靈活選解法 方程巧計(jì)算

文焦倩玉

親愛的同學(xué)們，你們知道嗎，人類認(rèn)識(shí)一元二次方程的歷史相當(dāng)久遠(yuǎn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在他的著作《代數(shù)學(xué)》里第一次承認(rèn)了一元二次方程有兩個(gè)根，還用幾何學(xué)方法得出一般的求根公式，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。我們都知道解一元二次方程常見的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，下面我們一起來結(jié)合具體題目，合理選擇解一元二次方程的方法，以方便我們的計(jì)算。

一、直接開平方法

例1 解方程：（x+1）2-1=3。

【解析】把x+1看作一個(gè)整體，將方程兩邊同時(shí)加1，變形為（x+1）2=4，再直接開平方，計(jì)算即可。

解：（x+1）2-1=3。

（x+1）2=4。

x+1=±2。

x=-1±2。

∴x1=1，x2=-3。

【點(diǎn)評(píng)】形如（x+h）2=k（h、k為常數(shù)，k≥0）的方程通常使用直接開平方法。需要注意的是，若k=0，則答案需寫作x1=x2=-h的形式，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

二、配方法

例2 解方程：x2-10x+22=0。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，此時(shí)考慮選擇使用配方法。

解：x2-10x=-22。

x2-10x+52=-22+52。

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)a=1，b為偶數(shù)時(shí)通常使用配方法。先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。將方程轉(zhuǎn)化為（x+h）2=k的形式，進(jìn)而求解。當(dāng)一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)不是偶數(shù)時(shí)，配方容易出錯(cuò)，同學(xué)們應(yīng)引起注意。

三、公式法

例3 解方程：2x2+x-1=0。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不為1，一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)，此時(shí)應(yīng)選擇使用公式法。

解：∵a=2，b=1，c=-1，

b2-4ac=12-4×2×（-1）=9。

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根是x=同學(xué)們對(duì)一元二次方程的求根公式需要熟練掌握，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入公式，進(jìn)而求解。特別對(duì)于a≠1，b為奇數(shù)的情況，公式法通常較為簡(jiǎn)便。

四、因式分解法

例4 解方程：x（2x-1）=3（1-2x）。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)2x-1與1-2x互為相反數(shù)，移項(xiàng)后可提公因式，因此應(yīng)選擇使用因式分解法。

解：x（2x-1）-3（1-2x）=0。

x（2x-1）+3（2x-1）=0。

（2x-1）（x+3）=0。

∴2x-1=0或x+3=0。

【點(diǎn)評(píng)】開始動(dòng)筆做題之前，同學(xué)們一定要養(yǎng)成認(rèn)真讀題的好習(xí)慣。這道題可通過移項(xiàng)，將方程右邊化為0，方程左邊經(jīng)提公因式之后可分解為兩個(gè)一次因式的乘積。把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，從而得出結(jié)果。

小弱沮喪地趴在桌上，遠(yuǎn)遠(yuǎn)看上去就像是喝醉了，不過坐在他身邊的安潔西卻看到他呆滯地盯著地面的眼睛里滿是清醒。

例5 解方程：（3x-1）2-4x2=0。

【解析】將4x2看作2x整體的平方，我們可以利用平方差公式將這個(gè)一元二次方程的左邊進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次因式的乘積。

解：（3x-1）2-（2x）2=0。

（3x-1+2x）（3x-1-2x）=0。

（5x-1）（x-1）=0。

∴5x-1=0或x-1=0。

【點(diǎn)評(píng)】形如x2-ax=0和x2-a2=0的一元二次方程通?？梢允褂靡蚴椒纸夥焖俚亟鉀Q。

例6 已知關(guān)于x的方程2x2+mx+50=0的一個(gè)根是10，求它的另一個(gè)根。

【解析】已知一元二次方程的一個(gè)根，可以將此根代入方程求出參數(shù)的值，再通過解這個(gè)方程得到它的另一個(gè)根?；蛘吒鶕?jù)題目條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解。

解法一：把x=10代入，得2×102+10m+50=0。

解得m=-25。

把m=-25代入，得2x2-25x+50=0。

∵a=2，b=-25，c=50，

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)比本題的這兩種解法，我們可以明顯看出方法2更為便捷。已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）中a和b的值，可以利用x1+x2=進(jìn)行求解；已知a和c的值，則可以利

例7 已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩根分別是 2+1、 2-1，求b、c的值。

【解析】已知一元二次方程的兩個(gè)根，那么我們可以直接代入，聯(lián)立得到關(guān)于b和c的二元一次方程組，進(jìn)而求解。經(jīng)過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)這種方法并不方便。我們可以逆向使用根與系數(shù)的關(guān)系，直接得到b和c的值。

解：∵x1+x2=-b，

【點(diǎn)評(píng)】此處為根與系數(shù)的關(guān)系的直接應(yīng)用，同學(xué)們要注意歸納總結(jié)。另外中，負(fù)號(hào)不要漏寫。