整體設(shè)計(jì)：為不教而教

潘海波

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)研究室的章建躍博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)整體觀就是“從整體出發(fā)，逐漸分化”，他指出，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生“從宏觀到微觀，逐步尋找知識(shí)發(fā)展所需要的邏輯基礎(chǔ)，然后按知識(shí)的邏輯順序逐步展開學(xué)習(xí)?！笔艽藛l(fā)，筆者結(jié)合最近執(zhí)教的“銳角三角函數(shù)”（第1課時(shí)），從數(shù)學(xué)整體觀上反思這節(jié)課，以期提升自我。

一、“銳角三角函數(shù)（1）”教學(xué)課例

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)流程

1、情境引入

展示直角三角形，提出問題：你已經(jīng)懂得了直角三角形的那些性質(zhì)？你是從哪些角度來歸納的？

預(yù)設(shè)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，并為知識(shí)的整體建構(gòu)做準(zhǔn)備。

2、新知探究

（1）明確研究對(duì)象與任務(wù)，整體感知邊角關(guān)系研究的各種情況：

對(duì)邊/鄰邊，鄰邊/對(duì)邊，對(duì)邊/斜邊，斜邊/對(duì)邊，鄰邊/斜邊，斜邊/鄰邊。

（2）選擇一種情況重點(diǎn)研究（對(duì)邊/鄰邊），由特殊引發(fā)猜想，并進(jìn)行證明。

（3）抽象命名，揭示課題。

預(yù)設(shè)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過整體感知直角三角形邊角關(guān)系研究的各種情況，明確研究問題的方向和方法;通過“由特殊引發(fā)猜想，并進(jìn)行證明”的過程經(jīng)歷，進(jìn)步一步深化學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的一般思路和策略。

3、成果擴(kuò)大

（1）給出正切的定義與符號(hào)表示。

（2）舉例、驗(yàn)證、歸納正切的有關(guān)性質(zhì)。

預(yù)設(shè)意圖：引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確表述正切的定義，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)的能力;探究性質(zhì)時(shí)，在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，讓學(xué)生的概念學(xué)習(xí)因過程經(jīng)歷而體驗(yàn)豐富。

4、小結(jié)延伸

（1）小結(jié)學(xué)習(xí)正切的方法;

（2）把“鄰邊/對(duì)邊”稱為余切，自己學(xué)習(xí)余切，小組交流，全班匯報(bào)。

預(yù)設(shè)意圖：基于這種“生長式”小結(jié)，進(jìn)一步梳理正切的學(xué)習(xí)方法，并發(fā)展學(xué)生遷移、類比的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生課后自己學(xué)習(xí)其它銳角三角函數(shù)。

（二）教學(xué)片斷展示

片段1：開課階段

教師：這節(jié)課我們來研究直角三角形的邊角關(guān)系。想研究邊角關(guān)系，首先要確定一個(gè)角，再研究其它兩邊的關(guān)系。前面研究過任意兩邊的和、差關(guān)系，接下來該研究什么關(guān)系呢？

學(xué)生1：積、商關(guān)系。

教師（追問）：你已經(jīng)知道那兩條邊的乘積關(guān)系了？

學(xué)生1：直角三角形的面積等于兩條直角邊乘積的一半！

教師：很好！這就是直角三角形的邊的積（重音表達(dá)）的關(guān)系！

教師：我們有沒有學(xué)過邊的商的關(guān)系？

眾生：沒有。

教師：兩邊之商就是兩條邊相除，也叫兩邊之比。你們認(rèn)為存在哪幾種兩邊之比的關(guān)系？

學(xué)生2：……

（學(xué)生2站在位置上，卻又表達(dá)不方便，教師察覺）

教師：你上去演示一下。

學(xué)生2：這條邊比這條邊，這條邊比這條邊，……（顯得表達(dá)較為啰嗦）

教師：為了方便表達(dá)，我們確定∠A，BC叫做∠A的對(duì)邊，AC叫做∠A的鄰邊，AB則稱斜邊。（同時(shí)在圖中標(biāo)出）。請(qǐng)你再說一遍！

學(xué)生2：對(duì)邊/鄰邊，對(duì)邊/斜邊，鄰邊/斜邊。

教師：（板書）其他同學(xué)有沒有補(bǔ)充？

學(xué)生3：老師還有，鄰邊/對(duì)邊，斜邊/對(duì)邊，斜邊/鄰邊。

教師：正確?。ɡ^續(xù)板書）

教師：我們研究這些比，是否要6種比逐個(gè)研究？

能否減少點(diǎn)？最少要研究幾種比？

學(xué)生4：最少研究3種！

教師（追問）：為什么？

學(xué)生4：它們中有些互為倒數(shù)！

……

片段2：課堂小結(jié)

教師：今天我們學(xué)習(xí)了正切，我們從哪幾個(gè)方面來展開學(xué)習(xí)的？

學(xué)生1：（讀板書）定義、表示、求法、性質(zhì)。

教師：余下5種比中，哪種最容易了？

眾生：鄰邊/對(duì)邊。

教師：如果我們把這組比稱為余切，現(xiàn)在請(qǐng)大家小組學(xué)習(xí)余切的知識(shí)，待會(huì)進(jìn)行全班交流！

（學(xué)生分組學(xué)習(xí)，氣氛熱烈。）

教師（巡視后）：學(xué)習(xí)中要不要老師幫忙？

眾生：余切怎么表示？

教師（板書cot）：讀作……

（學(xué)生繼續(xù)分組學(xué)習(xí)，氣氛更加熱烈。）

大約5分鐘后，全班交流。

教師：現(xiàn)在各小組交流學(xué)習(xí)成果。

小組1：我們很快得出了定義……、表示……、求法……，性質(zhì)①cotA·cotB=1，②cot隨著的增大而減小。

教師：你們小組學(xué)習(xí)很認(rèn)真！非常好！其他組有沒有補(bǔ)充？

小組2：性質(zhì)加一條：tanA·cotA=1.

教師：正確?。ㄗ穯枺┰趺醋C明？

小組2：……

教師：課后請(qǐng)大家繼續(xù)研究剩下4種比中的2種，“對(duì)邊/斜邊，鄰邊/斜邊”下節(jié)課我們交流！

二、從整體觀看數(shù)學(xué)課堂

葉瀾教授領(lǐng)銜的“新基礎(chǔ)教育”認(rèn)為：“教學(xué)活動(dòng)的組織與開展要關(guān)注整體策劃與綜合設(shè)計(jì)?！北菊n例正是“新基礎(chǔ)教育”的概念課型，下面圍繞數(shù)學(xué)整體觀給出相關(guān)解讀和思考。

1、基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，巧妙構(gòu)建知識(shí)框架

本課教學(xué)內(nèi)容，教材上是從樓梯的陡峭程度切入的，當(dāng)前絕大部分教師的公開課上，也都喜歡使用或借鑒這樣的生活情境作為課堂導(dǎo)入。在備課時(shí)，筆者也做了思考，是否真的需要生活情境？其意義又何在？我認(rèn)為，情境可以是實(shí)際生活情境，也可以是學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)情境（簡稱“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”），在本節(jié)課中，通過對(duì)直角三角形已有性質(zhì)的回顧，巧妙地構(gòu)建了直角三角形的知識(shí)框架，即研究直角三角形，不僅要研究邊的關(guān)系和角的關(guān)系，還要研究它的邊角關(guān)系，是學(xué)生瞬間就清晰了知識(shí)脈絡(luò)和研究內(nèi)容，這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)情境為何不用呢！

2、實(shí)現(xiàn)整體感知，先見森林后見樹木

銳角三角函數(shù)是這個(gè)角的正切、正弦、余弦的總稱。教材對(duì)這一內(nèi)容的安排是，第一課時(shí)教學(xué)正切的概念，第二課時(shí)教學(xué)正弦、余弦的概念。這樣編排的教學(xué)容易出現(xiàn)“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)割裂。因此我在教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生明確在一個(gè)銳角大小確定的前提下，研究直角三角形任何兩邊的長度的比值，整體感知各種情況，進(jìn)而選擇其中一種情況進(jìn)行重點(diǎn)研究，就好比是帶領(lǐng)學(xué)生郊游，先看到大片的森林，再走進(jìn)森林，去觸摸一棵棵的樹木。這樣處理的目的在于使學(xué)生在整體認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行主動(dòng)的和進(jìn)入有意義的學(xué)習(xí)過程。

3、注重前后關(guān)聯(lián)，先教結(jié)構(gòu)后用結(jié)構(gòu)

關(guān)于怎樣上好一堂課，著名特級(jí)教師于漪老師曾提出要善于“聯(lián)系、擴(kuò)展，增添感情濃度，形成余音繚繞”。本課案例主要教學(xué)了“正切”的內(nèi)容，但教師在課堂小結(jié)時(shí)，巧妙地利用了“知識(shí)之間是相互聯(lián)系的”這一特點(diǎn)，給出“小組學(xué)習(xí)余切”的任務(wù)，這不僅是對(duì)“正切”知識(shí)的回顧，更是對(duì)“銳角三角函數(shù)”學(xué)習(xí)方法的深化。然而課堂并沒有就此罷休，教師在全班交流“余切”知識(shí)后，進(jìn)一步提出課后自主研究其它兩組三角函數(shù)，這種極具 “生長力”的課堂小結(jié)，就有一種“余音繚繞”之感。當(dāng)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)其它三角函數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)今天的“正切”知識(shí)結(jié)構(gòu)可以遷移使用至其它各種三角函數(shù)。