數(shù)學(xué)教學(xué)，以核心素養(yǎng)為綱

龍立芬

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2018年中旬刊1-2期，刊發(fā)了裴亞光老師就“第四屆初中數(shù)學(xué)名師創(chuàng)新型課堂研修會(huì)”的點(diǎn)評(píng)稿《課堂創(chuàng)新：以數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)為綱》.裴老師對(duì)教學(xué)案例的分析鞭辟入里，對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)高瞻遠(yuǎn)矚，讀裴老師的文章，獲得的不僅是教學(xué)技能的提升，教學(xué)智慧的豐富，更多的是教學(xué)思想的引領(lǐng)，教學(xué)熱情的激發(fā)，頓有醍醐灌頂之感，教學(xué)視野倍加開(kāi)闊，心情隨之豁然開(kāi)朗.本文就自己執(zhí)教的人教版“19.1.1變量與函數(shù)”，談?wù)勛约旱膶W(xué)習(xí)心得.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)概念，它有廣泛的應(yīng)用，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中占有重要地位，學(xué)生初中數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的第一次飛躍是代數(shù)式的學(xué)習(xí)，由具體的數(shù)到具有普遍意義的式.第二次飛躍是函數(shù)的學(xué)習(xí)，由靜止不變的數(shù)到運(yùn)動(dòng)變化的數(shù).本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的入門(mén)課，目標(biāo)任務(wù)是準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)變量與常量的特征，初步感受現(xiàn)實(shí)世界各種變量之間互相聯(lián)系的復(fù)雜性，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)研究方法的化繁為簡(jiǎn)，知道在初中階段主要研究?jī)蓚€(gè)變量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系.之前教材是把變量與函數(shù)分成兩節(jié)課安排的，2016年春季教材將變量與函數(shù)合并成一節(jié)課內(nèi)容，素材也略有調(diào)整，很顯然教材的這個(gè)調(diào)整更加科學(xué)合理.現(xiàn)行教材首先通過(guò)4個(gè)含有變量之間單值對(duì)應(yīng)關(guān)系的問(wèn)題，引出常量與變量的概念，也為隨后引出變量之間單值對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)而學(xué)習(xí)函數(shù)的定義做好鋪墊.接著，從具體到抽象，認(rèn)識(shí)變量之間單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，從而揭示函數(shù)、函數(shù)值的概念.函數(shù)的一般概念，即變化與對(duì)應(yīng)意義下的函數(shù)定義是本課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).最后，通過(guò)一個(gè)例題和兩個(gè)練習(xí)鞏固對(duì)函數(shù)、函數(shù)值概念的理解，引發(fā)自變量取值范圍的思考.

二、教學(xué)過(guò)程及注意事項(xiàng)

（一）我自學(xué)，我明白

1.自學(xué)教材P71內(nèi)容，思考下列問(wèn)題：

（1）汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s km，行駛時(shí)間為t h，填寫(xiě)下表，s的值隨著t的值的變化而變化嗎？

（2）每張電影票的售價(jià)為10元，如果早場(chǎng)售出票150張，午場(chǎng)售出205張，晚場(chǎng)售出310張，三場(chǎng)電影票的票房收入各多少元？若設(shè)一場(chǎng)電影售出票x張，票房收入為y元，y的值隨著x的值的變化而變化嗎？

（3）圓的半徑r分別為10 cm，20 cm，30 cm時(shí)，圓的面積S分別是多少？S的值隨著r的值的變化而變化嗎？

（4）用10米長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形.當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3 cm，3.5 cm，4 cm，4.5 cm時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別是多少？y的值隨著x的值的變化而變化嗎？

2.什么是變量？什么是常量？

3.試列舉生活中變量與常量的實(shí)例.

【注意事項(xiàng)】圍繞學(xué)生比較熟悉的例子（2個(gè)生活問(wèn)題、2個(gè)幾何問(wèn)題），有助于學(xué)習(xí)興趣的激發(fā).常量是不發(fā)生變化的量，變量是變化的量，都是針對(duì)某個(gè)變化過(guò)程而言的.本節(jié)不宜過(guò)早提及常量可做特殊的變量的情況，以免造成常量和變量的混淆.

（二）我思考，我辨析

1.試用數(shù)學(xué)式子表示上述（1）-（4）變化過(guò)程中變量和常量間的關(guān)系.

2.思考：（1）-（4）中是否各有兩個(gè)變量？（是）同一個(gè)問(wèn)題中的變量之間有什么聯(lián)系？填表說(shuō)明.

序號(hào)關(guān)系式變量之間的對(duì)應(yīng)值

歸納：上面每個(gè)問(wèn)題中有兩個(gè)變量，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).

3.下面問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間還有上述關(guān)系嗎？

（5）李明的數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)成績(jī)m與單元數(shù)n之間的關(guān)系.

（6）北京市某日8時(shí)到次日5時(shí)，氣溫T/℃與時(shí)間t/時(shí)之間的關(guān)系.

【注意事項(xiàng)】教材是通過(guò)學(xué)生探索實(shí)際問(wèn)題中存在的大量的變量之間關(guān)系，抽象出函數(shù)的概念的，它讓學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中，感受兩個(gè)變量之間存在一定的關(guān)系，它們的表示方式是多樣的，如可以通過(guò)列表的方法表示，可以通過(guò)畫(huà)圖像的方法表示，還可以通過(guò)列解析式的方法表示，但都有著共性：其中一個(gè)變量依賴(lài)于另一個(gè)變量，從而使學(xué)生能更好地理解函數(shù)的概念，為后面學(xué)習(xí)各種函數(shù)打好基礎(chǔ).這樣的素材很多，教學(xué)中盡可能選擇學(xué)生身邊的實(shí)例，更有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維參與和情感參與.

（三）我歸納，我增長(zhǎng)

如上述問(wèn)題，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù).如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b，那么b叫作自變量x=a時(shí)的函數(shù)值.

【注意事項(xiàng)】引例（3）和（5）中y對(duì)x是單值對(duì)應(yīng)，因此，y是x的函數(shù);但x對(duì)y不是單值對(duì)應(yīng)，因此，x不是y的函數(shù).本節(jié)教學(xué)問(wèn)題暗示了哪個(gè)變量是自變量，不需要著重討論兩個(gè)變量是否都可以作為自變量的問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生在課堂的表現(xiàn)而定.函數(shù)概念的表述比較抽象，學(xué)生往往不能一下子從其定義理解其內(nèi)涵，教學(xué)中注意由具體例子逐步過(guò)渡到抽象定義，有了定義后，還需要適當(dāng)用具體例子對(duì)定義中的文字加以解釋.另外，函數(shù)與函數(shù)值學(xué)生也易混淆，需要適當(dāng)結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)不同的函數(shù)值，函數(shù)是變量，函數(shù)值是常量，結(jié)合函數(shù)定義，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)y唯一確定，但x不一定唯一.

（四）我練習(xí)，我提高

1.指出上述（1）—（6）問(wèn)題中，誰(shuí)是自變量？誰(shuí)是自變量的函數(shù)？自變量可以任意取值嗎？它們的取值范圍分別是什么？

2.判斷下面兩個(gè)變量之間是否是函數(shù)關(guān)系？

【注意事項(xiàng)】練習(xí)是思考探究的自然延續(xù)，環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題設(shè)置，讓課堂教學(xué)遞進(jìn)攀升、相互融合，實(shí)現(xiàn)“有意而為，無(wú)意而成”的意境，達(dá)到“真水無(wú)香，教育無(wú)痕”的效果.練習(xí)1中自變量的取值范圍，不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，而且要使實(shí)際問(wèn)題有意義，教學(xué)中不做過(guò)多過(guò)深的延伸.學(xué)生對(duì)練習(xí)2并不陌生，特別是小學(xué)階段，這樣暗含程序性運(yùn)算的例子很多，卻不曾關(guān)注過(guò)其中隱藏的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生注意函數(shù)存在于許多數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，以函數(shù)的觀點(diǎn)可以重新認(rèn)識(shí)已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.練習(xí)3的難度提升了一個(gè)層次，再次將問(wèn)題聚焦到“y是否是對(duì)x的單值對(duì)應(yīng)？”，加強(qiáng)函數(shù)定義的理解，作為機(jī)動(dòng)練習(xí)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況而定.

（五）我小結(jié)，我收獲

1.學(xué)生小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（學(xué)生暢談）

2.教師小結(jié)：

（1）知識(shí)總結(jié)：

函數(shù)概念的要素：

① 兩個(gè)變量x與y;

② x的值確定后，y有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).

函數(shù)值的概念：如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b，那么b叫作自變量x=a時(shí)的函數(shù)值.

x=a時(shí)，y=b（b是唯一的）;y=b時(shí)，x=a（a可能不唯一）.

函數(shù)的表達(dá)形式：數(shù)學(xué)式子、列表格、畫(huà)圖形.

（2）學(xué)法指導(dǎo)：

【注意事項(xiàng)】課堂小結(jié)并不是知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)和羅列，小結(jié)須立足“四基”，強(qiáng)調(diào)知識(shí)技能的同時(shí)，積累思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).學(xué)生的小結(jié)往往具有“漫談”的色彩，需要教師引導(dǎo)梳理，重難點(diǎn)問(wèn)題著重強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生更加明晰本節(jié)知識(shí)脈絡(luò)，感受到自己的進(jìn)步，激勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)步.

（六）我作業(yè)，我發(fā)展

必做題：1.列舉幾個(gè)身邊函數(shù)的實(shí)例;

2.習(xí)題19.1復(fù)習(xí)鞏固1、2題.

選做題：習(xí)題19.1綜合運(yùn)用10、11題.

【注意事項(xiàng)】尊重學(xué)生的個(gè)體差異，為不同學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造條件，作業(yè)分層推薦，以滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的需求.及時(shí)搜集掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，及時(shí)回授評(píng)定，以便有針對(duì)性地組織質(zhì)疑和講解，幫助學(xué)生克服思維障礙，補(bǔ)救知識(shí)或方法方面的漏洞.

（七）板書(shū)設(shè)計(jì)

【注意事項(xiàng)】板書(shū)力求內(nèi)容精當(dāng)，線索清晰，布局合理，書(shū)寫(xiě)工整，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特征.

三、教學(xué)感悟與思考

函數(shù)教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，變量與函數(shù)的教學(xué)就是這條主線的轉(zhuǎn)折點(diǎn).本節(jié)課的核心知識(shí)是函數(shù)的概念，它融數(shù)學(xué)抽象、建模思想、邏輯想象為一體，承載著發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要作用，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)之旅也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的必經(jīng)之路.函數(shù)概念很抽象，因此，教學(xué)中不可一蹴而就.突破重難點(diǎn)的策略是突出“變化”和“對(duì)應(yīng)”的思想.從概念的起源來(lái)看，函數(shù)是隨著數(shù)學(xué)研究事物的運(yùn)動(dòng)、變化而出現(xiàn)的，它刻畫(huà)了客觀世界事物間的動(dòng)態(tài)變化和相互依存的關(guān)系，這種關(guān)系反映了運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間的制約關(guān)系.因此，變化是函數(shù)概念產(chǎn)生的源頭，是制約概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)也是概念教學(xué)的一個(gè)重要突破口.通過(guò)大量的、典型的生活實(shí)例，讓學(xué)生反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析每個(gè)具體問(wèn)題的量與量之間的變化關(guān)系，把靜止的表達(dá)式看成動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，讓他們從原來(lái)的常量、代數(shù)式、方程式和算式的靜態(tài)的關(guān)系中，逐步過(guò)渡到變量、函數(shù)這些表示量與量之間的動(dòng)態(tài)的關(guān)系上，使學(xué)生初步感知“大千世界，萬(wàn)物皆變”，函數(shù)就是研究這種變化的數(shù)學(xué)模型.今后，學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步對(duì)“函數(shù)的圖像”“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”“反比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)，對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知也會(huì)隨之呈現(xiàn)螺旋式上升.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑，知識(shí)不是目的，能力也不是全部目的，學(xué)生素養(yǎng)提升才是最終目的.在眾多素養(yǎng)中，只有抓住了核心素養(yǎng)，才可能實(shí)現(xiàn)教學(xué)的全部目的.