2019年數(shù)學(xué)建模B題“同心協(xié)力”策略研究

藺深 劉焱

摘要：隨著社會(huì)的發(fā)展，企業(yè)不再局限于只注重個(gè)人的能力，還強(qiáng)調(diào)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力?！巴膮f(xié)力”是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力拓展項(xiàng)目。該項(xiàng)目以團(tuán)隊(duì)各人員用繩牽拉牛皮鼓顛球，通過計(jì)數(shù)合格的顛球數(shù)量進(jìn)行比拼。本文對(duì)此項(xiàng)目進(jìn)行研究，綜合數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識(shí)建立一階非線性微分方程[1]和二階微分方程組數(shù)學(xué)模型，分析顛球與團(tuán)隊(duì)合作的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：一階非線性微分方程;二階微分方程;牛頓第二定律;剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律

一、引言

在建模題中，假設(shè)每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度的理想狀態(tài)，要得到最佳協(xié)作策略，結(jié)合數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識(shí)，利用牛頓第二定律建立一階非線性微分方程模型，分別以球、鼓為研究對(duì)象求出若干分鐘后穩(wěn)定狀態(tài)下的球下落（鼓上升）的時(shí)間、人拉繩所產(chǎn)生的合外力及最佳顛球高度。

在現(xiàn)實(shí)問題中，隊(duì)員位置、發(fā)力大小和發(fā)力時(shí)機(jī)不精準(zhǔn)會(huì)致使鼓面產(chǎn)生傾斜，利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，建立二階微分方程組模型，研究隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)、力度和某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。并利用控制變量法分3類細(xì)化討論，通過控制變量F、ri，研究鼓傾斜角θ與時(shí)間t的關(guān)系;通過控制變量F、t，研究鼓傾斜角θ與ri的關(guān)系;通過控制變量ri、t，研究鼓傾斜角θ與F的關(guān)系。依據(jù)題目表格數(shù)據(jù)中給出的隊(duì)員們不同發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，解出0.1s時(shí)不同情況下鼓面的傾斜角度θ。

二、研究結(jié)果

（一）理想狀態(tài)下的研究

本文以豎直向下為正方向、豎直向上為負(fù)方向建直角坐標(biāo)系，已知球下落的時(shí)間與鼓上升的時(shí)間相同。以“球在空氣中運(yùn)動(dòng)”的狀態(tài)將常數(shù)取值，則取空氣密度ρ氣=1.29×10-3kg·m-3（20℃時(shí)）。垂直下落的球受到重力mg、空氣浮力ρ氣Vg和空氣空氣黏滯阻力三個(gè)力的作用，其中m為球的質(zhì)量，M為鼓的質(zhì)量，g為重力加速度，V為球的體積，Cd為空氣阻力系數(shù)，S1為球的最大橫截面積，S2為鼓的最大橫截面積，v1為球相對(duì)于空氣的速度，v2為鼓相對(duì)于空氣的速度。

根據(jù)牛頓第二定律分別列出關(guān)于球和鼓的方程：

利用MATLAB計(jì)算得出結(jié)論：在45N力的作用下，高度隨時(shí)間的增加而增加，由圖中點(diǎn)的坐標(biāo)可知在該點(diǎn)以后符合題目要求“顛球高度0.4m以上”，解得t≥0.34。

由題目條件“顛球次數(shù)盡可能多”可知：顛球一次所用時(shí)間越短，在相同時(shí)間內(nèi)累計(jì)顛球次數(shù)就越多，所以取0.34s為一次顛球所用時(shí)間，則高度為h=s1+s2=0.4053m。

（二）現(xiàn)實(shí)狀態(tài)下的研究

假設(shè)同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時(shí)，同心鼓做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)橥墓臑榭招牡?，假定同心鼓為一圓盤，同心鼓做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1。

由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出如下二階微分方程組：

該方程組用于研究隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)、力度和某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系，其中φ變化很小，近似當(dāng)做恒定值。從得出傾斜角θ與F的關(guān)系，傾斜角θ與時(shí)間t的關(guān)系結(jié)果，隊(duì)員站位如圖3。

第一組數(shù)據(jù)，繩1用90N力，鼓面旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸過繩5與鼓的接點(diǎn)，故產(chǎn)生傾角的力矩可分為4組類別。當(dāng)力臂分別為0.06、0.2、0.34時(shí)兩兩對(duì)應(yīng)力矩相等，即產(chǎn)生的傾角相同。

計(jì)算公式為：（0.020817+0.06939+0.117963）×2+0.13878=0.6939

第二組、第三組依據(jù)數(shù)據(jù)同理可得0.1s時(shí)鼓面傾角分別為0.4850、1.0871。

第四組數(shù)據(jù)時(shí)，繩1提前0.1s施力，鼓面旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸過繩5與鼓的接點(diǎn)，同理產(chǎn)生傾角的力矩分為4組類別。當(dāng)力臂分別為0.06、0.2、0.34時(shí)兩兩對(duì)應(yīng)力矩相等，即產(chǎn)生的傾角相同。計(jì)算過程同上，得到0.1s時(shí)鼓面傾角為0.8635。

第五、六、七組計(jì)算公式同上，得0.1s時(shí)鼓面傾角分別為1.1411、0.9375、0.9251。

第八組數(shù)據(jù)僅有力臂為0.06時(shí)存在對(duì)稱情況，故計(jì)算過程為：0.018504×2+0.24672+0.06939+0.419424+0.117963+0.12336，得到0.1s時(shí)鼓面傾角為1.0139。

第九組數(shù)據(jù)中，對(duì)90N力和提前0.1s單獨(dú)分析前半階段求得傾角為0.937536，后半階段求得傾角為0.476478，綜合考慮兩方面影響因素，得0.1s時(shí)鼓面傾角為0.461058。

根據(jù)9組數(shù)據(jù)得出9個(gè)不同狀態(tài)下的鼓面傾角，同時(shí)可知不同狀態(tài)下的作用都對(duì)鼓的傾角有影響，因此也可說明隊(duì)員們團(tuán)結(jié)協(xié)作的重要性。

三、結(jié)論

本文綜合考慮數(shù)學(xué)與物理學(xué)知識(shí)，建立一階非線性微分方程和二階微分方程模型研究“同心協(xié)力”拓展項(xiàng)目。建立的模型依據(jù)堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和物理基礎(chǔ)，且易于實(shí)現(xiàn)。但是現(xiàn)實(shí)顛球進(jìn)行時(shí)受各種各樣不確定因素，本文不能完全將所有的影響因素納入計(jì)算，所得的數(shù)據(jù)結(jié)果依然存在誤差。并且本文中利用了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)于非工科或物理專業(yè)的人有一定的難度。

參考文獻(xiàn)：

[1]?司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用，北京：國防工業(yè)出版社，2018.9.

[2]?鞠衍清.垂直下落球體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值分析，大學(xué)物理，第27卷第11期：11-14，2008.

[3]?馬文蔚.物理學(xué)教程（第二版）[M].高等教育出版社，2006.

[4]?周衍柏.理論力學(xué)教程（第三版）[M].高等教育出版社，2009.

作者簡介：藺深，女，漢族，山東省萊蕪市，1999.10，大學(xué)本科，旅游管理專業(yè);

劉焱，女，漢族，研究生，講師，研究方向：數(shù)學(xué)建模。