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    千舉萬變 其道一也
    ——關(guān)于一元二次方程的根與系數(shù)的考題研究與策略分析

    2019-10-22 05:07:40文陳
    初中生世界 2019年35期
    關(guān)鍵詞:一元二次方程變式本題

    文陳 緩

    一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,也是中考必考點。主要有三種考查方式:一是一元二次方程的求解;二是根與系數(shù)的關(guān)系;三是一元二次方程的實際應(yīng)用。重點在于根據(jù)題意找出等量關(guān)系。下面針對一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,從教材例題出發(fā),結(jié)合中考題變式,進行剖析。

    例(蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第22頁)求下列方程兩根的和與兩根的積:x2+2x-5=0。

    【解析】該方程是一元二次方程的一般形式,分別寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的值a、b、c,利用韋達定理可得x1+x2

    解:設(shè)方程x2+2x-5=0的兩根分別是x1、x2,

    【點評】對于“給定方程,求根”的問題,“給定方程”就是“給定系數(shù)”,掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

    變式若方程x2-6x+8=0的兩根是某直角三角形的兩直角邊的長,則斜邊長為_____。

    【解析】方法不一,首先利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到接下來,可以利用完全平方公式求出=(x1+x2)2-2x1·x2。我們還可以利用配方法或因式分解法求出x1,x2的具體值,再利用勾股定理求直角三角形的斜邊長。

    解:設(shè)方程x2-6x+8=0的兩根分別是x1、x2,

    ∵a=1,b=-6,c=8,

    【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、勾股定理的應(yīng)用,以及因式分解法求一元二次方程的根。同學(xué)們還可以嘗試不同方法,如求出直角三角形的兩直角邊的具體長度,本題依然可以迎刃而解。

    除了以上不含參數(shù)的一元二次方程,中考數(shù)學(xué)常常聚焦于含參數(shù)的類型。

    題型一:含參數(shù)的一元二次方程中,已知方程的根,求參數(shù)。

    變式鏈接已知3是關(guān)于x的方程x2-4x+m=0的一個根,則m=______。

    【解析】運用一元二次方程根的定義,可以將3代入方程中得到關(guān)于m的一元一次方程,然后求出m即可。

    解:把3代入方程中得,

    32-4×3+m=0,

    解得m=3。

    故本題正確答案為3。

    【點評】本題考查一元二次方程根的定義。我們可以直接將3代入方程,從而將關(guān)于x的一元二次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程,體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的思想。

    題型二:含參數(shù)的一元二次方程中,已知方程兩根的關(guān)系,求兩根的值。

    變式鏈接設(shè)x1、x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根,且x1+x2=5,則x1=_,x2=_____。

    【解析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合x1+x2=5可得出m的值,將其代入原方程,再利用因式分解法解一元二次方程,即可得出結(jié)論。

    解:由題意得,

    ∵x1+x2=5,∴m=5,

    ∴原方程可化為:x2-5x-6=0,

    解得x1=6,x2=-1(順序可交換)。

    【點評】解決該類問題時,重在把握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系式,借助“橋梁”m和兩根的關(guān)系,將原方程轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的方程,進而求出方程的解。

    題型三:含參數(shù)的一元二次方程中,已知方程的一根,求另一根和參數(shù)值。

    變式鏈接已知方程x2-6x+m=0的一個根是2,則它的另一個根是____,m的值是___。

    【解析】已知一元二次方程的一個根,根據(jù)兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù),可求出另一個根;再利用兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比,可求出m。

    解:設(shè)x1,x2是方程x2-6x+m=0的兩個根,且x1=2,則

    2+x2=6,2·x2=m,

    可得x2=4,

    ∴m=2·x2=8,

    即m=8。

    故本題正確答案為4,8。

    【點評】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,萬變不離其宗,只要掌握關(guān)系式,分別確定根的值以及參數(shù)的值,便可得解。

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