)值，畫(huà)出函數(shù)圖像進(jìn)行分析，分別討論寫(xiě)出正負(fù)x時(shí)的函數(shù)，再畫(huà)出函數(shù)圖像，選擇x對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，去掉不對(duì)應(yīng)部分，形成圖像。又如，對(duì)于常見(jiàn)的指數(shù)函數(shù)y=（a-1）x，首先要明確圖像與（a-1）的關(guān)系，再把圖像和方程結(jié)合，分別導(dǎo)出（a-1）與0和1的關(guān)系，進(jìn)行不同情況下的函數(shù)圖像的表達(dá)，就可以判斷圖像走向和趨勢(shì)。這種利用畫(huà)圖分類(lèi)討論的形式，可以節(jié)省學(xué)生解題時(shí)間，提高解題效率，使學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)思維更加清晰。

2.對(duì)函數(shù)圖像進(jìn)行特征應(yīng)用

通過(guò)基礎(chǔ)圖像表達(dá)函數(shù)，再利用函數(shù)圖像獲得表達(dá)式，是函數(shù)最基本的特征。很多時(shí)候，單一的函數(shù)問(wèn)題無(wú)法從函數(shù)式中獲得答案，學(xué)生要通過(guò)函數(shù)特有的特點(diǎn)，畫(huà)圖分析，得到答案。例如，對(duì)于“做出y=x+1/x的函數(shù)圖像”，學(xué)生要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性判斷出該函數(shù)為奇函數(shù)，然后根據(jù)特性做出x>0時(shí)的函數(shù)圖像，得到x>0時(shí)函數(shù)≥2，得到函數(shù)最低點(diǎn)為（1，2），再通過(guò)分析x在（0，1）為減函數(shù)，在x>1時(shí)為增函數(shù)，結(jié)合x(chóng)+1/x>x，得到結(jié)論y=x為漸近線(xiàn)，最后畫(huà)出圖像。學(xué)生利用函數(shù)的特點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖像，找到函數(shù)特有的性質(zhì)，就可以順利解答函數(shù)題。另一種方式就是通過(guò)描述，寫(xiě)出函數(shù)方程式，然后選擇正確的函數(shù)圖像，這類(lèi)試題以文字表述為主，需要學(xué)生從文字中提煉關(guān)鍵語(yǔ)句，獲得主要內(nèi)容，再進(jìn)行下一步分析，討論不同情況下的函數(shù)表達(dá)式，并利用函數(shù)表達(dá)式做出函數(shù)圖像。例如，對(duì)于“利用圖像表達(dá)出圖形中移動(dòng)點(diǎn)包含的陰影面積。在直角梯形ABCD中，角B為直角，BC=CD=1/2AB，DC∥AB，有一點(diǎn)P沿著C到D方向運(yùn)動(dòng)，若P移動(dòng)的路程為x，組成的三角形ABP面積為y，寫(xiě)出x與y的函數(shù)關(guān)系式，并做出圖像”。學(xué)生可通過(guò)試題，得到梯形樣式和P點(diǎn)的移動(dòng)，做出圖像，再把三角形用陰影表示出來(lái)，模仿P點(diǎn)移動(dòng)軌跡，尋找P點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中面積的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)在BC邊上移動(dòng)形成變化的三角形，在CD邊上移動(dòng)則形成了上底、下底、高都不變的直角梯形，然后分別寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，做出函數(shù)圖像。這樣，學(xué)生就通過(guò)語(yǔ)言文字，提取函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)關(guān)系分析函數(shù)圖像，最終得到答案。

3.通過(guò)函數(shù)圖像，快速解答選擇題

很多函數(shù)題的解答需要煩瑣的過(guò)程，花費(fèi)大量的時(shí)間。在有規(guī)定時(shí)間的考試中，對(duì)于涉及函數(shù)的選擇題，學(xué)生可利用特殊值帶入或者函數(shù)圖像估算、排除、確定最終選項(xiàng)。一些選擇題鍛煉的就是學(xué)生對(duì)函數(shù)特性的理解能力，并非需要學(xué)生計(jì)算出具體的答案，這時(shí)函數(shù)圖像就在解題中發(fā)揮了重要的作用。利用函數(shù)方程求不等式就是很好的應(yīng)用，當(dāng)不等式不能帶入或者麻煩的時(shí)候，就可以利用其對(duì)應(yīng)的函數(shù)方程，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式的函數(shù)方程，從兩個(gè)函數(shù)方程在直角坐標(biāo)系上的位置關(guān)系判斷不等式的大小。例如，判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的大小時(shí)，試題中給出a、b的大小關(guān)系，0

綜上所述，利用圖像解答函數(shù)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生直觀(guān)、具體、全面地分析問(wèn)題，獲得思路和答案。教師應(yīng)當(dāng)將函數(shù)圖像解題思維和解題技巧滲透在函數(shù)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)繪制函數(shù)圖像，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，遇到情境問(wèn)題時(shí)則仔細(xì)耐心地判斷特征，利用函數(shù)圖像特征解答函數(shù)問(wèn)題，掌握函數(shù)特性，為深入研究函數(shù)打下基礎(chǔ)。

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