在用一元二次方程解決問(wèn)題中尋找矩形

文程 楠

用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，而矩形是一個(gè)我們非常熟悉的圖形，它自身就含有兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的等量關(guān)系：長(zhǎng)+寬=，長(zhǎng)×寬=面積。這給我們列方程提供了便利。那現(xiàn)在就讓我們到一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的題目中找一找矩形的身影吧。

一、圍欄中的矩形

例1 （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第24頁(yè)）

用一根長(zhǎng)22cm的鐵絲：

（1）能否圍成面積是30cm2的矩形？

（2）能否圍成面積是32cm2的矩形？

【解析】本題的問(wèn)題是能不能圍成規(guī)定面積的矩形，題目中的矩形長(zhǎng)、寬均不知道，因此我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能否求出滿足條件的長(zhǎng)、寬，如果可以求出合理的解，那么就可以圍成這樣的矩形，否則就不能圍成。題目的大條件是鐵絲長(zhǎng)度（矩形周長(zhǎng)）為22cm，第（1）小題的小條件是矩形面積30cm2，因此等量關(guān)系就是，長(zhǎng)×寬=30。因?yàn)橹荛L(zhǎng)的等量關(guān)系是一次式，所以利用這個(gè)關(guān)系，長(zhǎng)、寬可用含同一未知量的一次式表達(dá)，那么面積的等量關(guān)系就可以用來(lái)列方程了。第（2）小題同理。

解：設(shè)這根鐵絲圍成的矩形長(zhǎng)是xcm，則矩形的寬是（11-x）cm。

（1）根據(jù)題意，得x（11-x）=30，即x2-11x+30=0。

解這個(gè)方程，得x1=5，x2=6。

當(dāng)x1=5時(shí)，11-x1=6；當(dāng)x2=6時(shí)，11-x2=5。

答：用一根長(zhǎng)22cm的鐵絲能圍成面積是30cm2的矩形。

（2）根據(jù)題意，得x（11-x）=32，即x2-11x+32=0。

因?yàn)?b2-4ac=（-11）2-4×1×32=121-128=-7＜0，

所以此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

答：用一根長(zhǎng)22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm2的矩形。

【點(diǎn)評(píng)】本題所給鐵絲長(zhǎng)度就是整個(gè)矩形的周長(zhǎng)（四條邊長(zhǎng)度之和），列方程所使用的等量關(guān)系非常簡(jiǎn)單，因此列方程的關(guān)鍵就變成了如何用含同一個(gè)未知量的一次式將矩形的長(zhǎng)、寬表達(dá)出來(lái)。同時(shí)需要注意，方程的兩個(gè)根即使都符合題意，也要檢驗(yàn)所求的另一個(gè)量是否滿足題意。

變式如圖1，要建一個(gè)面積為130m2的養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)16m），在與墻平行的一邊開(kāi)一扇1m寬的門，其余各邊所用籬笆總長(zhǎng)為32m，求養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬。

圖1

【解析】本題和例1是同一類型題，知道矩形周長(zhǎng)關(guān)系，矩形面積需要滿足條件。因此解題策略和上一題一樣，利用周長(zhǎng)關(guān)系得到長(zhǎng)、寬的表達(dá)式，利用面積關(guān)系列方程。值得注意的是，本題的周長(zhǎng)（籬笆總長(zhǎng)為32m）不是矩形四條邊長(zhǎng)度之和，因?yàn)橐贿吙繅?，且開(kāi)了一扇1m寬的門，所以（長(zhǎng)-1）+2個(gè)寬=32。

解法一：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是xm，則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)是（33-2x）m。

根據(jù)題意，得x（33-2x）=130，即2x2-33x+130=0。

答：養(yǎng)雞場(chǎng)長(zhǎng)13m，寬10m。

解法二：設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)是xm，則養(yǎng)雞

解這個(gè)方程，得x1=13，x2=20。

因?yàn)?0＞16（墻長(zhǎng)），所以舍去x2=20。

答：養(yǎng)雞場(chǎng)長(zhǎng)13m，寬10m。

【點(diǎn)評(píng)】本題圍成的矩形一邊靠墻，因此墻的長(zhǎng)度是對(duì)根的限制，平行于墻的那條邊的長(zhǎng)度必須小于等于墻的長(zhǎng)度。設(shè)長(zhǎng)為未知數(shù)還是設(shè)寬為未知數(shù)都是可以的，可以結(jié)合本題的兩種解法思考一下，不同的設(shè)法在列方程、解方程以及取舍根的時(shí)候有什么不同，如何選擇。

二、道路中的矩形

例2（蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第30頁(yè)1.4習(xí)題第5題）如圖2，在長(zhǎng)40m、寬22m的矩形地面內(nèi)，修筑兩條同樣寬且互相垂直的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？

圖2

圖3

【解析】本題可以看成將道路抽掉，剩下的草坪拼成一個(gè)新的矩形，如圖3。題目中的等量關(guān)系：新矩形的長(zhǎng)=原矩形的長(zhǎng)-道路的寬；新矩形的寬=原矩形的寬-道路的寬；新矩形的長(zhǎng)×新矩形的寬=草坪面積760。選擇前兩個(gè)等量關(guān)系表達(dá)新矩形的長(zhǎng)、寬，利用第三個(gè)等量關(guān)系列方程。

解：設(shè)道路的寬為xm。

根據(jù)題意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解這個(gè)方程，得x1=2，x2=60。

因?yàn)?0＞22，所以舍去x2=60。

答：道路的寬為2m。

【點(diǎn)評(píng)】本題也可以利用等量關(guān)系“原矩形面積-2條道路面積+道路中間重疊的小正方形面積=草坪面積”來(lái)列方程。但是將圖形拼接之后再利用矩形面積關(guān)系來(lái)列方程比較簡(jiǎn)潔，也能很好地避免漏加重疊部分的正方形面積，因此此解法是解這類問(wèn)題的首選方法。

變式（2018·南京秦淮期中）如圖4，在長(zhǎng)40m、寬22m的矩形地面內(nèi)，修筑三條同樣寬且垂直于矩形的邊的道路，余下的鋪上草坪。要使草坪的面積達(dá)到760m2，道路的寬應(yīng)為多少？

圖4

【解析】本題與教材上的習(xí)題幾乎是同一題，只有圖略微不同而已。因此等量關(guān)系和解答過(guò)程完全一樣。

解：設(shè)道路的寬為xm。

根據(jù)題意，得（40-x）（22-x）=760，即x2-62x+120=0。

解這個(gè)方程，得x1=2，x2=60。

因?yàn)?0＞22，所以舍去x2=60。

答：道路的寬為2m。

【點(diǎn)評(píng)】此題中道路形狀變了，但是處理方法都是一致的，就是可以將道路抽掉，剩下的圖形拼成一個(gè)新的矩形，利用矩形面積關(guān)系來(lái)列方程。

三、改造中的矩形

例3 （2008·南京）某村計(jì)劃建造如圖5所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2∶1。在溫室內(nèi)，沿前側(cè)的側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道。當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

圖5

【解析】本題等量關(guān)系如下，溫室長(zhǎng)∶溫室寬=2∶1；蔬菜種植區(qū)長(zhǎng)=溫室長(zhǎng)-前側(cè)空地寬-內(nèi)墻通道寬；蔬菜種植區(qū)寬=溫室寬-2個(gè)內(nèi)墻通道寬；蔬菜種植區(qū)的長(zhǎng)×蔬菜種植區(qū)的寬=蔬菜種植區(qū)面積288。選擇第一個(gè)等量關(guān)系表達(dá)溫室的長(zhǎng)、寬，利用第二和第三個(gè)等量關(guān)系表達(dá)蔬菜種植區(qū)的長(zhǎng)、寬，利用最后一個(gè)等量關(guān)系列方程。

解：設(shè)矩形溫室的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm。

根據(jù)題意，得（x-2）·（2x-4）=288。

解這個(gè)方程，得x1=-10（不合題意，舍去），x2=14。

論“綠色之善”對(duì)“技術(shù)之真”的規(guī)約 ……………………………………………………………… 衡孝慶（2．83）

所以2x=2×14=28。

答：當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2。

變式（2012·南京）“？”的思考下框中是小明對(duì)一道題目的解答以及老師的批閱。

題目：某村計(jì)劃建造如圖6所示的矩形蔬菜溫室，要求長(zhǎng)與寬的比為2∶1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？

圖6

解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm， ？

根據(jù)題意，得x·2x=288。

解這個(gè)方程，得x1=-12（不合題意，舍去），x2=12。

所以溫室的長(zhǎng)為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）。

答：當(dāng)溫室的長(zhǎng)為28m，寬為14m時(shí)，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2。

小明的結(jié)果也正確。

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中劃了一條橫線，并打了一個(gè)“？”。

結(jié)果為何正確呢？

請(qǐng)指出小明解答中存在的問(wèn)題，并補(bǔ)充缺少的過(guò)程。

【解析】本題提供了小明的解法，那么設(shè)未知數(shù)和列方程就不是要解決問(wèn)題了，而是要能發(fā)現(xiàn)小明的錯(cuò)誤在哪里，并進(jìn)行糾正。小明的解法迷惑性較高，他用了2∶1的關(guān)系設(shè)未知數(shù)，并且解出的答案和正確答案的數(shù)值是一樣的。但是題目中是溫室的長(zhǎng)寬比為2∶1，他誤將其認(rèn)為是蔬菜種植區(qū)長(zhǎng)寬比為2∶1。之所以答案是正確的，是因?yàn)榇祟}中蔬菜種植區(qū)的長(zhǎng)寬比也正好為2∶1。

解：小明沒(méi)有說(shuō)明矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2∶1的理由。

在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm”前補(bǔ)充以下過(guò)程：

設(shè)溫室的寬為ym，則長(zhǎng)為2ym。

所以矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（y-1-1）m，長(zhǎng)為（2y-3-1）m。

所以矩形蔬菜種植區(qū)域的長(zhǎng)與寬之比為2∶1。

【點(diǎn)評(píng)】2008年與2012年的這兩道南京中考題看似相同，實(shí)則不同，只是選用了同一個(gè)實(shí)際背景。前一題是利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，需要找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程，而此題需要解決的是在一個(gè)有缺陷的解答中找出缺陷原因，并完善解答。這題的能力考查要求我們不僅會(huì)做題，還要會(huì)批改，找出錯(cuò)因。做題時(shí)我們需要厘清思路，不可盲目解答。