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    中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題的策略研究

    2019-10-23 09:20:14渠秋艷
    數(shù)理化解題研究 2019年29期
    關(guān)鍵詞:綜合題拋物線思路

    渠秋艷

    (江蘇省徐州市豐縣和集初級中學(xué) 221700)

    二次函數(shù)綜合題難題大、綜合性強,對于學(xué)生考查的方向和知識面也相對較廣.縱觀近幾年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷的出題點及考查方向,也恰恰體現(xiàn)出了對學(xué)生核心素養(yǎng)能力的追求.我認為初中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)素質(zhì)化教學(xué)管理中,應(yīng)立足核心素養(yǎng)全局視角,結(jié)合學(xué)生特點來傳授、引導(dǎo)二次函數(shù)綜合題的解題策略和現(xiàn)實技巧.縱觀全國范圍內(nèi),各省市地區(qū)中考數(shù)學(xué)中二次函數(shù)是核心考查點,并作為載體以綜合題的形式全面考查學(xué)生初中數(shù)學(xué)知識掌握情況.下面通過具體的題目分析二次函數(shù)綜合題解題思路與方法.

    原題呈現(xiàn):如圖1,直線x=-4與x軸相交于點E.一條過原點O的拋物線與x軸上OE線段相交于點A,且與直線x=-4相交于點B.過點B的一條直線與x軸平行,與拋物線相交于點C,且直線OC與直線AB相交于點D.AD∶BD=1∶3.(圖1)

    ①:求圖中點A的坐標(x,y);

    ②:假設(shè)圖中三角形OBC為等腰三角形,求圖中拋物線的表達式.

    對于此題,正如上述所言,以二次函數(shù)作為載體,考查點比較多.這類題目,對于絕大部分學(xué)生來說,第一印象也不陌生,只要熟知數(shù)學(xué)課本教材中的知識體系和公式概念等,基本都能夠在較短的時間內(nèi)進入到正題思路,即能夠大體知道本題目考查的知識方向,然后結(jié)合教師傳授的解題思路和思考方式來解題.

    在解題中,首先明白這是一道二次函數(shù)題目,所以題目中關(guān)于二次函數(shù)的關(guān)鍵信息和已知條件顯得很重要.具體來看,最先利用二次函數(shù)的對稱性.其次,題目中給出的各項信息相對繁瑣,需要學(xué)生花費一些時間盡快將這些繁瑣的信息整理起來,即挖掘所有的隱含條件.快速整理之后,對各方已知條件在內(nèi)心已經(jīng)有一個大體的認識和梳理,譬如,D是BA和CO延長線上相交于拋物線的一個點,并且處在拋物線的對稱軸上.如圖1所示,依據(jù)已知條件推理演算,創(chuàng)造更進一步的條件,即離答案更進一步的有利條件.此處,實際上考查的是平面幾何知識,并且學(xué)生本人也基本清楚.再加上題目的最后給出了直線比例關(guān)系,所以,可過點D作一條與x軸垂直的直線,即可構(gòu)造出一對相似三角形.如此以來,即可求出A點的具體坐標.

    隨著點A坐標答案成功計算得出,借助直線、點等彼此間的位置關(guān)系和比例關(guān)系,各點的位置以及直線長度同樣可輕松計算得出.如此以來,直接代入拋物線公式y(tǒng)=ax2+bx即可.

    如上所述,關(guān)于數(shù)學(xué)解題,本身就是課堂教學(xué)的重要組成部分,因為各項教學(xué)活動的開展和實施,本身就是圍繞著如何讓學(xué)生自主解決和思考問題、尋求答案.具體來看,二次函數(shù)章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)管理中,也基本圍繞著學(xué)生如何解題來展開.但是,核心基礎(chǔ)始終不變,即圍繞著函數(shù)性質(zhì)、方程與數(shù)學(xué)模型等.以近兩年全國多地的中考數(shù)學(xué)來看,二次函數(shù)綜合題的考查點主要集中在建模思想、最值問題、幾何關(guān)系、樹形結(jié)合、問題轉(zhuǎn)化等.嚴格講,側(cè)重點在于數(shù)學(xué)問題中的思路創(chuàng)新.譬如,對于部分學(xué)生而言,幾乎什么樣的題目都能夠快速進入正確思路,并給出答案,而對于大部分學(xué)生來說,短時間內(nèi)并不會認清問題所在,也無法迅速準確進入正確思路.反之,對于我們潛意識中的優(yōu)秀學(xué)生來說,很多題目也都屬于新題,但是這部分學(xué)生已經(jīng)具備了綜合分析和解決問題的能力,即發(fā)散性的數(shù)學(xué)思維和快速的推演邏輯.以上述中考原題為例,其屬于相對簡單的題目,并且考查點并不算多.本處再次以2016年某地中考的一大難題為例,做進一步思路數(shù)理.

    (1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標;

    (3)M(s,t)為拋物線對稱軸上的一個動點.若平面內(nèi)存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形,則這樣的點N共有____個;

    對于本題,正如前文所分析,旨在側(cè)重學(xué)生的數(shù)學(xué)思路,更加直接一點說,就是如何創(chuàng)新解題技巧.實際上,本道題和第一道題并無本質(zhì)區(qū)別,均是以二次函數(shù)為載體,唯一的不同就是考查點縱橫延伸,即考查的寬度以及問題的深度.

    與第一道題不同,問題方向并未發(fā)生改變,均是要求求二次函數(shù)表達式,但給出的解題工具和知識內(nèi)容卻發(fā)生了變化,所以解題思路方面也應(yīng)當調(diào)整.對于第一問和第二問,基本可參照例題1的解題思路來解決.對于第三問,屬于反證的題型,給出的答案和已知條件,要求學(xué)生來證明答案的正確性.是否存在點N使得四邊形ABMN成為菱形.故此,可直接將四邊形ABMN當成菱形,結(jié)合點M及其可能的坐標位置,先行求出ABM三點和線之間的位置關(guān)系,即AB和AB等長.如此以來,即可將具體問題抽象化.添加輔助線,并結(jié)合平面幾何相關(guān)定理和公式.由于已經(jīng)知道M點有5個,那么對應(yīng)的N點也應(yīng)當是5 個.將抽象問題具體化、將繁瑣問題簡易化,整個過程本身就是方程思想形成過程.

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