從以形助數(shù)淺談小學(xué)高年級(jí)數(shù)感的培養(yǎng)

林文芳

一、以形助數(shù)，讓數(shù)的本質(zhì)意義深入人心

分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位對(duì)于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生來說還是比較抽象的概念。用分?jǐn)?shù)來解決問題也是小學(xué)階段學(xué)生易錯(cuò)和較難理解的知識(shí)點(diǎn)之一，雖然三年級(jí)初步了解了分?jǐn)?shù)的形式，要從本質(zhì)上理解分?jǐn)?shù)借助圖形是最明智的選擇。教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)孩子們?nèi)菀桌斫饽猩桥?，卻較難理解女生是男生的 。學(xué)生對(duì)于理解分?jǐn)?shù)的意義常常會(huì)誤解為將一個(gè)整體平均分成若干份，取其中的幾份我們就將它稱為分?jǐn)?shù)，而教材上原文是像這樣的幾份，而非取其中的份數(shù)。通過畫圖來表示假分?jǐn)?shù)的意義，讓學(xué)生從做數(shù)學(xué)中對(duì)圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)化，從而理解分?jǐn)?shù)的基本內(nèi)涵。

【案例1】真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)

1.數(shù)源于數(shù)，計(jì)數(shù)單位的累加引入假分?jǐn)?shù)

（1）問題：你能計(jì)算3/4+1/4= 嗎？你能具體說說你是怎么計(jì)算的嗎？4/4+1/4= 呢？可以表示什么？5/4是分?jǐn)?shù)嗎？

（2）生獨(dú)立探究：畫圖表示的真分?jǐn)?shù)假分?jǐn)?shù)的含義。

2.表述假分?jǐn)?shù)意義

出示圖1，其中一個(gè)蘋果畫成虛線表示。學(xué)生理解：這堆蘋果表示 ，要表示 ，還差 ，這個(gè)蘋果表示 ，但是他這樣畫會(huì)讓人產(chǎn)生誤會(huì)，我們還要把剩余的一個(gè)整體畫出來，再平均分，取出 來。

出示圖2，學(xué)生分析：明確了兩個(gè)整體。：上面的是8/8，下面的是2/8。將上面的八個(gè)蘋果平均分成8分，上面有8個(gè) ，下面有2個(gè) 。

學(xué)生對(duì)這個(gè)假分?jǐn)?shù)的表示提出異議：還是會(huì)產(chǎn)生誤會(huì)啊，為什么不是10/16呢？

學(xué)生提出方案：在上下之間畫虛線分開。要兩個(gè)單位“1”都圈起來。

提問：為什么會(huì)誤會(huì)是 呢？

學(xué)生分析：分?jǐn)?shù)單位選錯(cuò)了， 是將上下蘋果看成單位“1”

出示圖3，在左邊這個(gè)正方形下面寫上了4/4+3/4=。學(xué)生補(bǔ)充：我覺得他畫的時(shí)候不要把線連起來畫陰影，應(yīng)該一個(gè)一個(gè)分?jǐn)?shù)單位畫，表示是取7份。從畫圖過程中學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)單位的累加得到分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)思維。

二、以形助數(shù)，讓數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系柳暗花明

學(xué)會(huì)觀察又是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提條件。通過觀察，學(xué)生從數(shù)實(shí)物開始認(rèn)識(shí)數(shù)，由具體到抽象，初步建立數(shù)感?？梢杂脭?shù)來先刻畫形，再借助圖形的直觀從而降低數(shù)的抽象，把復(fù)雜演繹、不完全歸納的問題變得簡單、清晰。

【案例2】1.由形引數(shù)、從數(shù)想形

出示圖4，白板上出示1個(gè)小正方形、再出示1+3個(gè)、1+3+5個(gè)。用數(shù)來表示形，1可以表示正方形的個(gè)數(shù)，也可以表示邊長為1個(gè)單位的正方形的面積。

學(xué)生讓學(xué)生用算式表示圖形，并歸納這一類算式的規(guī)律。

問題：根據(jù)算式的結(jié)果你想到什么形？方便我們計(jì)算呢？為什么？

學(xué)生白板演示并解說理由。1+3=4，1+3+5=9.4，9是一個(gè)平方數(shù)，可以想到正方形，4是邊長為2的正方形，9是邊長為3的正方形。

2.展開想象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題：通過觀察你又發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和就是幾的平方。

問題：你能用n來歸納下嗎？

學(xué)生白板演示圖6，發(fā)現(xiàn)可以通過圖形來驗(yàn)證有奇數(shù)的個(gè)數(shù)和最后一個(gè)奇數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，最后一個(gè)L形正方形個(gè)數(shù)就是最后一個(gè)奇數(shù)，把最后一個(gè)倒L形加上一個(gè)正方形就是拼成大正方形的邊長2倍。1+3+5+……+2n-1=n?。

， 圖6

三、以形助數(shù)，讓數(shù)的“謬論”無處遁形

在實(shí)踐中做數(shù)學(xué)，讓學(xué)生主動(dòng)利用圖形分析，從而解決問題。筆者在教學(xué)圓錐體積公式的推導(dǎo)時(shí)，在演示完等底等高圓柱的倒水實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生反應(yīng)必然是意猶未盡，總想追根究底。筆者上課之前已備足功課，本想以微積分的托詞來告知學(xué)生是后續(xù)要學(xué)習(xí)的知識(shí)，小學(xué)階段不研究探討。誰知，課堂的變數(shù)隨時(shí)需要教學(xué)機(jī)智來湊。課上班上學(xué)生李響當(dāng)即提出：圓錐體可以看成是一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，為什么不可以這樣來推圓錐的體積公式如圖7，也就是用三角形的面積乘以它旋轉(zhuǎn)的路徑即圓的周長，這樣不是推導(dǎo)證明了圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的一半嗎？為什么不對(duì)？錯(cuò)在哪里？

一個(gè)是二分之一的圓柱一個(gè)是三分之一的圓柱，一個(gè)是通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，眼見為實(shí)的，另一個(gè)是通過推理證明的.誰是誰非，如何定奪？這個(gè)問題激起學(xué)生共鳴后，筆者先是利用這個(gè)契機(jī)安排小組畫圖思考交流。筆者提示學(xué)生通過畫圖對(duì)比圓柱體積的推導(dǎo)。通過對(duì)比反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓柱體積可以用以高為軸的長方形旋轉(zhuǎn)推理出與書上公式相同的圓柱體積，長方形和三角形在旋轉(zhuǎn)過程中最大的不同點(diǎn)在于把直角三角形的面積，分成無數(shù)份橫線，都平行于三角形的底即r.那么每條橫線旋轉(zhuǎn)可以得到的是半徑不同的圓，而圓柱的長方形對(duì)應(yīng)長相等得到的是半徑相同的圓，之后用積分運(yùn)算可以求體積.圓錐則都以底面圓轉(zhuǎn)的軌跡作為積分的取值就不對(duì)了。學(xué)生通過畫圖一下就明白了其中的差異在哪，如圖8，學(xué)生通過分析直角三角形上點(diǎn)走的軌跡的差異性來理解。a點(diǎn)走過得是最大的圓，b和c都與之不同。

也有學(xué)生理解后畫出圖9來說明比二分之一少。課后筆者也鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生可以利用電腦autherware編程來證明。當(dāng)高年級(jí)的課堂出現(xiàn)刨根問底時(shí)，不忽略不應(yīng)付而是激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，筆者認(rèn)為有時(shí)多講多討論也不失為一種有為之舉。

總之，教學(xué)中可以通過畫圖體會(huì)思維反芻之路，從而使學(xué)生能敏銳捕捉數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，甚至邏輯推理，以形助數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行合情的推理。