基于最小動態(tài)傳動誤差波動量的斜齒行星輪系齒輪修形研究

張 俊, 陳 濤, 汪 建

(福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350112)

動態(tài)傳動誤差直接影響齒輪裝置的振動特性。動態(tài)傳動誤差的波動越大，齒輪振動越劇烈。因此，可通過減小動態(tài)傳動誤差的波動量來抑制齒輪系統(tǒng)的振動與噪聲[1]。減小動態(tài)傳動誤差及其波動量通常有兩類方法[2]：①提高齒輪制造和安裝精度；②對齒輪進行合理修形。基于制造成本的考量，工程中一般采用齒輪修形來實現(xiàn)減振降噪的目標(biāo)。

齒輪的傳動誤差可通過求解傳動系統(tǒng)的運動微分方程獲得。Chen等[3]建立了計入時變嚙合剛度與齒輪誤差的直齒輪傳動耦合非線性動力學(xué)模型，計算了該類傳動的承載接觸特性和動態(tài)傳動誤差。Mamla等[4]建立了斜齒輪傳動的彎—扭—軸—擺耦合動力學(xué)模型，通過求解系統(tǒng)的微分方程獲得了斜齒輪傳動的動態(tài)傳動誤差。陳會濤等[5]采用集中參數(shù)法建立了直齒行星傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，并將傳動誤差分解為確定性分量和隨機分量兩部分，研究了傳動誤差的隨機分量對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。Zhang等[6]采用集中參數(shù)法構(gòu)建了考慮誤差激勵和剛度激勵的斜齒行星輪系非線性動力學(xué)模型，通過龍格-庫塔法求解行星輪系的運動微分方程，得到了行星輪系各齒輪副的動態(tài)傳動誤差。

基于Chen等建立的解析模型，馬輝等[7]通過對比三種不同的齒頂修形曲線在不同修形量下的有載荷傳動誤差，獲得了對應(yīng)不同修形量的最佳修形曲線。陳思雨等[8]基于有限元模型得到不同齒廓修形時齒輪的嚙合剛度及靜態(tài)傳動誤差，并研究了不同齒廓修形策略對齒輪動態(tài)行為的影響。蔣進科等[9]以承載傳動誤差最小為目標(biāo)，采用遺傳算法對修形參數(shù)進行優(yōu)化，獲得了斜齒輪副的最佳修形齒面。Bahk等[10]采用攝動法研究了齒廓修形對直齒行星輪系振動特性的影響，并以動態(tài)傳動誤差波動量最小為目標(biāo)函數(shù)確定了齒廓修形量。

文獻調(diào)研表明，盡管可通過建立不同精細(xì)程度的動力學(xué)模型來求解齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)傳動誤差，但現(xiàn)有研究模型大多未計入齒面微觀修形對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，因而基于這些模型獲得的動態(tài)傳動誤差的準(zhǔn)確性有待商榷。另一方面，針對齒輪修形參數(shù)對傳動系統(tǒng)振動特性影響的研究，大多圍繞單對齒輪副展開研究，涉及行星輪系齒輪修形的研究很少，而專門針對斜齒行星傳動齒輪修形的研究尚未見到。不僅如此，現(xiàn)有研究一般僅考慮單一的齒向修形或齒廓修形對齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的定性影響規(guī)律，鮮有同時考慮齒向/齒廓修形參數(shù)與齒輪振動特性之間定量關(guān)系的研究，更未見同時考慮內(nèi)、外嚙合副修形參數(shù)的研究。

有鑒于此，本文將以斜齒行星輪系為研究對象，基于齒輪嚙合原理將輪齒的齒向和齒廓修形折算為齒輪副沿嚙合線方向的相對位移，再將其納入行星輪系運動微分方程，進而求解出計入微觀修形效應(yīng)的齒輪副動態(tài)傳動誤差。在此基礎(chǔ)上，針對齒輪修形量與嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系，運用響應(yīng)面法建立二者之間的映射函數(shù)，據(jù)此給出動態(tài)傳動誤差波動量最小情況下的修形參數(shù)的優(yōu)選組合，并對最終的修形效果予以評判。

1 動態(tài)傳動誤差的計算

不失一般性，以某風(fēng)電齒輪箱的低速級斜齒行星輪系為例展開研究。該輪系以行星架輸入、太陽輪輸出，輸入功率為750 kW，輸入轉(zhuǎn)速為22 r/min。其他主要設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 行星輪系設(shè)計參數(shù)

1.1 輪系動力學(xué)模型

為方便表述，分別以r、c、s和pn(n=1, 2, 3)表示輪系中的內(nèi)齒圈、行星架、太陽輪和行星輪。建立計入各構(gòu)件3個平移自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度的彈性動力學(xué)模型，如圖1所示[11]。

圖1中:xi、yi、zi和uix、uiy、uiz(i=s, c, r,n)分別為各構(gòu)件沿x、y、z方向的彈性變形和繞x、y、z軸的扭轉(zhuǎn)變形；kix、kiy和cix、ciy分別為各構(gòu)件沿x、y方向的支承剛度和支承阻尼；kju和cju(j=s, c, r)分別為各構(gòu)件繞其軸線的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；knr、ksn和cnr、csn分別為內(nèi)/外嚙合副的嚙合剛度和嚙合阻尼。

圖1 斜齒行星輪系彈性動力學(xué)模型

以平移振動位移xi、yi、zi和扭轉(zhuǎn)振動位移uix、uiy、uiz構(gòu)成各構(gòu)件的廣義坐標(biāo)qi，并定義qi=(xi,yi,zi,uix,uiy,uiz)T；定義行星輪系的廣義坐標(biāo)向量為q=(qc,qr,qs,q1,q2,q3)T?；谂ｎD第二定律，推導(dǎo)出行星輪系的運動微分方程如下

(1)

式中：M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；F為激勵。

對式(1)做無量綱處理，再利用4階變步長Runge-Kutta法可以求得未修形時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。篇幅所限，僅給出第1相功率流支路即太陽輪—行星輪1(s-p1)和行星輪1—內(nèi)齒圈(p1-r)的動態(tài)傳動誤差，其結(jié)果如圖2所示。為簡便計，后續(xù)表述略去行星輪下標(biāo)“1”。

(a) s-p動態(tài)傳動誤差時域圖

(b) p-r動態(tài)傳動誤差時域圖

(c) s-p和p-r動態(tài)傳動誤差頻域圖

由圖2可知，該斜齒行星輪系內(nèi)外嚙合副的動態(tài)傳動誤差在一個嚙合周期內(nèi)的波動較大；其中，s-p和p-r嚙合副動態(tài)傳動誤差的波動區(qū)間分別為[29.42, 64.98]和[14.96, 31.08]。進一步分析其頻域特性可知，動態(tài)傳動誤差的峰值出現(xiàn)在各齒輪副的固有頻率及其倍頻附近，內(nèi)、外嚙合齒輪副的動態(tài)傳動誤差波動量分別為8.79 μm和26.17 μm。對于高精度齒輪傳動，一般要求傳動誤差的波動量小于4 μm。因此，需要在原始設(shè)計參數(shù)基礎(chǔ)上對齒輪進行微觀修形處理。

為確定合理的齒輪修形策略，借助Romax軟件對斜齒行星輪系進行受載輪齒接觸分析，以獲取各嚙合齒面的載荷分布狀況，其結(jié)果如圖3所示。

(a) s-p齒面接觸載荷

(b) p-r齒面接觸載荷

由圖3可知，內(nèi)、外嚙合副在雙齒嚙合區(qū)其齒面接觸載荷較小，而在單齒嚙合區(qū)其齒面接觸載荷較大，且在節(jié)點附近齒面接觸載荷達到最大值。其中，s-p和p-r嚙合副的最大齒面接觸載荷分別為1 290.19 N/mm和994.23 N/mm。進一步觀察發(fā)現(xiàn)，內(nèi)、外嚙合副的齒面接觸載荷分布不均勻，存在明顯的軸向偏載和嚙入、嚙出沖擊，這也與圖2所示的內(nèi)、外嚙合副傳動誤差波動量較大的現(xiàn)象相符。

基于上述LTCA分析結(jié)果，擬定輪系的修形策略為：齒向采取鼓形修形方式，修形中心為齒寬中心；齒廓采用漸開線修形，從小齒輪單、雙齒嚙合處開始，分別修至齒頂。

1.2 計入微觀修形的齒面方程

由于齒頂、齒根修形的相似性，下文只介紹齒頂修形的情況。根據(jù)所采用的修形策略，建立計入微觀修形的齒面嚙合模型，其結(jié)果如圖4所示。

(a) 綜合修形示意圖

(b) 齒廓修形示意圖

(2)

(3)

arccos(rb/ra)

(4)

(5)

由漸開線形成原理，寫出未修形時的齒面方程

(6)

式中：uk為漸開線展角和壓力角之和；θ為齒面上任意一點在XOY平面內(nèi)繞軸線轉(zhuǎn)過的角度。

計入齒輪的齒廓修形和齒向修形后，齒面方程為[12]

(7)

于是，齒輪微觀修形引起的偏移量沿嚙合線方向的分量h為

(8)

式中：αk為漸開線壓力角。

1.3 計入齒面修形的動態(tài)傳動誤差計算

根據(jù)圖1中太陽輪—行星輪、行星輪—內(nèi)齒圈、行星輪—行星架之間的相對位置關(guān)系，引入線性坐標(biāo)變換即可獲得構(gòu)件之間的相對位移。其中，太陽輪—行星輪和行星輪—內(nèi)齒圈之間的相對位移為

δsn=xssinΨsncosβ-yscosΨsncosβ-zssinβ-

znsinβ-unzcosβ-usxsinΨnsinβ+

(9)

δrn=-xrsinΨrncosβ-yrcosΨrncosβ+zrsinβ-

znsinβ+unzcosβ+urxsinΨnsinβ-

(10)

計入齒輪修形效應(yīng)后，內(nèi)、外嚙合副沿嚙合線方向的相對位移為

(11)

式中：δrn，δsn分別為修形前內(nèi)、外嚙合副沿嚙合線方向的相對位移，可由式(9)、式(10)計算；hrn，hsn分別為內(nèi)、外嚙合副的修形函數(shù)沿嚙合線方向的分量，可由式(8)計算。

(12)

其他參數(shù)作類似處理，限于篇幅，不再贅述。

將無量綱參數(shù)和式(11)代入式(1)中，推導(dǎo)計入修形后的行星輪系無量綱運動微分方程為

(13)

(14)

式中：ε、ζ分別為質(zhì)量比例系數(shù)和剛度比例系數(shù)。

運用4階變步長Runge-Kutta法，求解式(13)即可求得計入齒輪修形效應(yīng)的系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差。

2 基于最小動態(tài)傳動誤差波動量的齒輪修形

采用響應(yīng)面法構(gòu)造齒輪修形量和嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量之間的關(guān)系，并據(jù)此確定動態(tài)傳動誤差波動量最小時的最佳修形量?？紤]到齒輪修形量與動態(tài)傳動誤差波動量之間復(fù)雜的非線性映射關(guān)系，構(gòu)造含交叉項的二次型響應(yīng)面函數(shù)

(15)

式中：y為目標(biāo)擬合函數(shù)；ρ為設(shè)計變量的個數(shù)；η0，ηλ，ηλγ(λ=1,…,ρ；γ=1,…,ρ)為待定系數(shù)；xλ，xγ為響應(yīng)面函數(shù)的設(shè)計變量，也即輪齒各修形量。

依據(jù)中心復(fù)合法的原則，需要做2ρ+2ρ+1次獨立實驗[14]。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)，如下式

η=(xTx)-1xTy

(16)

式中：x，y為中心復(fù)合樣本點及其對應(yīng)的響應(yīng)值。

依據(jù)文獻[15]可知設(shè)計變量的取值公式為

(17)

式中：qn為設(shè)計變量取值；f(q)為設(shè)計變量的概率密度函數(shù)；pn為水平點，取p1=0.01，p2=0.50，p3=0.99。

所得響應(yīng)面函數(shù)一般通過復(fù)相關(guān)系數(shù)來評估擬合程度，復(fù)相關(guān)系數(shù)的值越接近1說明回歸方程擬合程度越高，計算公式為

(18)

式中:SSR為響應(yīng)估計值與響應(yīng)均值差的平方和；SSY為響應(yīng)值與響應(yīng)均值差的平方和；SSE為響應(yīng)值與響應(yīng)估計值差的平方和。

2.1 僅對太陽輪修形時外嚙合副的嚙合特性

在選取樣本點前首先要確定設(shè)計變量的數(shù)字特征：假設(shè)各設(shè)計變量服從正態(tài)分布，均值由式(19)來確定，標(biāo)準(zhǔn)差可取為齒距累積偏差Fp的1/6，計算結(jié)果如表2所示。

(19)

式中：cγ為齒輪綜合嚙合剛度；b為有效齒寬；Fm為圓周力；Fβy為嚙合齒向誤差；ωt為單位齒寬載荷。

表2 齒輪修形量

外嚙合齒輪副修形時ρ=2，所以需9次獨立實驗，結(jié)果如表3所示。

表3 外嚙合副擬合函數(shù)樣本參數(shù)

為直觀計，給出太陽輪修形時齒廓、齒向修形參數(shù)與外嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量之間的關(guān)系，其結(jié)果如圖5所示。

圖5 外嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量

由圖5可知，外嚙合齒輪副的動態(tài)傳動誤差波動量隨著修形量的增大先減小后增大。隨著齒向修形量的增加，齒向嚙合誤差得到了補償，齒面載荷更加均勻，動力學(xué)行為得到改善；當(dāng)齒向修形量過大時，齒向嚙合誤差會產(chǎn)生過補償現(xiàn)象，進而產(chǎn)生反向偏載。隨著齒廓修形量的增加，齒輪副的干涉現(xiàn)象得到改善，嚙入、嚙出沖擊減小，傳動更平穩(wěn)，使得齒輪動態(tài)特性得到改善；但過量的齒廓修形會增大齒側(cè)間隙，在單雙齒交替過程中發(fā)生撞擊，進而惡化系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

利用式(15)、式(16)求得太陽輪修形量與外嚙合齒輪副動態(tài)傳動誤差波動量之間的響應(yīng)面函數(shù)為

y=209.633 2-0.999 7x1-3.490 5x2-0.000 1x1x2+

(20)

由式(18)得回歸方程(20)的復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.976 1，說明所求回歸函數(shù)對樣本點的擬合程度高。由式(20)計算可得太陽輪的最佳修形量為：x1=80.23 μm，x2=96.51 μm。在此參數(shù)下，s-p副的齒面接觸載荷及動態(tài)傳動誤差如圖6所示。

(a) s-p齒面接觸載荷

(b) s-p動態(tài)傳動誤差時域圖

(c) s-p動態(tài)傳動誤差頻域圖

圖6 太陽輪修形后外嚙合副齒面接觸載荷及動態(tài)傳動誤差

Fig.6 Contact load and DTE of external gear pair with sun modification

由圖6(a)可知，僅太陽輪修形時，s-p嚙合副的最大齒面接觸載荷為921.61 N/mm，較圖3(a)明顯減小，并且明顯改善了軸向偏載和嚙入、嚙出沖擊。由圖6的時域波形圖知，s-p嚙合副動態(tài)傳動誤差的波動區(qū)間為[97.02, 97.46]，且在一個嚙合周期內(nèi)的動態(tài)傳動誤差波動較圖2(a)明顯減小。進一步分析其頻域特性可知，動態(tài)傳動誤差的峰值出現(xiàn)在各齒輪副的固有頻率及其倍頻附近；s-p齒輪副的動態(tài)傳動誤差波動量為 0.13 μm。

2.2 僅對行星輪修形時內(nèi)嚙合副的嚙合特性

采用相同方法，可給出行星輪修形時齒廓、齒向修形參數(shù)與內(nèi)嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量之間的關(guān)系，其結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，內(nèi)嚙合齒輪副的動態(tài)傳動誤差波動量隨著修形量的增大先減小后增大。內(nèi)嚙合齒輪副修形影響規(guī)律與外嚙合齒輪副類似，隨著齒向修形量的增加，齒面載荷更加均勻，動力學(xué)行為得到改善；當(dāng)齒向修形量過大時，產(chǎn)生反向偏載。隨著齒廓修形量的增加，嚙入、嚙出沖擊減小，傳動更加平穩(wěn)；但過量的齒廓修形會增大齒側(cè)間隙，進而惡化系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

圖7 內(nèi)嚙合副動態(tài)傳動誤差波動量

同理，可以求出行星齒輪修形量與內(nèi)嚙合齒輪副動態(tài)傳動誤差波動量之間的響應(yīng)面函數(shù)為

(21)

由式(18)得回歸方程式(21)的復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.984 3，說明所求回歸函數(shù)對樣本點的擬合程度高。由式(21)計算可得行星輪的最佳修形量為：x3=70.12 μm，x4=50.87 μm。在此參數(shù)下，p-r副的齒面接觸載荷及動態(tài)傳動誤差,如圖8所示。

(a) p-r齒面接觸載荷

(b) p-r動態(tài)傳動誤差時域圖

(c) p-r動態(tài)傳動誤差頻域圖

由圖8(a)可知，僅行星輪修形時，p-r嚙合副的最大齒面接觸載荷為921.38 N/mm，較圖3(b)明顯減小，并且明顯改善了軸向偏載和嚙入、嚙出沖擊。由圖8的時域波形圖可知，僅行星輪修形時，p-r嚙合副動態(tài)傳動誤差的波動區(qū)間為[70.11, 70.48]，且在一個嚙合周期內(nèi)的動態(tài)傳動誤差波動較圖2(b)明顯減小。進一步分析其頻域特性可知，動態(tài)傳動誤差的峰值出現(xiàn)在各齒輪副的固有頻率及其倍頻附近；p-r嚙合副的動態(tài)傳動誤差波動量為0.25 μm。

2.3 內(nèi)、外嚙合同時修形

以內(nèi)、外嚙合齒輪副動態(tài)傳動誤差波動量之和最小為目標(biāo)，開展行星輪系的修形研究。以太陽輪、行星輪的齒廓、齒向修形量x1～x4為設(shè)計變量，構(gòu)造新的響應(yīng)面函數(shù)。其中，各設(shè)計變量的均值取為“2.1”節(jié)、“2.2”節(jié)對s-p、p-r副獨立修形時的最佳修形量，標(biāo)準(zhǔn)差仍取齒距累積偏差的1/6。根據(jù)25次獨立實驗結(jié)果，求得輪系動態(tài)傳動誤差波動量的回歸方程為

Y=96.186 5-0.734 5x1-1.429 7x2-0.018x3-0.182 6x4-0.000 7x1x2+0.000 2x1x3-0.000 1x1x4-0.000 6x2x3+

(22)

由式(18)得回歸方程式(22)的復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.994 4，說明所求回歸函數(shù)對樣本點的擬合程度高。由式(22)可求得最佳修形量組合為：x1=80.02 μm，x2=86.41 μm，x3=74.23 μm，x4=40.77 μm。在此參數(shù)條件下，s-p、p-r副的齒面接觸載荷及動態(tài)傳動誤差如圖9所示。

(a) s-p齒面接觸載荷

(b) p-r齒面接觸載荷

(c) s-p動態(tài)傳動誤差時域圖

(d) p-r動態(tài)傳動誤差時域圖

(e) s-p和p-r動態(tài)傳動誤差頻域圖

由圖9的齒面接觸載荷分布圖可知，太陽輪/行星輪綜合修形時，s-p和p-r嚙合副的最大齒面接觸載荷分別為921.61 N/mm和921.38 N/mm，較圖3(a)、圖3(b)明顯減小，并且同時改善了內(nèi)、外嚙合副軸向偏載和嚙入、嚙出沖擊。由圖9的時域波形圖可知，s-p和p-r嚙合副動態(tài)傳動誤差的波動區(qū)間分別為[91.07, 92.83]和[64.25, 67.27]，且在一個嚙合周期內(nèi)的波動較圖2(a)、圖2(b)明顯減小。進一步分析其頻域特性可知，動態(tài)傳動誤差的峰值出現(xiàn)在各齒輪副的固有頻率及其倍頻附近；s-p和p-r嚙合副的動態(tài)傳動誤差波動量分別為1.28 μm和2.67 μm。

采用由式(20)、式(21)計算得到的修形參數(shù)，對內(nèi)、外齒輪副同時進行修形，其結(jié)果如圖10所示。

由圖10的齒面接觸載荷分布圖可知，單對齒輪副最佳修形量同時修形時，s-p嚙合副的最大齒面接觸載荷為951.27 N/mm，較圖3(a)明顯減?。坏玴-r嚙合副最大齒面載荷為1 029.09 N/mm，較圖3(b)不減反增。由圖10的時域波形圖可知，單對齒輪副最佳修形量同時修形時，s-p和p-r嚙合副動態(tài)傳動誤差的波動區(qū)間分別為[90.03, 96.21]和[59.43, 70.64]，且在一個嚙合周期內(nèi)的波動較圖2(a)、圖2(b)明顯減小。進一步分析其頻域特性可知，動態(tài)傳動誤差的峰值出現(xiàn)在各齒輪副的固有頻率及其倍頻附近；s-p和p-r嚙合副的動態(tài)傳動誤差波動量分別為1.99 μm和5.05 μm。

3 不同修形策略的效果對比

為方便比較，給出4種不同修形策略下，內(nèi)、外嚙合副的最大齒面載荷和動態(tài)傳動誤差波動量，其結(jié)果如表4所示。

表4 修形后齒輪嚙合特性

(a) s-p齒面接觸載荷

(b) p-r齒面接觸載荷

(c) s-p動態(tài)傳動誤差時域圖

(d) p-r動態(tài)傳動誤差時域圖

(e) s-p和p-r動態(tài)傳動誤差頻域圖

由表4可知：①單獨修形和內(nèi)、外嚙合副同時修形時，s-p嚙合副嚙合特性的降低幅度都大于p-r嚙合副相應(yīng)嚙合特性的降低幅度；②除去太陽輪/行星輪綜合修形時s-p嚙合副最大齒面載荷降低幅度大于太陽輪單獨修形時s-p嚙合副最大齒面載荷降低幅度，采用內(nèi)、外嚙合副同時修形策略時，齒輪副嚙合特性的降低幅度都小于各齒輪副單獨修形時相應(yīng)嚙合特性的降低幅度；③太陽輪/行星輪綜合修形最大齒面載荷和動態(tài)傳動誤差波動量的降低幅度都要優(yōu)于單對齒輪副最佳修形量同時修形。④值得注意的是單對齒輪副最佳修形量同時修形時，p-r嚙合副的最大齒面載荷較未修形時有所增加，并且動態(tài)傳動誤差波動量為5.05 μm，超過了4 μm。

行星輪系內(nèi)、外嚙合齒輪副單獨修形時，行星輪的運動微分方程中只考慮一對齒輪副相對位移的變化，但內(nèi)、外嚙合齒輪副同時修形時則需考慮內(nèi)、外兩對齒輪副相對位移的影響。因此以相同的修形參數(shù)分別進行單獨修形和同時修形時求解運動微分方程得到的動態(tài)傳動誤差不會相同，進而同時修形時得到的擬合函數(shù)并不是單獨修形的響應(yīng)函數(shù)簡單地相加。以上的原因定然使得不同修形策略時最佳修形量不會相同，從而導(dǎo)致了上述修形效果的不同。

4 結(jié) 論

將計入齒輪微觀修形效應(yīng)的行星輪系動力學(xué)模型與響應(yīng)面法結(jié)合，開展了基于最小動態(tài)傳動誤差波動量的行星輪系齒輪修形研究。主要結(jié)論如下：

(1) 結(jié)合動力學(xué)模型計算出修形后齒輪副的動態(tài)傳動誤差。基于齒輪嚙合原理，推導(dǎo)出修形函數(shù)在嚙合線上的分量，將此分量視為附加的位移激勵，改變修形輪齒所在的嚙合副位移激勵，建立了計入修形效應(yīng)的斜齒行星輪系動力學(xué)模型，并依此模型計算出修形后齒輪副的動態(tài)傳動誤差。

(2) 內(nèi)、外齒輪副的動態(tài)傳動誤差波動量隨著主動輪齒向或齒廓修形量的增大先減小后增大。隨著齒向修形量的增加，齒面載荷更加均勻，動力學(xué)行為得到改善；當(dāng)齒向修形量過大時，產(chǎn)生反向偏載。隨著齒廓修形量的增加，嚙入、嚙出沖擊減小，傳動更加平穩(wěn)；但過量的齒廓修形會增大齒側(cè)間隙，進而惡化系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。

(3) 為行星輪系綜合修形提供了一種新的修形策略。同時對內(nèi)、外嚙合副進行修形時，以內(nèi)、外嚙合副單獨修形時的最佳修形量為設(shè)計變量均值，構(gòu)造行星輪系動態(tài)傳動誤差波動量與內(nèi)、外嚙合副修形量之間的響應(yīng)面函數(shù)，并通過求解函數(shù)最小值獲得輪系最佳修形量組合。

附錄 行星傳動無量綱動力微分方程(14)的矩陣展開式