初中數(shù)學(xué)全等三角形的證明總結(jié)和拓展思路研究

沈 達(dá)

(廣東省珠海五中 519000)

得益于我國教學(xué)制度不管改革的影響，很多初中教師意識到更新教學(xué)理念并將學(xué)生作為課堂教學(xué)主體的重要性，由此使得教師開展相應(yīng)的教學(xué)工作過程當(dāng)中，更加重視學(xué)生對知識的實際掌握情況，尤其對于初中數(shù)學(xué)這門學(xué)科來說，存在很大的難度與抽象性，使很多學(xué)生學(xué)習(xí)起來面臨著一定的困難.全等三角形包含在初中數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容中，屬于其中的重點.實際上，全等為三角形間的關(guān)系類型之一，對學(xué)生提出了正確證明與分析的要求，需要教師的科學(xué)引導(dǎo)并總結(jié)有關(guān)的證明技巧、經(jīng)驗.鑒于此，深入探究初中數(shù)學(xué)全等三角形的證明總結(jié)與拓展思路具有重要的意義.

一、利用有關(guān)特殊條件構(gòu)建全等三角形

教師開展初中數(shù)學(xué)全等三角形證明教學(xué)工作的過程中，應(yīng)該利用自身的教學(xué)經(jīng)驗和豐富的知識儲備，對學(xué)生形成科學(xué)引導(dǎo)，并讓學(xué)生積極參與其中.由教師向?qū)W生發(fā)放全等三角形的證明訓(xùn)練題，激發(fā)學(xué)生對新知識的探索欲望，培養(yǎng)科學(xué)的思維模式，學(xué)會利用特殊條件構(gòu)建出全等三角形.

例如：已知∠CAB=90°,AC=AB,M為AC邊上面的一個中點，當(dāng)AD⊥BM與BC相交于D點，與BM相交于E點，此時∠DMC=∠AMB.

具體證明的時候，通過利用相應(yīng)的輔助線，見下圖1所示，將AD延長到F點，進(jìn)而讓AC⊥CF.

∵AC⊥AB,BM⊥AD,∴∠DAC=∠ABM.

而在△ABM和△CAF內(nèi)，

圖1

∠DAC=∠ABM,AB=CA,∠ACF=∠BAM,

因此，△ABM?△CAF,

∴∠BMA=∠CFA.

在△FCD和△MCD內(nèi)，CF=CM，∠FCD=∠MCD,CD=CD,

因此，△FCD?△MCD,

∴∠F=∠CMD,∴∠DMC=∠AMB.

經(jīng)過上述的證明，體現(xiàn)出學(xué)生利用自身的想象能力完成了輔助線的繪制，顯然，通過教師的引導(dǎo)和幫助，讓學(xué)生的想象力得以增強(qiáng)，拓展了其思維能力和解題思路，經(jīng)過對典型全等三角形的證明，達(dá)到讓學(xué)生舉一反三的效果，幫助其深入掌握全等三角形證明中的不同數(shù)量關(guān)系情況.

二、靈活運用倍長中線法創(chuàng)建全等三角形

教師進(jìn)行初中數(shù)學(xué)全等三角形證明題講解時，應(yīng)注重啟發(fā)與指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會創(chuàng)建全等三角形，有效運用已知的條件，并提高學(xué)生主動進(jìn)行思考的熱情與積極性，從而可以針對不同數(shù)量間的關(guān)聯(lián)性予以科學(xué)判定，完成對實際問題的有效解決.

圖2

例如：已知在△ABC當(dāng)中，AD為其中線，同時AB=8 cm,AC=5 cm,見圖2，求中線AD的取值范圍.

具體解題時，基于確定中線AD的取值范圍目的，能利用全等三角形相關(guān)定理與性質(zhì)實施分析和判定.由于在該題中缺少已知且能運用的全等三角形，所以，此時需要作出輔助線，完成全等三角形的創(chuàng)建，充分利用全等三角形相關(guān)性質(zhì)對不同數(shù)量的關(guān)聯(lián)情況實施判定.具體而言：

作出BE∥AC與AD的延長線交于E點.然后根據(jù)已知的條件得出

△ADC?△EDB.

∴AE=2AD,AC=BE=5.

∴在△ABE當(dāng)中，存在AB+BE>AE,AB-BE<2AD.

設(shè)AD=x，并計算x的具體取值范圍.

從該題目的證明求解過程中不難看出，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生細(xì)心發(fā)覺題目求解的規(guī)律，并學(xué)會充分運用已知條件，實現(xiàn)有利條件的創(chuàng)建，進(jìn)而掌握全等三角形的構(gòu)建與證明的技巧和方法.

三、兩線垂直的科學(xué)證明

學(xué)生經(jīng)過一段時間對三角形全等方面知識的學(xué)習(xí)后，一般利用相關(guān)定理進(jìn)行三角形全等的證明，比如：邊角邊、角邊角等判斷方式.經(jīng)過教師的講解與指導(dǎo)之后，使學(xué)生深入掌握三角形全等方面的知識，并學(xué)會利用全等三角形有關(guān)性質(zhì)完成不同題目的證明與求解，使自身的解題能力獲得提升，久而久之，形成科學(xué)的思維模式.在實際的解題時，運用三角形全等進(jìn)行兩線垂直的證明也是常見的方法之一.

例如：AD是△ABC中的高，E是AC線上的一點，AD與BE相交于F點，同時AC=BF,FD=CD,求證AC⊥BE.見圖3.

證明思路如下：

圖3

易證Rt△BDF≌Rt△ADC,則∠DBF=∠DAC.

而∠DAC+∠C=90°,

故∠DBF+∠C=90°,

從而∠BEC=90°,得AC⊥BE.

當(dāng)完成該三角形當(dāng)中的內(nèi)角相等的證明之后，可以根據(jù)三角形內(nèi)角和相等的性質(zhì)，實現(xiàn)兩直線垂直的證明.

由此可見，進(jìn)行具體題目求解的時候，教師應(yīng)該教會學(xué)生運用科學(xué)的思考方式，掌握知識的轉(zhuǎn)化與靈活應(yīng)用的方法，從而充分對題目中的已知條件進(jìn)行利用，對三角形全等進(jìn)行證明，達(dá)到解題思路的拓展目的.

結(jié)論：由該論文的分析中能夠得知，深入探究初中數(shù)學(xué)全等三角形的證明總結(jié)與拓展思路具有重要的意義.本文圍繞初中數(shù)學(xué)全等三角形的證明總結(jié)與拓展思路為主要的內(nèi)容，針對全等三角形的證明進(jìn)行不同證明方法的論述和說明：利用有關(guān)特殊條件構(gòu)建全等三角形、靈活運用倍長中線法創(chuàng)建全等三角形、兩線垂直的科學(xué)證明.望此次研究的內(nèi)容和結(jié)果，能得到相關(guān)教師的重視，并從中獲取相應(yīng)的幫助，以便提高初中數(shù)學(xué)的整體教學(xué)水平，使學(xué)生學(xué)會全等三角形的證明.