分形結(jié)構(gòu)稀疏孔徑陣列的成像性能*

郝未倩 梁忠誠 ? 劉肖堯 趙瑞 孔梅梅 關(guān)建飛 張?jiān)?/p>

1) (南京郵電大學(xué)電子與光學(xué)工程學(xué)院, 南京 210023)

2) (中國空間技術(shù)研究院北京空間機(jī)電研究所, 北京 100094)

根據(jù)分形的自相似性理論提出一種分形稀疏孔徑陣列結(jié)構(gòu).該陣列是以Golay-3為分形結(jié)構(gòu)單元, 按自相似方式擴(kuò)展構(gòu)成的一種多層分形陣列結(jié)構(gòu).采用無量綱約化參數(shù)對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行表征, 給出光瞳函數(shù)和調(diào)制傳遞函數(shù)解析表達(dá)式.通過數(shù)值計(jì)算分形結(jié)構(gòu)在不同填充因子和不同外層旋轉(zhuǎn)角下的調(diào)制傳遞函數(shù)、實(shí)際截止頻率和中頻特性, 比較分析了當(dāng)孔徑數(shù)分別為 N= 3, N= 9, N= 18 陣列的 MTF 及特性參數(shù).結(jié)果表明,當(dāng)填充因子為 0.0952

1 引 言

空間遙感對于高分辨率圖像的要求不斷提高.對于單孔徑(主鏡)望遠(yuǎn)鏡而言, 越高的空間分辨率需要越大的孔徑[1?3].光學(xué)系統(tǒng)的角分辨率d正比于工作波長l與入瞳口徑D之比[4], 增大光學(xué)系統(tǒng)的孔徑是提高空間分辨率的傳統(tǒng)方法.但是光學(xué)系統(tǒng)的重量、體積和制造檢測的難度, 也會(huì)隨著口徑的急劇增大而無法承受[4,5].于是綜合孔徑成像技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生[6].綜合孔徑成像又稱稀疏孔徑成像, 它通過多個(gè)子孔徑光學(xué)系統(tǒng)的合理排布, 以達(dá)到增加系統(tǒng)孔徑、提高成像質(zhì)量的目的.由于子鏡系統(tǒng)的體積和重量相對較小, 綜合系統(tǒng)的制造和檢測難度也相應(yīng)降低[7,8].因?yàn)橄∈杩讖匠上裼休^大的中頻損失, 所以子鏡陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和中頻補(bǔ)償是綜合孔徑成像系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一[9?11].

1971年, Golay[12]最先提出一種稀疏孔徑結(jié)構(gòu), Golay結(jié)構(gòu)因有較高緊密性和較小冗余度而被廣泛應(yīng)用.1988年, Cornwell[13]對二維圓周陣列進(jìn)行優(yōu)化, 給出3—12個(gè)子孔徑在圓周上最優(yōu)的無冗余布局.目前, 國際上在陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化和中頻補(bǔ)償方面已有廣泛的研究[14,15].國內(nèi)對稀疏孔徑成像也有較多的研究.蘇州大學(xué)曾提出了一種復(fù)合三子鏡稀疏孔徑結(jié)構(gòu)[16].北京工業(yè)大學(xué)提出一種建立在典型光學(xué)稀疏孔徑陣型基礎(chǔ)上的復(fù)合孔徑陣列結(jié)構(gòu)[3,17].北京航天航空大學(xué)在均勻圓周陣列的基礎(chǔ)上提出一種多圓周陣列的稀疏孔徑結(jié)構(gòu)[18,19].此外, 北京航天航空大學(xué)[20,21]、南京理工大學(xué)[22]、中國科學(xué)院西安精密研究所[10]和本課題組[23]都陸續(xù)對稀疏孔徑系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化和仿真成像分析[24].

分形是具有自相似性、無標(biāo)度性和自仿射性的一類結(jié)構(gòu)[25].典型的分形如康托集、柯赫曲線和皮亞諾曲線.分形結(jié)構(gòu)通常在不同尺度上有著某種自相似的性質(zhì), 也就是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似.根據(jù)分形結(jié)構(gòu)的自相似和多尺度特點(diǎn), 本文提出一種基于分形結(jié)構(gòu)的稀疏孔徑陣列, 用于綜合孔徑成像系統(tǒng), 并分析此陣列結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo).

2 分形結(jié)構(gòu)陣列

本節(jié)給出一種基于Golay-3為單元的分形結(jié)構(gòu)陣列的設(shè)計(jì)分案.Golay-3是一種最小的非冗余稀疏孔徑結(jié)構(gòu), 其子孔徑圓心位于正三角形頂點(diǎn),正三角形邊長D是該結(jié)構(gòu)的特征長度.特征長度的層層遞增可以構(gòu)成自相似結(jié)構(gòu), 達(dá)到擴(kuò)展陣列口徑的目的.設(shè)陣列結(jié)構(gòu)的層數(shù)為n,D1,D2,D3,···,Dn分別為各層的特征長度, 其中D1稱為分形單元基線.從第二層開始, 各層正三角形中心均位于同一點(diǎn).在各層三角形頂點(diǎn)處均放置一個(gè)分形單元依次層層嵌套, 向外拓展.分形陣列結(jié)構(gòu)層數(shù)n與子孔徑總數(shù)N遞推關(guān)系為

在圖1 中,R1,R2,R3,···,Rn分別為各層外接圓半徑, 子孔徑直徑為D0, 各層外接圓半徑與特征長度的關(guān)系由(2)式給出.

圖1 分形陣列結(jié)構(gòu)Fig.1.Fractal array configuration.

考慮各層方位的相對變化情況, 第n層相對于X軸的旋轉(zhuǎn)角稱為n層旋轉(zhuǎn)角θn.本文考慮n=3,θ1=0,θ2=0,θ3=θ的 情 況, 通 過 改 變D1,D2,D3的大小及第三層旋轉(zhuǎn)角θ3=θ, 分析其結(jié)構(gòu)和性能特征.為了保證旋轉(zhuǎn)時(shí)各層子孔徑不重疊, 對特征長度做如下約束:

此時(shí), 孔徑的光瞳結(jié)構(gòu)如圖1所示, 光瞳函數(shù)可以表示為

其中circ()為圓函數(shù), *表示卷積.

為了使得計(jì)算結(jié)果具有普適性, 現(xiàn)以D1為單位將特征長度無量綱化, 得到以下約化參數(shù)

n=3時(shí), 獨(dú)立的特征長度有 4 個(gè) (D0?D3) , 約化后的特征長度有3個(gè) (d0,d2,d3).在(3)式的約束下, 獨(dú)立的特征長度僅剩下一個(gè)d0, 且取值范圍為0

該分形結(jié)構(gòu)陣列的幾何特征包括填充因子和包圍圓半徑.填充因子F定義為稀疏孔徑通光面積(子孔徑通光面積之和)與包圍孔徑面積的比值.下式是n=3 時(shí)的填充因子表達(dá)式

由此可知, 填充因子的改變僅由子孔徑直徑d0決定.當(dāng)d0=1 時(shí), 填充因子達(dá)到最大值

圖2(a)是子孔徑直徑d0與填充因子F的關(guān)系圖.由圖可見, 隨著d0的增大, 填充因子F單調(diào)增大.

在(2)式約束條件下分形陣列結(jié)構(gòu)的包圍圓半徑Rn與d0的關(guān)系為

圖2(b)是包圍圓半徑與層數(shù)n的關(guān)系.如果取消(2)式的限制, 系統(tǒng)口徑將隨著層數(shù)的增加而迅速增加.

3 分形結(jié)構(gòu)成像特性研究

3.1 調(diào)制傳遞函數(shù)

設(shè)稀疏孔徑系統(tǒng)每一個(gè)子孔徑均為無遮攔圓形光瞳, 則任意結(jié)構(gòu)的調(diào)制傳遞函數(shù)(modulation transfer function, MTF) 為[4]

式中 M TFd為與子孔徑相同大小的單孔徑非衍射受限系統(tǒng)的MTF, 表達(dá)式為

式中 (xj?xk,yj?yk) 表示子孔徑的相對位置.顯然, 稀疏孔徑的MTF由子調(diào)制傳遞函數(shù)分布在二維頻率域內(nèi)的不同位置決定, 子孔徑中心點(diǎn)陣的二維相關(guān)點(diǎn)陣決定二維頻率點(diǎn)的位置.故可以調(diào)節(jié)子孔徑的相對位置, 使之達(dá)到實(shí)際使用時(shí)對傳遞函數(shù)的要求.填充因子F取22.46%時(shí), 分形結(jié)構(gòu)對應(yīng)的MTF如圖3.從圖中可知, 與全孔徑系統(tǒng)相比,分形陣列結(jié)構(gòu)的MTF的旁瓣增多, 中高頻區(qū)域有很大的衰減.其MTF總體上呈六角邊形分布, 在60°的整數(shù)倍方向取到最大截止頻率.

圖2 結(jié)構(gòu)特征 (a)子孔徑直徑與填充因子曲線圖; (b)結(jié)構(gòu)層數(shù)與包圍圓半徑關(guān)系Fig.2.Configuration characteristics:(a) Sub-aperture diameter and fill factor curve; (b) the relationship of the number of fractal configuration and the radius of aperture.

圖3 分形陣列 MTF(F= 22.46%) (a)三維 MTF; (b) MTF 俯視圖Fig.3.MTF of fractal array (F= 22.46%):(a) There-dimensional MTF; (b) top-view MTF.

3.2 子孔徑直徑變化對MTF的影響

采用無量綱方法將孔徑參數(shù)約化后, 子孔徑直徑d0的變化通過填充因子F(d0) 表現(xiàn)出來.一般的稀疏孔徑結(jié)構(gòu)多采用較大的填充因子, 以實(shí)現(xiàn)沒有零點(diǎn)和提高中頻特性.圖4給出分形結(jié)構(gòu)隨填充因子變化的MTF曲線, 圖4(a)為沿fx的歸一化截止空間頻率, 圖4(b)為沿fy的歸一化截止空間頻率.當(dāng)d0=0.5 時(shí), MTF 低頻部分有很大起伏, 且在 0.52 附近出現(xiàn)零點(diǎn).當(dāng)d0>0.5 時(shí), MTF 曲線平緩且連續(xù), 有較好的中頻特性, 是分形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的反映.雖然分形結(jié)構(gòu)填充因子的改變會(huì)導(dǎo)致MTF 曲線發(fā)生變化, 但在 0.5

實(shí)際截止頻率ρR為MTF第一次出現(xiàn)零值時(shí)所對應(yīng)的空間頻率.在陣列設(shè)計(jì)時(shí), 應(yīng)盡可能地最大化ρR, 使其接近包圍圓所確定的截止頻率[4].

中頻特性 M TFmidfreq定義為子孔徑截止頻率和包圍圓孔徑截止頻率范圍內(nèi)MTF的平均值, 表征綜合孔徑系統(tǒng)在中高頻區(qū)域內(nèi)的響應(yīng)能力.高分辨成像系統(tǒng)要求具有很好的MTF中高頻特性.計(jì)算公式如下[11]:

由表1可見, 當(dāng)填充因子為0.0952時(shí)其實(shí)際截止頻率較低, MTF 起伏較大, 中頻特性較差.隨著填充因子的增大, 系統(tǒng)實(shí)際截止頻率增大, 且在一定數(shù)值范圍內(nèi)波動(dòng), 體現(xiàn)了分形陣列結(jié)構(gòu)的自相似特征.填充因子的降低并沒有明顯改變MTF曲線波動(dòng)和實(shí)際截止頻率, 在實(shí)際應(yīng)用中, 可以選取較小的填充因子來降低制造難度.

表1 分形陣列在不同填充因子下的特性指標(biāo)Table 1.Characteristics of fractal array with different fill factors.

圖4 分形結(jié)構(gòu)隨填充因子變化MTF曲線 (a)沿fx歸一化頻率方向; (b)沿fy歸一化頻率方向Fig.4.MTF curves of fractal array with different fill factor:(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

3.3 外層旋轉(zhuǎn)角對MTF的影響

當(dāng)θ1=0,θ2=0 時(shí), 第三層旋轉(zhuǎn)角θ3=θ稱為外層旋轉(zhuǎn).外層旋轉(zhuǎn)角度的變化會(huì)對MTF出現(xiàn)周期性影響, 變化周期為 π /3.取d0=1 的情況.圖5為分形孔徑陣列外環(huán)分別旋轉(zhuǎn) 0°, 15°, 30°和 45°時(shí), 旋轉(zhuǎn)前后 MTF 沿fx和fy方向的截面圖.稀疏孔徑系統(tǒng)的MTF隨空間頻率的增大在中低頻部分下降比較快, 在中高頻比較平坦, 但有適當(dāng)起伏;在fx和fy方向, 分形結(jié)構(gòu)MTF在截止頻率內(nèi)無零點(diǎn), 且比較平緩.外層旋轉(zhuǎn)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的MTF沿不同方向的分布產(chǎn)生變化.

圖6給出實(shí)際截止頻率隨外層旋轉(zhuǎn)角的變化曲線.此時(shí)子孔徑直徑d0=1 , 填充因子為22.46%.可以看出, 隨著外環(huán)旋轉(zhuǎn), 系統(tǒng)實(shí)際截止頻率雖有下降趨勢, 但總體沒有太大變化, 影響甚小.總之,外層旋轉(zhuǎn)對MTF和實(shí)際截止頻率的影響不是很大.

圖5 分形陣列隨外環(huán)旋轉(zhuǎn)角度變化 MTF 曲線 (a)沿fx歸一化頻率方向; (b)沿fy歸一化頻率方向Fig.5.MTF curves of fractal array with different outer layer rotational angles:(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

圖6 實(shí)際截止頻率隨外層旋轉(zhuǎn)角的變化曲線Fig.6.The curve of the practical frequency with outer layer rotational angles.

3.4 自相似結(jié)構(gòu)效應(yīng)

為了進(jìn)一步分析自相似結(jié)構(gòu)效應(yīng), 對N= 3,N= 9,N= 18 時(shí)的陣列進(jìn)行比較,N= 3,N=9時(shí)陣列結(jié)構(gòu)如圖7所示.采用填充因子F=0.2246的情況, 三種陣列的MTF曲線如圖8所示.在歸一化頻率fx方向,N= 3時(shí)分形陣列結(jié)構(gòu)在歸一化頻率為0.28處出現(xiàn)零值,N= 9時(shí)分形陣列結(jié)構(gòu)在0.31處出現(xiàn)一個(gè)低谷.在整個(gè)頻率范圍內(nèi)有較大波動(dòng), 隨頻率呈起伏式下降.N= 18 時(shí)結(jié)構(gòu)MTF曲線平緩且截止頻率高, 在MTF截止頻率范圍內(nèi)沒有零點(diǎn).在歸一化頻率fy方向,N= 3,N= 9時(shí)結(jié)構(gòu)的MTF曲線差別不大, 出現(xiàn)較多的頻率缺失.N= 18時(shí)結(jié)構(gòu)的MTF有些起伏但在中高頻趨于平穩(wěn), 在0.64處趨于零值.

由實(shí)際截止頻率定義和(11)式計(jì)算分析可得3 種陣列的特性指數(shù), 如表2 所示.N= 3,N=9時(shí)陣列結(jié)構(gòu)實(shí)際截止空間頻率很低.綜合分析三種陣列結(jié)構(gòu)的特性指數(shù), 在F不變的條件下, 隨著分形陣列結(jié)構(gòu)孔徑數(shù)的增加, 實(shí)際截止頻率和中頻特性數(shù)值都顯著增加.在相同的填充因子情況下,增加子孔徑數(shù)可以改善中高頻平穩(wěn)性, 提高系統(tǒng)的實(shí)際截止頻率.

圖7 N= 3, N= 9 陣列結(jié)構(gòu)Fig.7.N= 3, N= 9 array configuration.

圖8 3 種陣列的 MTF 曲線 (F= 22.46%) (a)沿 fx歸一化頻率方向; (b)沿 fy歸一化頻率方向Fig.8.MTF curves of three kinds of array configuration (F= 22.46%):(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

表2 3 種陣列的特性指數(shù)Table 2.Characteristics of three kinds of array configuration.

4 結(jié) 論

本文利用分形自相似性, 研究了一種以Golay-3結(jié)構(gòu)為單元的分形綜合孔徑陣列.給出子孔徑直徑d0與MTF曲線的關(guān)系, 計(jì)算了實(shí)際截止頻率和中頻特性.在 0.5