反證法應(yīng)用之我見

李林

摘 要 在空間線面關(guān)系中，異面關(guān)系及線面關(guān)系的證明有時(shí)從已知或定理?定義出發(fā)進(jìn)行推理論證比較困難，學(xué)生對(duì)證明切入點(diǎn)的探尋也是非常困惑?如何有效解決這個(gè)問題？利用反證法就能起到四兩撥千斤的效果?

關(guān)鍵詞 異面直線;線面關(guān)系;反證法

中圖分類號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）20-0168-01

反證法在各種測(cè)試題中應(yīng)用已經(jīng)很少，在教科書中也僅僅是一言帶過，應(yīng)用舉例更是少得可憐。但這并沒有影響它對(duì)相應(yīng)抽象題型的獨(dú)到論述與解析。牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。用常?guī)思維由“因”索“果”比較困難、復(fù)雜的情況下，利用反證法是最好的選擇。在空間線面解題中經(jīng)常使用反證法，解決異面直線、線面平行問題，根據(jù)實(shí)際情況巧用反證法通常能起到事半功倍的效果。

反證法的基本思想是假設(shè)結(jié)論的反面成立，經(jīng)過合理的推導(dǎo)、論證導(dǎo)出一個(gè)矛盾問題。這個(gè)矛盾可能是與已知條件、概念、定理、公理矛盾或自相矛盾。矛盾的原因是由假設(shè)造成的，說明假設(shè)錯(cuò)誤，則原結(jié)論成立，有時(shí)結(jié)論的反面不是一種情況，需要一一駁倒，才能說明原結(jié)論成立。一般用來證明正面難以入手的題目。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要地概括為“否定→推理→否定”。實(shí)施的具體步驟是：第①步，假設(shè)原命題結(jié)論不正確;第②步，從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與已知或定理相矛盾的結(jié)論;第③步，否定假設(shè)不成立，從而肯定原命題正確。

一、異面直線的判定

已知a、b是異面直線，直線c，d分別與a交與不同兩點(diǎn)P，Q;c，d與b交與不同兩點(diǎn)M，N.求證：c，d是異面直線.

學(xué)情分析：異面直線是空間直線，既不平行也不相交。假如從已知或定義出發(fā)推理論證非常抽象空洞，判定結(jié)論成立的條件比較復(fù)雜，不容易應(yīng)用，直接證明很難切入，學(xué)生對(duì)此類問題通常是一籌莫展。利用反證法可以找到解決問題的突破口。

證明：假設(shè)c，d不是異面直線，則c，d共面于平面α.∵c∩a=P，d∩a=Q，

c，dα，∴P，Q∈α而P，Q∈a，∴aα，同理ba.∴a，b共面與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設(shè)不成立?！郼，d是異面直線.

學(xué)情分析：異面直線的判定證明題，其題設(shè)一般都比較離散而抽象，不利于思維定位，而利用反證法則可以讓我們找到解題的方向。通過反證法的固有模式進(jìn)行推理，學(xué)生的解題思路會(huì)得到延展拓寬。

又如：如圖，a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，E，F(xiàn)分別是線段AC和BD的中點(diǎn)，判斷EF和a，EF和b的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

解答：直線EF和a，直線EF和b都是異面直線。

證明：（反證法）假設(shè)EF和a不是異面直線，

則可設(shè)共面于α，即EFα，aα

∴E∈α∵A∈a，∴A∈α∴AEα∵C∈AE，C∈α. 同理D∈α.

∵C，D∈b，∴bα這與題設(shè)a，b是異面直線矛盾。所以，直線EF和a是異面直線。同理直線EF和b也是異面直線。

二、線面關(guān)系的判定

已知直線a∥平面α，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)A∈直線b，且a∥b.求證：ba.

學(xué)情分析：有時(shí)學(xué)科中的起始性命題，由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推出的結(jié)論很少，因而直接證明入手較難，此時(shí)應(yīng)用反證法容易奏效。例解如下：

證明：假設(shè)bα∵A∈α，A∈直線b，∴b和α相交.∵直線a∥平面α，A∈α∴Aa，則過點(diǎn)A和a存在一個(gè)平面β，即A∈β，aβ，在β內(nèi)，過A可作直線c，使a∥c且A∈c.又∵a∥b，∴c∥b，與b∩c=A矛盾，∴bα.

已知a，b是異面直線.求證：過b有且僅有一個(gè)平面與a平行.

學(xué)情分析：“有且僅有”此類問題屬于存在性、唯一性命題，如果直接證明需要作比較繁瑣的輔助圖形，同時(shí)也很難界定命題結(jié)論的唯一性。利用反證法就能一一否定后駁倒，證明過程簡(jiǎn)潔、明了。例解：

證明：①存在性.在直線b上任取一點(diǎn)B，過B作c∥a， ∵c與b相交于B，∴過c、b可作一個(gè)平面α.∵c∥a，cα，aα，∴a∥α②唯一性假設(shè)過b還要一個(gè)平面β，滿足a∥β.∴bα，bβ，α∩β=b，而a∥α，α∥β∴a∥b，這與a、b是異面直線相矛盾，假設(shè)不成立，過b有且僅有一個(gè)平面與a平行

三、反證法應(yīng)用反思

我校是農(nóng)村高中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)非常薄弱，數(shù)學(xué)思維能力幾乎都停留在表面功夫上。在教學(xué)中利用一些比較有效的解題方式方法是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的有效手段。盡管反證法目前的應(yīng)用不是很廣，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法可以簡(jiǎn)潔有效地解決異面直線、線面關(guān)系的判定問題。但是并不是這方面內(nèi)容都必須采用反證法，有時(shí)順著題設(shè)尋找結(jié)論也很便捷。而反證法主要適用于題設(shè)復(fù)雜、如“至多”“至少”唯一性、否定性，正面很難切入的問題。所以要求學(xué)生在解題時(shí)注重審題，具體分析，靈活應(yīng)用。反證法在應(yīng)用時(shí)還是要強(qiáng)調(diào)書寫格式，以達(dá)到解題思路清晰，證明結(jié)論凸顯的效果。