基于目標(biāo)場點(diǎn)法和流函數(shù)的磁共振有源勻場線圈設(shè)計(jì)方法*

黃清明 陳珊珊 張建青 楊洋 鄭剛

1) (上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院, 上海 200093)

2) (上海健康醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)影像學(xué)院, 上海 201318)

3) (上海市分子影像重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 201318)

4) (上海理工大學(xué)醫(yī)學(xué)影像工程研究所, 上海 200093)

磁場均勻性是磁共振系統(tǒng)的重要參數(shù), 提高磁場均勻性有助于磁共振時(shí)域信號(hào)的檢測和磁共振頻域信號(hào)分辨率的改善.基于有源勻場連續(xù)電流密度分布的思想, 采用目標(biāo)場點(diǎn)法和流函數(shù)結(jié)合的方法設(shè)計(jì)勻場線圈, 即由畢奧-薩伐爾定律確定磁場分布與電流密度的關(guān)系, 約束線圈半徑和設(shè)置約束點(diǎn)后, 根據(jù)目標(biāo)場分布逆向求解線圈平面的電流密度分布, 再用流函數(shù)將電流密度分布離散化處理, 得到勻場線圈的繞線位置分布.根據(jù)電磁仿真計(jì)算結(jié)果制作包含一階與二階勻場線圈應(yīng)用于磁共振分析儀, 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明該勻場線圈能有效地改善永磁體核磁共振系統(tǒng)磁場的均勻性.

1 引 言

核磁共振分析儀的永磁磁體由兩個(gè)平面磁極相對(duì)的偶極磁體組成, 其主要作用是產(chǎn)生穩(wěn)定、均勻的主磁場, 磁場均勻性的提高有助于磁共振時(shí)域信號(hào)的檢測和磁共振頻域信號(hào)分辨率的改善[1].而影響永磁磁體磁場均勻性的主要因素有磁體本身的非均勻性、周圍鐵磁性物質(zhì)的干擾、被檢測樣品的磁化率突變以及磁體溫度波動(dòng)等, 對(duì)磁共振系統(tǒng)的磁體進(jìn)行勻場可以改善其均勻性[2,3].永磁磁體的勻場包括無源勻場和有源勻場兩種方式, 其中有源勻場技術(shù)通常是在無源勻場的基礎(chǔ)上對(duì)磁場均勻性進(jìn)行優(yōu)化, 通過放置在磁極中各向通電線圈所產(chǎn)生的磁場來補(bǔ)償固有磁場的非均勻度, 即在磁體兩個(gè)平行極面上布置勻場線圈, 勻場電源給不同方向的勻場線圈施加一定大小的電流以產(chǎn)生合適的磁場, 從而對(duì)主磁場的非均勻性進(jìn)行精細(xì)修正.

磁場源除了磁場強(qiáng)度要求外, 在一定空間范圍內(nèi)還應(yīng)滿足磁場均勻度要求, 通常將磁場均勻度很高的赫姆霍茲線圈作為標(biāo)準(zhǔn)磁場源.1985年, 南開大學(xué)丁守謙[4]發(fā)明了一種能產(chǎn)生均勻磁場的馬鞍形線圈, 比同半徑的赫姆霍茲線圈的均勻度高一個(gè)數(shù)量級(jí)以上.1986年, Turner[5]在設(shè)計(jì)磁共振成像設(shè)備的梯度線圈和屏蔽線圈時(shí)提出了目標(biāo)場法.2000年, Moon和Hatano[6]采用流函數(shù)的方法設(shè)計(jì)凸表面梯度線圈.2002年, Forbes 和 Crozier[7]用采用目標(biāo)場法設(shè)計(jì)了超導(dǎo)磁共振系統(tǒng)的圓柱狀勻場線圈.2004年, Harvey 等[8]研究了流函數(shù)方法對(duì)線圈表面電流的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)勻場.2005年, 李霞和謝德馨[9]采用流函數(shù)方法設(shè)計(jì)了自屏蔽的單平面梯度線圈.2010年, Liu 等[10]采用目標(biāo)場法設(shè)計(jì)了磁共振系統(tǒng)的雙平面型勻場線圈.本文采用磁場球諧函數(shù)展開級(jí)數(shù)對(duì)主磁場進(jìn)行數(shù)學(xué)分析, 選取磁場諧波分量的關(guān)鍵項(xiàng), 結(jié)合目標(biāo)場點(diǎn)法和流函數(shù)設(shè)計(jì)相應(yīng)階次的勻場線圈, 勻場線圈通電產(chǎn)生的磁場抵消主磁場相應(yīng)的非均勻性分量, 從而實(shí)現(xiàn)磁體系統(tǒng)的勻場修正[11].

2 有源勻場理論推導(dǎo)

有源勻場線圈設(shè)計(jì)的實(shí)質(zhì)是電磁場的計(jì)算問題, 電磁場的計(jì)算分為正問題和反問題兩類, 正問題即已知場源(電流密度等)求解磁場分布, 反問題即已知磁場分布, 求解場源[12].本文的設(shè)計(jì)方法屬于后者, 基于有源勻場連續(xù)電流密度分布的思想, 采用目標(biāo)場點(diǎn)法和流函數(shù)結(jié)合的方法, 在柱坐標(biāo)系下, 由畢奧-薩伐爾定律確定磁場分布與電流密度的關(guān)系, 約束線圈半徑和設(shè)置約束點(diǎn)后, 采用目標(biāo)場分布逆向求解線圈平面的電流密度分布, 再用流函數(shù)將密度分布離散化處理, 得到線圈繞線位置分布, 利用數(shù)值計(jì)算工具編譯勻場線圈設(shè)計(jì)的算法, 從而實(shí)現(xiàn)高階有源勻場線圈的設(shè)計(jì).

2.1 基于目標(biāo)場點(diǎn)法的磁場分析

磁共振系統(tǒng)的磁體空間是沒有電荷分布的球形工作區(qū)域 (diameter of spherical volume, DSV),根據(jù)麥克斯韋方程組可知, 在無電流的情況下, 永磁磁體產(chǎn)生的無源靜磁場是一個(gè)無旋場, 磁場的分布符合多重級(jí)數(shù)解析表達(dá)式, 與坐標(biāo)無關(guān)的級(jí)數(shù)項(xiàng)是磁場的均勻分量, 與坐標(biāo)成線性關(guān)系的級(jí)數(shù)項(xiàng)是一階非均勻分量, 依此類推[13].

核磁共振分析儀的主磁場B0的方向定義為z軸方向, 射頻磁場垂直于z軸方向施加, 設(shè)磁場中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 在球坐標(biāo)系(r,θ,?)計(jì)算得到磁場某一點(diǎn)沿z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

式中μ0為真空磁導(dǎo)率,為連帶勒讓德函數(shù),為與r,θ,?有關(guān)的常系數(shù), 其中α,β分別為Bz的階次和次序.(1)式說明磁場由諧波分量構(gòu)成, 在直角坐標(biāo)系(x,y,z)下表達(dá)式為[14?16]

若設(shè)計(jì)有源勻場線圈使之產(chǎn)生的磁場分別按(2)式中各項(xiàng)形式分布(第一項(xiàng)除外), 且與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的磁場大小相等、方向相反, 磁場疊加后相互抵消相應(yīng)的非均勻性分量, 實(shí)現(xiàn)磁共振系統(tǒng)磁場的均勻性調(diào)節(jié).例如:設(shè)置三個(gè)線性勻場線圈X,Y,Z, 消除 (2) 式中的三項(xiàng), 磁場就可達(dá)到線性均勻.通常磁共振成像儀的梯度線圈產(chǎn)生的磁場是X,Y,Z的一階函數(shù), 常用作一階有源勻場線圈,即梯度勻場.再增加能夠消除等平方分量項(xiàng)的勻場線圈, 磁場就能達(dá)到平方均勻, 依此類推.

2.2 有源勻場電流密度函數(shù)分析

有源勻場后的磁場均勻度取決于所補(bǔ)償?shù)捻?xiàng)數(shù), 即勻場線圈的數(shù)目.勻場線圈的磁場特征是按空間分布, 實(shí)際勻場要調(diào)整各方向勻場線圈的電流來實(shí)現(xiàn)勻場線圈磁場大小的調(diào)節(jié).根據(jù)(1)式可知,電流分布的影響因素由系數(shù)決定.假設(shè)線圈的半徑為線圈的最大半徑,極坐標(biāo)系 (ρ,φ) 下線圈平面的電流函數(shù)的形式為S±(ρ,φ)滿足連續(xù)流體方程, 則流函數(shù)為

表1 Bz 在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的分量表示Table 1.Component representation of Bz in Cartesian and spherical coordinates.

式中Uq為電流密度系數(shù),q表示電流密度展開的項(xiàng)數(shù) (1qQ, 為整數(shù)),Sq(ρ) 為流函數(shù)展開項(xiàng).此處l,k分別代表線圈的階次和次序.依據(jù)表1,Bz分量在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的分量表示中, 當(dāng)k=0時(shí), 電流密度將激發(fā)一個(gè)縱向(z方向)梯度場或均勻磁場; 當(dāng)k=1 時(shí), 線圈將激發(fā)在x或者y方向的橫向線性梯度場; 當(dāng)k?2 時(shí), 即為高階勻場線圈的情況; 對(duì) 于z,z2線 圈 來 說k=0 ; 對(duì) 于x,y,xz,yz線圈來說k=1 ; 對(duì)于xy線圈k=2.“±”代表線圈的上、下平面, 對(duì)于z、xz、yz、z3、z5線圈,上、下平面電流方向相反, 電流密度互為相反數(shù);對(duì)于x,y,xyz2,x2+y2,x2?y2,z4線圈, 上、下平面電流方向相同, 電流密度也相同[18,19].

圖1 目標(biāo)場及流函數(shù)結(jié)合的有源勻場線圈設(shè)計(jì)算法流程Fig.1.Design algorithm flow of active shimming coil based on target field and flow function.

單一勻場線圈僅產(chǎn)生特定類型(正弦或者余弦) 的諧波場,l和k的值作為目標(biāo)給出.(i) 為任意非零值, 與對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣U成正比.當(dāng)D為常數(shù)時(shí), 求解對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣U,U增大僅改變幅度,而不影響其分布.將求解的矩陣U代入(3)式獲得流函數(shù)S(ρ,φ) , 對(duì)連續(xù)的流函數(shù)進(jìn)行離散處理, 得到的電流路徑即為線圈的布線軌跡.設(shè)流函數(shù)S的最大值Imax和最小值Imin, 在圓形平面的線圈匝數(shù)為N, 則每匝導(dǎo)線上的電流為

(6)式中線圈匝數(shù)N可調(diào), 從而實(shí)現(xiàn)每匝線圈電流I0的可調(diào), 根據(jù)N和I0的不同, 得到流函數(shù)的一組等值線:

電流密度函數(shù)的等值線圖中等值線的位置, 即線圈繞線位置分布[20,21].

圖2 各階次線圈的流函數(shù)和繞線分布 (a) X, Y 線圈的流函數(shù)和繞線分布; (b) Z 線圈的流函數(shù)和繞線分布; (c) XY 線圈的流函數(shù)和繞線分布; (d) XZ, YZ 線圈的流函數(shù)和繞線分布; (e) Z2 線圈的流函數(shù)和繞線分布Fig.2.Flow function distribution and coil winding of each order coils:(a) Flow function distribution and coil winding of X and Y coil; (b) flow function distribution and coil winding of Z coil; (c) flow function distribution and coil winding of XY coil; (d) flow function distribution and coil winding of XZ and YZ coil; (e) flow function distribution and coil winding of Z2 coil.

3 有源勻場線圈仿真設(shè)計(jì)

3.1 有源勻場線圈設(shè)計(jì)算法

如圖1所示, 目標(biāo)場及流函數(shù)結(jié)合的有源勻場線圈設(shè)計(jì)算法流程.根據(jù)畢奧-薩伐爾定理, 采用目標(biāo)場法和流函數(shù)結(jié)合的方式求解出線圈的繞線分布, 已知V,D的情況下, 關(guān)鍵在于如何通過方程求解出系數(shù)矩陣U, 方程求解的精度決定勻場線圈設(shè)計(jì)的成敗[22].

在MATLAB平臺(tái)下編譯了相應(yīng)的算法, 算法設(shè)計(jì)步驟如下:1)確定待設(shè)計(jì)的勻場線圈的階次和序次, 確定目標(biāo)場的階次和序次; 2)根據(jù)核磁共振分析儀磁體尺寸給定雙平面型有源勻場線圈圓盤尺寸、線圈位置約束、球形工作區(qū)域以及目標(biāo)場點(diǎn); 3)在柱坐標(biāo)下給出有源勻場線圈電流密度、磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式; 4)求解不適定反問題方程得出電流密度表達(dá)式系數(shù); 5)改變目標(biāo)場點(diǎn), 增加展開式級(jí)數(shù), 轉(zhuǎn) Step5 繼續(xù)計(jì)算; 6)根據(jù)計(jì)算出的電流密度表達(dá)式系數(shù), 得到勻場線圈的電流密度表達(dá)式; 7)采用流函數(shù)技術(shù)進(jìn)行離散化處理, 輸入設(shè)定的繞線匝數(shù); 8)終止計(jì)算, 輸出繞線形狀[23].

3.2 有源勻場線圈設(shè)計(jì)結(jié)果

圖3 采用有源勻場線圈勻場前后磁共振檢測的FID信號(hào)和頻譜的FWHM (a)有源勻場線圈應(yīng)用于磁共振系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái);(b)勻場前FID信號(hào); (c)勻場前頻譜的FWHM; (d)二階勻場線圈勻場后的FID信號(hào); (e)二階勻場線圈勻場后頻譜的FWHMFig.3.FID signal detected by magnetic resonance before and after shimming with active shimming coil:(a) Experimental platform of active shimming coil applied to magnetic resonance system; (b) FID signal before shimming; (c) FWHM of the pre-shimming spectrum; (d) FID signal after the second-order shimming coil shimming; (e) FWHM of after the second-order shimming coil shimming.

表2 有源勻場線圈勻場效果評(píng)價(jià)技術(shù)指標(biāo)對(duì)比Table 2.Comparison of technical indicators for evaluating shimming effect of active shimming coil.

為驗(yàn)證目標(biāo)場及流函數(shù)結(jié)合的有源勻場線圈設(shè)計(jì)算法的有效性, 選取磁體的磁極間距為42 mm的核磁共振分析儀有源勻場線圈作為設(shè)計(jì)對(duì)象, 其工作區(qū)直徑為27.5 mm球形工作區(qū)域, 設(shè)計(jì)3組有源勻場一階線圈(X,Y,Z)以及4組二階線圈(XY,XZ,YZ,Z2), 通過有源勻場線圈產(chǎn)生的磁場對(duì)主磁場進(jìn)行補(bǔ)償.通過MATLAB實(shí)現(xiàn)有源勻場線圈設(shè)計(jì)仿真, 運(yùn)行程序后輸出7組勻場線圈的繞線分布, 如圖2, 各階次線圈的流函數(shù)和繞線分布[24].

4 實(shí)驗(yàn)討論

根據(jù)磁共振分析儀主磁場均勻性的調(diào)節(jié)原理,主磁場越均勻, 磁共振的自由感應(yīng)衰減信號(hào)(free induction decay, FID)的拖尾越長, 信號(hào)的積分面積越大, 信號(hào)的頻譜越窄, 即信號(hào)頻譜的半高寬(full width half maximum, FWHM)越小, 信號(hào)的分辨率越高.如圖3所示, 采用有源勻場線圈勻場前后磁共振檢測的FID信號(hào)和頻譜的FWHM, 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)如下:采用長的橫向弛豫時(shí)間(transverse relaxation time, T2)檢測蒸餾水樣品, 設(shè)置射頻中心頻率設(shè)置為17.02 MHz, 將通過算法仿真設(shè)計(jì)制作出的有源勻場線圈實(shí)物安裝在核磁共振分析儀磁體兩極上, 選擇硬脈進(jìn)行磁共振分析儀的FID信號(hào)采集.

有源勻場線圈勻場前后的FID信號(hào)積分面積、頻譜半高寬、磁場均勻性等技術(shù)指標(biāo)如表2所列, 有源勻場線圈勻場效果技術(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比, 分析可知, 有源勻場線圈勻場后FID信號(hào)的積分面積顯著增大, 頻譜的半高寬明顯減小, 說明磁場均勻性得到了很大改善[25,26].

5 結(jié) 論

本文根據(jù)有源勻場線圈目標(biāo)場點(diǎn)法和流函數(shù)結(jié)合的設(shè)計(jì)理論, 詳細(xì)推導(dǎo)了磁場的球諧函數(shù)展開級(jí)數(shù), 對(duì)磁共振系統(tǒng)的磁體產(chǎn)生的主磁場進(jìn)行數(shù)學(xué)分析, 確定選取一階、二階及關(guān)鍵高階次項(xiàng)進(jìn)行有源勻場線圈的設(shè)計(jì), 利用勻場線圈產(chǎn)生的磁場來補(bǔ)償主磁場中的非均勻性磁場分量.系統(tǒng)闡述了有源勻場線圈設(shè)計(jì)算法, 并利用數(shù)值計(jì)算工具編譯實(shí)現(xiàn)了軟件算法, 通過輸入目標(biāo)參數(shù), 自動(dòng)輸出有源勻場線圈的繞線的形狀數(shù)據(jù), 根據(jù)各階次線圈的流函數(shù)分布及線圈的繞線生產(chǎn)制作了勻場線圈, 應(yīng)用于核磁共振分析儀的磁體系統(tǒng), 根據(jù)硬脈沖FID信號(hào)采集實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 有源勻場線圈勻場后的FID信號(hào)積分面積顯著增大, 頻譜的半高寬明顯減小, 說明基于目標(biāo)場及流函數(shù)結(jié)合設(shè)計(jì)制作的有源勻場線圈能夠有效補(bǔ)償主磁場中的不均勻磁場, 使磁共振系統(tǒng)的磁場均勻性得到了很大改善, 能夠達(dá)到勻場的目的.