加強模型理解 提升解題能力

文楊春霞

從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，由一元一次方程到一元二次方程是知識發(fā)展過程中必然要出現(xiàn)的代數(shù)式關(guān)系；從數(shù)學(xué)外部來看，一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界，解決實際問題的有效模型。近年來，各地中考圍繞這一核心知識點呈現(xiàn)多種考題形式，下面就從“方程概念”“計算技能”“模型應(yīng)用”三個方面作簡要分析。

一、立足“方程概念”，考查知識理解

一般?？碱}會借助對一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的認(rèn)識，考查對“樣子+條件”定義形式的本質(zhì)理解。這樣的理解也不是獨立考查，往往還和方程的根、根與系數(shù)關(guān)系、根的情況判別相結(jié)合。

例1（1）（2016·泰州）方程2x-4=0的解也是關(guān)于x的方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值為_______。

（2）（2016·聊城）如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是_______。

第（1）小題借助一元一次方程的解來求一元二次方程中的未知系數(shù)m的值，考查了方程解的概念，即方程的解代入方程能使得方程等式成立，故易得m的值為-3。第（2）小題以方程根的情況來考查未知系數(shù)k的取值范圍，一方面要理解根的情況由“兩個不相等的實數(shù)根”得到b2-4ac＞0，繼而得到在這個不等式下k的第一個取值范圍k＞；另一方面要兼顧到一元二次方程中二次項系數(shù)k的條件限制，即k≠0。綜合來看k的取值范圍為k＞且k≠0。

二、關(guān)注“計算技能”，考查運算能力

求一元二次方程的解體現(xiàn)著運算能力的水平，這是解決實際問題的需要，其解法也關(guān)聯(lián)到二次函數(shù)等相關(guān)知識。因此對計算技能方面的考查，一般有獨立考查解方程以及方程解法，或是結(jié)合應(yīng)用模型解決問題進行考查。

例2（1）（2016·新疆改編）一元二次方程x2-6x-5=0配方可變形為________。

（2）（2014·聊城改編）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為_______。

這兩道題原題出自不同地區(qū)，但都以選擇題形式考查一元二次方程解法中的配方法，凸顯了配方法在知識系統(tǒng)中的重要作用。這里改編為填空題，去掉干擾選擇支，直接考查配方法的關(guān)鍵步驟。第（1）題給的是具體數(shù)值，因此較為容易地得到變形后為（x-3）2=14；第（2）題是一元二次方程的一般形式，一般化地體現(xiàn)對配方法的本質(zhì)理解，字母系數(shù)參與運算，增加了運算難度，但只要按照配方法步驟，依然可以得

例3 （1）（2013·河南）方程（x-2）（x+3）=0的解是（ ）。

A.x=2 B.x=-3

C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3

（2）（2016·蘭州）解方程：2y2+4y=y+2。

例3的兩題重在對解法和求解過程的考查。第（1）題體現(xiàn)分解因式求一元二次方程解的關(guān)鍵形式，即要形成ab=0的結(jié)構(gòu)，故選D；第（2）題單獨考查一元二次方程的解法，由于所給形式非一般形式的結(jié)構(gòu)，所以我們要先進行轉(zhuǎn)化，變成一般形式，再根據(jù)方程的特點，恰當(dāng)選擇方法。具體解題過程如下：

解：2y2+4y=y+2，

2y2+3y-2=0，

（2y-1）（y+2）=0，

2y-1=0或y+2=0，

三、重視“模型應(yīng)用”，考查問題解決

方程的價值體現(xiàn)在對外部世界的認(rèn)識上，也就是建構(gòu)模型。因此多年來，建立一元二次方程模型考查問題已經(jīng)是常規(guī)題型，但因為涉及實際問題內(nèi)容較廣，一般會結(jié)合具體背景考查，如：“行程”“工程”“增長率”“銷售”等。也因其模型和函數(shù)模型建立的內(nèi)在聯(lián)系是一致的，即尋找相等的數(shù)量關(guān)系，因此也可以結(jié)合二次函數(shù)的應(yīng)用滲透對方程模型應(yīng)用的考查。

例4 （2019·徐州）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm，在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一個無蓋長方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的底面積為200cm2？

本題需要我們理解長方體的底面長、寬與正方形邊長之間的一次關(guān)系，以及底面積與長和寬之間的關(guān)系，進而認(rèn)識到所有模型均可歸一為“a+b”型、“a×b”型以及在此基礎(chǔ)上的模型嵌套，從而感受到數(shù)式模型、數(shù)式關(guān)系模型是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型。解答如下：

解：設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，

則根據(jù)題意，有（30-2x）·（20-2x）=200。

解得x1=5，x2=20。

當(dāng)x=20時，20-2x＜0，所以x=5。

答：當(dāng)剪去正方形的邊長為5cm時，所得長方體盒子的底面積為200cm2。