ConceFT在滾動軸承瞬時轉(zhuǎn)頻估計中的應(yīng)用

馬增強， 阮婉瑩， 陳明義

(1. 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室， 石家莊 050043;2. 石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 石家莊 050043)

基于瞬時轉(zhuǎn)頻估計的階比分析方法無需安裝鍵相裝置，節(jié)省了空間及成本，是變轉(zhuǎn)速階比分析[1]的研究熱點，而瞬時轉(zhuǎn)頻的準(zhǔn)確估計是其成功的關(guān)鍵和前提?，F(xiàn)有瞬時轉(zhuǎn)頻估計方法很多元，第一大類為基于相位解調(diào)法，例如：Combet等[2]采用短時尺度變換法實現(xiàn)回轉(zhuǎn)軸瞬時轉(zhuǎn)頻的提?。籆oats等[3]利用多級迭代法實現(xiàn)相位解調(diào)，提取瞬時轉(zhuǎn)頻信息。該類方法在轉(zhuǎn)速大范圍變化時，會在相鄰階次諧波之間產(chǎn)生交叉項，使得該方法應(yīng)用受限。第二大類為基于時頻分析法，例如：郭瑜等[4]將短時傅里葉變換(Short-time Fourier Transform, STFT)與峰值搜索結(jié)合，對STFT時頻譜進行峰值搜索，進而對變轉(zhuǎn)速電機瞬時轉(zhuǎn)頻進行估計，取得較好的測試效果，但由于STFT的固有缺陷使得其抗噪性較差；趙曉平等[5]提出STFT結(jié)合Viterbi算法估計變轉(zhuǎn)速振動信號瞬時轉(zhuǎn)頻，成功應(yīng)用于渦流離心機升速狀態(tài)的轉(zhuǎn)頻估計，但Viterbi算法復(fù)雜度高，計算效率低；Urbanek等[6]對比幅值和相位的時頻信息，尋找對應(yīng)關(guān)系成功提取齒輪箱的瞬時轉(zhuǎn)頻。此外，還有很多其他轉(zhuǎn)頻估計算法，如：羅潔思等[7-8]、程衛(wèi)東等[9]將多尺度線調(diào)頻路徑追蹤應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機械瞬時轉(zhuǎn)頻提取，但該算法最大缺點是計算速度太慢，難以處理大量實驗數(shù)據(jù)，很難應(yīng)用于實際；Wang等[10]利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解處理變轉(zhuǎn)速信號，進而估計瞬時轉(zhuǎn)頻，但該方法存在模態(tài)混疊、端點效應(yīng)等問題，處理復(fù)雜多分量信號時會產(chǎn)生較大誤差。

綜上所述，基于時頻分析的瞬時轉(zhuǎn)頻估計方法原理簡單，不受轉(zhuǎn)速變化影響，適用范圍廣，更具實際應(yīng)用價值，是現(xiàn)階段研究瞬時轉(zhuǎn)頻估計的熱門方法。該類算法成功的關(guān)鍵在于所用時頻分析方法是否具備較高的抗噪性和時頻分辨率，傳統(tǒng)的時頻分析方法(STFT、小波變換和Wigner-Ville分布)在時頻分辨率、交叉項及抗噪性上均存在不同程度的問題，不便于直接應(yīng)用于信號分析，需要不同的優(yōu)化算法進行改進?，F(xiàn)有的基于時頻分析的瞬時轉(zhuǎn)頻估計方法中，通常所用的都是上述傳統(tǒng)時頻分析方法，很難取得滿意的效果，這大大限制了此類方法的應(yīng)用。筆者由此入手，將一種新型的時頻分析方法——時頻聚集(Concentration of Frequency and Time，ConceFT)應(yīng)用其中。

ConceFT是Daubechies等[11]在同步壓縮變換[12](Synchrosqueezing Wavelet Transform, SST)基礎(chǔ)上，于2016年提出的全新的時頻分析方法，該方法集合了多正交窗和SST的優(yōu)點，不但保證了高時頻分辨率，而且在抗噪性方面有極大改善，恰好彌補現(xiàn)有時頻分析方法的不足，其能夠勝任多分量復(fù)雜信號的處理，有著廣闊的發(fā)展空間和應(yīng)用前景。這一嶄新的時頻分析方法自被提出以來還尚未被廣泛應(yīng)用，本文首次提出將其聯(lián)合峰值搜索算法用于滾動軸承的瞬時轉(zhuǎn)頻估計，著重研究算法的抗噪性能及瞬時轉(zhuǎn)頻估計精度，結(jié)果驗證了所提方法的有效性，ConceFT聯(lián)合峰值搜索能夠在較低信噪比下得到瞬時轉(zhuǎn)頻的精確估計。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 時頻聚集方法原理

1.1.1 同步壓縮變換

同步壓縮變換是從連續(xù)小波變換出發(fā)的，首先對信號進行連續(xù)小波變換，再進行時頻重排，對小波系數(shù)進行壓縮變換，使得時頻分布更清晰、時頻分辨率更高。

Daubechies以一個幅值恒定的諧波信號s(t)=Acos(ωt) 為例進行闡述。

首先求出信號s(t)的連續(xù)小波變換為

(1)

然后計算信號s(t)的瞬時頻率

(2)

式中:?bWs(a,b)為Ws(a,b)對b的一階偏導(dǎo)。

通過估計出的瞬時頻率ωs(a,b)可以將原來的時間-尺度平面轉(zhuǎn)換到時間-頻率平面：(a,b)→[ωs(a,b),b]。小波系數(shù)變?yōu)閃s(ωs(a,b),b) ，通過壓縮時間-頻率平面內(nèi)的小波系數(shù)，將其壓縮至中心頻率ωl的一個鄰域內(nèi)：[ωl-1/2Δω,ωl+1/2Δω] ，從而得到同步壓縮系數(shù)Ts(ωl,b) ?？紤]計算機在計算過程中，a,b,ω均需離散化，設(shè)ai-ai-1=(Δa)i,ωi-ωi-1=Δω，則同步壓縮系數(shù)可表示為

(3)

同步壓縮變換相比于重排算法的優(yōu)勢在于其支持信號重構(gòu)，根據(jù)同步壓縮系數(shù)Ts(ωl,b)可以重構(gòu)信號s(b)，表達式如下

(4)

對于離散參數(shù)，s(b)近似為

(5)

SST將時頻分布沿尺度/頻率方向進行壓縮，從而有效提高了時頻分辨率。但是，由于雜散噪聲的存在使真實信號的時頻分布變得模糊，時頻分辨率大大降低，為此，引入多正交窗來降低噪聲的干擾。

1.1.2 多正交窗同步壓縮變換

在同步壓縮變換的時頻分布中，對于不同母小波函數(shù)，時頻分布不受影響，然而噪聲分布卻隨母小波函數(shù)的不同而不同。因為小波變換本質(zhì)上就是信號與母小波函數(shù)的卷積，因此基于不同母小波函數(shù)的小波變換相互獨立，恒等分布，這一特性引出了多正交窗同步壓縮變換的想法。

對于信號x(t)，給定I個標(biāo)準(zhǔn)正交母小波φi(t),i=1,…,I，根據(jù)式(2)、式(3)計算出每個母小波對應(yīng)的瞬時頻率和同步壓縮變換，多正交窗同步壓縮變換即定義為各母小波同步壓縮變換的平均

(6)

對大量標(biāo)準(zhǔn)正交母小波進行平均能夠抵消噪聲引起的時頻模糊。由此認為標(biāo)準(zhǔn)正交母小波數(shù)量越多抑制噪聲干擾能力越強，但是隨著標(biāo)準(zhǔn)正交母小波的增多，時頻分布中模糊區(qū)域增多，因此，標(biāo)準(zhǔn)正交小波數(shù)目需要設(shè)置一個平衡，這在一定程度上限制了其使用。

1.1.3 ConceFT時頻聚集方法

為了克服多正交窗同步壓縮變換上述缺陷，Daubechies根據(jù)同步壓縮變換的非線性特點，拓展了多正交窗方法提出ConceFT方法。

步驟1選擇I個標(biāo)準(zhǔn)正交母小波φi(t),i=1,…,I，使其滿足良好的時頻聚集性。

步驟2選擇N個單位隨機向量rn,n=1,…,N。

步驟5對隨機向量rn做平均，得ConceFT的時頻表達：

(7)

實際應(yīng)用中，為了提高時頻分辨率，標(biāo)準(zhǔn)正交母小波可選則2個，而為了抑制噪聲干擾，權(quán)重向量N可根據(jù)需要盡可能取大[13]。

1.2 峰值搜索原理

對于一個高精度、高時頻聚集性的時頻分析方法，應(yīng)用峰值搜索算法即可實現(xiàn)從時頻圖中準(zhǔn)確提取瞬時頻率，且峰值搜索原理簡單，效率較高，故本文利用峰值搜索法實現(xiàn)轉(zhuǎn)頻曲線的提取。下面介紹峰值搜索法是如何從時頻圖中進行瞬時頻率估計的步驟:

步驟1時頻分析得時頻圖。

步驟2選取搜索起始點。在時頻圖中被跟蹤分量峰值突出的區(qū)域內(nèi)選擇一點作為起始點。選定起始點之后，對時頻圖進行峰值搜索，按照下式進行

(8)

式中:ni=n1±1,n1±2,…,ni∈(0,M-1);ki∈(0,N-1);M時頻網(wǎng)格中時間線數(shù)；N為時頻網(wǎng)格中頻率線數(shù)；IFE為峰值搜索函數(shù)；argmax為目標(biāo)函數(shù)取最大值時所取參數(shù)；SPEC為對應(yīng)的時頻圖；(n1,k1) 為以(n1,k0) 為起始點進行峰值搜索所得的第一個瞬時頻率坐標(biāo)；p為峰值搜索的范圍；(ni,ki) 為經(jīng)過峰值搜索所得的各時刻對應(yīng)的瞬時頻率坐標(biāo)。

步驟3計算各點瞬時轉(zhuǎn)頻。按照下式進行

(9)

式中:fq(ni)為峰值搜索所得各點瞬時頻率；q為瞬時頻率對應(yīng)的故障特征階次；ni為相應(yīng)的時間點。

步驟4轉(zhuǎn)頻曲線擬合。對上述所得離散瞬時轉(zhuǎn)頻進行最小二乘擬合。根據(jù)各點瞬時轉(zhuǎn)頻變化趨勢，選擇多項式次數(shù)。通常情況下，轉(zhuǎn)速不會發(fā)生突變，可選擇低次多項式擬合，以二次為例，擬合公式如下

(10)

平方誤差如下

(11)

2 ConceFT估計滾動軸承瞬時轉(zhuǎn)頻實現(xiàn)過程

實際滾動軸承振動信號常伴有強烈噪聲干擾，鑒于ConceFT具有強抗噪性和高時頻分辨率的優(yōu)點，提出了將其與峰值搜索結(jié)合用于滾動軸承的瞬時轉(zhuǎn)頻估計，以解決現(xiàn)有方法的抗噪性差及估計精度不足的問題。對于實際的滾動軸承振動信號，為了提高其瞬時轉(zhuǎn)頻估計精度，在進行ConceFT之前需要對振動信號進行預(yù)處理[14-16]，步驟如下：

步驟1低通濾波，避免頻率混疊。低通濾波的截止頻率選為降采樣后頻率的1/2。

步驟2降采樣，凸出時頻圖中的轉(zhuǎn)頻分量，提高估計精度。按照式(12)設(shè)置采樣倍數(shù)。

(12)

式中:d為降采樣倍數(shù)；int為取整函數(shù)；fs為實際采樣頻率；fRmax為最大轉(zhuǎn)頻；q為搜索分量的階次。

步驟3去趨勢項，提高振動信號的信噪比。

步驟4Hilbert包絡(luò)解調(diào)，得轉(zhuǎn)頻相關(guān)信息。

對振動信號預(yù)處理后再進行ConceFT分析，進一步峰值搜索即可提取瞬時轉(zhuǎn)頻曲線。本文方法估計滾動軸承瞬時轉(zhuǎn)頻的總體流程圖,如圖1所示。

3 仿真信號驗證

變轉(zhuǎn)速下滾動軸承振動信號為復(fù)雜的多分量信號，在不同工況會有不同的頻率調(diào)制現(xiàn)象、不同類型的轉(zhuǎn)頻曲線，且伴隨的強烈背景噪聲會極大地影響轉(zhuǎn)頻曲線提取精度。本文分別設(shè)計一個線調(diào)頻多分量信號和一個正弦調(diào)頻多分量信號來模擬兩種工況下滾動軸承的振動信號，以更好地驗證ConceFT方法在估計瞬時轉(zhuǎn)頻曲線問題上的優(yōu)勢。文獻[13]已證明母小波的選擇對ConceFT分析效果幾乎沒有影響，故在仿真信號分析中，采用2個標(biāo)準(zhǔn)正交Morse小波，權(quán)重向量N取5。

圖1 ConceFT估計滾動軸承瞬時轉(zhuǎn)頻流程圖

3.1 線調(diào)頻信號驗證

模擬線調(diào)頻的多分量振動信號，設(shè)信號瞬時角頻率為

ω(t)=2.5πt+30π

(13)

則瞬時轉(zhuǎn)頻為

f(t)=1.25t+15

(14)

多分量線調(diào)頻信號為

(15)

式中:η(t)為高斯白噪聲；0≤t≤20 s。

該信號信噪比(Signal Noise Ratio，SNR)取為-10 dB，采樣頻率為100 Hz。信號波形如圖2，由ConceFT所得時頻圖如圖3所示。由圖3可知，信號的一倍頻、0.66倍頻和0.5倍頻的頻率曲線，基本不受強噪聲的影響。為了凸顯ConceFT方法的優(yōu)勢，我們與經(jīng)典的瞬時轉(zhuǎn)頻估計方法——STFT結(jié)合峰值搜索進行對比，圖4為信號的STFT時頻圖。由圖4可知，其受噪聲干擾嚴重，各頻率成分被淹沒在強噪聲中，難以識別。利用峰值搜索法分別對ConceFT和STFT的時頻分布圖進行瞬時轉(zhuǎn)頻提取，結(jié)果如圖5所示?？梢姳疚姆椒ㄌ崛〉乃矔r轉(zhuǎn)頻曲線與真實轉(zhuǎn)頻曲線基本吻合，而基于STFT的轉(zhuǎn)頻估計結(jié)果偏離真實值太大。

為了定量說明兩種方法的轉(zhuǎn)頻估計精度，利用式(16)計算估計誤差的百分比值。通過計算可得，本文方法估計誤差為2.56%，STFT結(jié)合峰值索搜的估計誤差為52.68%。

(16)

圖3 線調(diào)頻信號波形圖

圖3 線調(diào)頻信號ConceFT時頻圖

圖4 線調(diào)頻信號STFT時頻圖

圖5 線調(diào)頻信號ConceFT與STFT轉(zhuǎn)頻估計對比圖

3.2 正弦調(diào)頻信號驗證

模擬正弦調(diào)頻的多分量振動信號，設(shè)信號角頻率為

ω(t)=2π(7.5-2.5cos(t))

(17)

則瞬時轉(zhuǎn)頻為

f(t)=7.5-2.5cos(t)

(18)

多分量線調(diào)頻信號為

(19)

式中：η(t)為高斯白噪聲；0≤t≤20 s。

信號信噪比取為-8 dB，采樣頻率為100 Hz，信號波形如圖6所示。ConceFT時頻圖如圖7所示，圖7中三個頻率分量清晰可見，而STFT的時頻結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，在強烈噪聲干擾下，時頻能量發(fā)散嚴重，不能識別出真實信號分量。分別對兩個時頻圖進行峰值索搜，提取出的瞬時轉(zhuǎn)頻曲線如圖9所示。由圖9可知，STFT峰值搜索所得曲線較理論曲線波動較大，原因是信號信噪比低，部分噪聲能量高于信號能量，導(dǎo)致峰值索搜時出現(xiàn)誤搜索，導(dǎo)致最后擬合曲線出現(xiàn)較大偏差。由于本文方法有較強的抗噪性與高時頻分辨率，能夠弱化噪聲影響，使頻率成分能量集中，可以對其時頻圖進行精確的峰值搜索，所得擬合的曲線與理論曲線基本吻合。經(jīng)過計算，本文方法估計誤差為1.26%，STFT結(jié)合峰值索搜的估計誤差為42.85%。

圖6 正弦調(diào)頻信號波形圖

圖7 正弦調(diào)頻信號ConceFT時頻圖

圖8 正弦調(diào)頻信號STFT時頻圖

圖9 正弦調(diào)頻信號ConceFT與STFT轉(zhuǎn)頻估計對比圖

Fig.9 Contrast figure between ConceFT and STFT for rotational frequency estimation of sinusoidal frequency modulation signal

3.3 抗噪性及估計精度分析討論

在此，我們進一步分析討論ConceFT方法的抗噪性及用于瞬時轉(zhuǎn)頻估計的精度問題。為了更具說服力，筆者采用大量數(shù)據(jù)進行測試。分別對上述線調(diào)頻信號和正弦調(diào)頻信號添加白噪聲，使信號信噪比從-20～10 dB之間變化，對各狀態(tài)下的信號進行基于ConceFT的轉(zhuǎn)頻估計工作，計算不同信噪比下的轉(zhuǎn)頻估計誤差。

選4組典型信噪比下的信號，做ConceFT時頻圖，圖10對應(yīng)線調(diào)頻信號。圖11對應(yīng)正弦調(diào)頻信號。從兩幅圖中可知，在信噪比很低時，時頻分辨率仍然很高，仍能清晰顯示信號的瞬時頻率曲線。

為了定量說明該方法在低信噪比下仍能保持高時頻分辨率，采用Rényi熵作為評價指標(biāo)，Rényi熵值越小表示時頻分辨率越高，其定義式如式(20)所示

(a) 信噪比為10 dB

(b) 信噪比為0

(c) 信噪比為-10 dB

(d) 信噪比為-20 dB

(a) 信噪比為10 dB

(b) 信噪比為0

(c) 信噪比為-10 dB

(d) 信噪比為-20 dB

(20)

式中，R為Rényi熵，q≥0,q≠1,(p1,p2,…,pn)為任意離散變量的概率分布。

就圖10和圖11所用的4種典型信噪比下的兩種信號分別求ConceFT和STFT的Rényi熵，如表1和表2所示。從表1和表2可知，兩個表中ConceFT方法的Rényi熵遠小于STFT，且隨著信噪比的降低，ConceFT的Rényi熵變化并不大，說明其時頻分辨率受信噪比影響不大，說明該方法具有強抗噪性，低信噪比時仍具有高時頻分辨率，這是精確提取瞬時轉(zhuǎn)頻曲線的前提。

表1 線調(diào)頻信號不同信噪比下兩種方法的Rényi熵

表2 正弦調(diào)頻信號不同信噪比下兩種方法的Rényi熵

為了驗證本文方法的瞬時轉(zhuǎn)頻估計精度，再取16組不同信噪比的信號進行分析，計算轉(zhuǎn)頻估計誤差，結(jié)果如圖12所示，從圖12可知,信噪比在-20 dB以上時，估計誤差都保持在3%以內(nèi)，足夠滿足精度要求。

圖12 ConceFT對于兩種信號轉(zhuǎn)頻估計的信噪比-估計誤差曲線圖

4 實測信號驗證

利用實測滾動軸承變轉(zhuǎn)速故障振動信號來進一步驗證本文方法的實用性。模擬故障實驗臺如圖13所示。從圖13可知，“1”為CA-YD-188型加速度傳感器，“2”為ICP激光轉(zhuǎn)速計，試驗軸承為外圈有輕微裂紋故障，型號為NU205EM。振動信號采樣頻率為25 600 Hz，激光轉(zhuǎn)速計采樣頻率為1 kHz，據(jù)此利用五點公式法擬合轉(zhuǎn)頻曲線，作為理論轉(zhuǎn)頻曲線。本文利用兩組數(shù)據(jù)進行充分驗證，分別取轉(zhuǎn)速上升階段和轉(zhuǎn)速復(fù)雜波動變化階段的軸承故障振動信號。ConceFT算法中選2個標(biāo)準(zhǔn)正交Morse小波，N取為10。

4.1 升速工況下瞬時轉(zhuǎn)頻估計精度驗證

振動信號波形如圖14所示。為強背景噪聲干擾下的升速工況，轉(zhuǎn)頻由11.4 Hz上升至24.6 Hz。首先對信號進行預(yù)處理，低通濾波截止頻率設(shè)為1 500 Hz，降采樣倍數(shù)設(shè)為5，所得降采樣后的采樣頻率為5 120 Hz，對降采樣后的信號去趨勢項，再取Hilbert包絡(luò)，預(yù)處理結(jié)束。對預(yù)處理后的信號進行ConceFT得時頻圖如圖15所示。從圖15可知，一倍轉(zhuǎn)頻能量最高，最突出，將其作為峰值索搜的目標(biāo)得轉(zhuǎn)頻曲線，經(jīng)過計算轉(zhuǎn)頻估計誤差為0.59%，足以滿足精度要求。

圖13 QPZZ-Ⅱ旋轉(zhuǎn)機械故障試驗臺

圖14 升速工況振動信號波形

圖15 升速工況振動信號ConceFT時頻圖

4.2 轉(zhuǎn)速劇烈波動工況下瞬時轉(zhuǎn)頻估計精度驗證

振動信號波形如圖17所示。從圖17可知，轉(zhuǎn)速升降復(fù)雜變化的工況，可見信號中夾雜著大量噪聲成分，該信號轉(zhuǎn)頻在6～20 Hz之間升降往復(fù)變化，轉(zhuǎn)頻曲線的提取難度大大增加。首先仍然先對信號進行預(yù)處理，同“4.1”所述，對預(yù)處理后的信號進行ConceFT得時頻圖，如圖18所示。由圖18能清晰識別一倍轉(zhuǎn)頻分量，將其作為峰值索搜的目標(biāo)，得轉(zhuǎn)頻曲線如圖19中虛線所示。圖19中實線為理論轉(zhuǎn)頻，可見二者相似度極高，基本重合，經(jīng)過計算該轉(zhuǎn)頻估計誤差僅為0.51%?？梢?，在復(fù)雜工況下，該方法仍能保持非常高的估計精度。

圖16 升速工況ConceFT轉(zhuǎn)頻曲線估計結(jié)果與理論轉(zhuǎn)頻對比圖

圖17 轉(zhuǎn)速波動工況振動信號波形

圖18 轉(zhuǎn)速波動工況振動信號ConceFT時頻圖

5 結(jié) 論

(1) 分析表明ConceFT方法是一種具有強抗噪性、高分辨率的時頻分析方法，將其與峰值索搜結(jié)合用于滾動軸承瞬時轉(zhuǎn)頻估計，通過仿真信號與兩種復(fù)雜工況下的變轉(zhuǎn)速故障信號分析，結(jié)果驗證了該方法在復(fù)雜噪聲干擾下仍能準(zhǔn)確提取信號瞬時轉(zhuǎn)頻，準(zhǔn)確度高達99%以上，滿足高精度的要求，可以用于無轉(zhuǎn)速計情況下的轉(zhuǎn)頻估計與轉(zhuǎn)速曲線提取工作，能夠解決現(xiàn)有方法抗噪性差及估計精度不足的問題，是一種有實際應(yīng)用價值的轉(zhuǎn)頻估計方法。

圖19 轉(zhuǎn)速波動工況ConceFT轉(zhuǎn)頻曲線估計結(jié)果與理論轉(zhuǎn)頻對比圖

(2) ConceFT作為一種新興的時頻分析方法，由于其具有強抗噪性及較高的時頻分辨率而有廣闊的應(yīng)用空間。如，基于時頻分析的變轉(zhuǎn)速軸承故障診斷方法較階比分析簡單直接，但目前的時頻分析方法在抗噪性及時頻分辨率上通常不能滿足要求，利用ConceFT可以很好的解決此問題；齒輪等其他機械設(shè)備的故障診斷問題同樣可以借助ConceFT來解決；其他領(lǐng)域，如地震信號、油氣檢測等凡需時頻分析的領(lǐng)域均可嘗試用ConceFT來處理。