淺談引力半徑和軌道半徑的辨析

余小路

摘 要 文章主要對(duì)引力半徑和軌道半徑進(jìn)行了辨析，從引力半徑與軌道半徑在相等和不相等這兩種情況下進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞 引力半徑;軌道半徑

中圖分類號(hào)：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）20-0152-02

在萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用中，很多學(xué)生在“引力半徑”和“軌道半徑”上存在認(rèn)識(shí)誤區(qū)，認(rèn)為公式中兩式的r為同一物理量，導(dǎo)致頻繁出錯(cuò)。究其原因，還是對(duì)兩個(gè)公式的意義理解不透徹。在萬(wàn)有引力定律公式中，r指兩星體重心間的距離，對(duì)于質(zhì)量分布均勻的星體，r可看作球心間的距離，而向心力公式中，r指物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，即圓周運(yùn)動(dòng)物體重心與軌道圓心間的距離，兩個(gè)r對(duì)應(yīng)的物理量不同。兩者取值是否相等，需要分下列兩種情況。

一、引力半徑與軌道半徑相等的情況

當(dāng)中心天體保持靜止時(shí)，中心天體的圓心既是重心又是軌道圓心，此時(shí)軌道半徑和引力半徑相等，滿足，所有r取值均為環(huán)繞天體的圓心到中心天體的圓心間的距離。此種情況在人造地球衛(wèi)星類型的題比較常見(jiàn)。

例1：如圖所示，是在同一軌道平面上的三顆不同的人造地球衛(wèi)星，關(guān)于各物理量的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（? ）

A.根據(jù)，可知

B.根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可知它們受到的萬(wàn)有引力F_A>F_B>F_C

C.角速度

D.向心加速度

解析：由于中心天體靜止，軌道圓心和重心重合，引力半徑和軌道半徑相等，滿足，解得：，，，即BC選項(xiàng)正確。而A選項(xiàng)是引入黃金代換公式后得到的結(jié)果，但錯(cuò)在忘記了黃金代換里面R的含義，黃金代換研究的對(duì)象是地球表面的物體，其受萬(wàn)有引力提供重力：，式中的R為引力半徑，大小等于地球的半徑，圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程里的軌道半徑不是同一個(gè)物理量，并不能約分消去。

二、引力半徑和軌道半徑不等的情況

當(dāng)無(wú)靜止的中心天體，兩星體均在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道圓心和重心不重合，導(dǎo)致軌道半徑和引力半徑不相等，最典型的模型就是雙星系統(tǒng)和多星系統(tǒng)模型。

例2：如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上的O點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測(cè)得兩顆星之間的距離為L(zhǎng)，質(zhì)量之比為m₁：m₂=3：2.則（? ）：

A.m₁、m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度之比為2：3

B.m₁、m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度之比為3：2

C.m₁做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

D.m₂做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

錯(cuò)解1：認(rèn)為引力半徑和軌道半徑均為星體距離L

錯(cuò)解2：認(rèn)為引力半徑等于軌道半徑

分析：由于兩星體均在做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道圓心為星體連線上的O點(diǎn)（此點(diǎn)為空點(diǎn)，無(wú)質(zhì)量），m₁軌道半徑為m₁到O的距離，m₂軌道半徑為m₂到O的距離，兩個(gè)軌道半徑不相同。而引力半徑為m₁、m₂重心間的距離，即球心距離L。此時(shí)，引力半徑和軌道半徑不相等。但m₁對(duì)m₂的萬(wàn)有引力，與m₂對(duì)m₁的萬(wàn)有引力為作用力和反作用力，大小相等，均為。

正解：m₁和m₂同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等

其中：r₁+r₂=L

解得：

由v=wr知：v₁：v₂=r₁：r₂=2：3

因此，在萬(wàn)有引力與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合的應(yīng)用中，若行星為一動(dòng)繞一靜做圓周運(yùn)動(dòng)，則引力半徑等于軌道半徑，若行星均運(yùn)動(dòng)，且繞星體之外的一點(diǎn)，則引力半徑不等于軌道半徑，引力半徑為球心之間的距離，軌道半徑一般可以根據(jù)合力指向圓心，確定半徑，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解。防止出錯(cuò)的關(guān)鍵點(diǎn)就在于把我引力半徑和軌道半徑的物理意義：一個(gè)是重心之間的距離，一個(gè)是重心和圓心之間的距離。