“直線的參數(shù)方程”(第一課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

王進(jìn)

一、教材分析

本課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)（選修4-4）人教A版第二講第三節(jié)第一課時(shí).參數(shù)方程相對(duì)普通方程，是曲線的另一種表達(dá)形式，它彌補(bǔ)了普通方程表示曲線方程的不足，是“數(shù)”與“形”的又一次完美結(jié)合.本節(jié)是在認(rèn)識(shí)了曲線的參數(shù)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究直線的參數(shù)方程.

本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容是前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的延續(xù)，符合數(shù)學(xué)邏輯，所涉及的研究方法可類比之前研究圓和圓錐曲線的參數(shù)方程的方法，具有延續(xù)性.從本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)分析，學(xué)習(xí)過程中歷經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在討論和比較中充分體會(huì)直線的參數(shù)方程在解決直線上兩點(diǎn)間距離時(shí)的優(yōu)越性，體會(huì)直線的參數(shù)方程的應(yīng)用價(jià)值.通過上述過程，學(xué)生完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)，體會(huì)到直線的參數(shù)方程式參數(shù)方程內(nèi)容的延續(xù)、方法的再現(xiàn)，并從中培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣和使用類比的方法來研究問題，提高應(yīng)用意識(shí).

二、學(xué)情分析

在必修2已學(xué)習(xí)了直線的5種方程和圓的兩種方程，在選修2-1也已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程，這些都是在直角坐標(biāo)系中建立的普通方程;在本冊(cè)第二講的前兩節(jié)剛剛學(xué)習(xí)圓錐曲線的參數(shù)方程，會(huì)普通方程和參數(shù)方程的互化，體驗(yàn)了參數(shù)方程在解決問題（如最值問題、定值問題）中的一些應(yīng)用，對(duì)參數(shù)方程在求軌跡與解題方面的優(yōu)越性有了一定的體驗(yàn).

從方法上看，關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選擇，圓的參數(shù)方程中參數(shù)是從物理意義引入，再闡明其幾何意義，拋物線的參數(shù)選擇有兩個(gè)方向，首先在參數(shù)方程的引例中物理意義引入，在后面拋物線的參數(shù)方程中，又得到了兩種幾何意義上的參數(shù).直線的參數(shù)方程中參數(shù)的選定對(duì)學(xué)生相當(dāng)困難，雖然可以根據(jù)確定直線的幾何條件聯(lián)想到向量，但是，如何建立聯(lián)系是難點(diǎn)，特別是學(xué)生對(duì)單位向量不了解.授課對(duì)象為山東省聊城第三中學(xué)高二下學(xué)期學(xué)生，學(xué)生對(duì)平面向量（高一必修四學(xué)習(xí)過）的知識(shí)有所遺忘，但學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣較好，課堂所設(shè)計(jì)的問題基本解決.

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

根據(jù)內(nèi)容解析與學(xué)情分析，參照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的要求，作為第一課時(shí)，確定這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）通過確定直線的幾何條件，引導(dǎo)學(xué)生利用向量工具建立直線的參數(shù)方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng);會(huì)求解直線上兩點(diǎn)間的距離，直線上某些特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，體會(huì)參數(shù)方程相對(duì)普通方程的優(yōu)越性，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);在參數(shù)方程推理過程中，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);

（2）體會(huì)從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在參數(shù)方程中的應(yīng)用;

（3）體會(huì)參數(shù)在應(yīng)用的過程中要經(jīng)歷引參、用參、消參，體會(huì)參數(shù)的“無私奉獻(xiàn)的精神”，對(duì)學(xué)生適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行情感態(tài)度價(jià)值觀培養(yǎng).

根據(jù)以上背景分析與目標(biāo)分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：直線的參數(shù)方程中對(duì)參數(shù)幾何意義的理解以及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：直線的參數(shù)方程中參數(shù)的選擇、直線的單位方向向量的確定.

四、教學(xué)設(shè)計(jì)思路與教法分析

按照提出問題—獨(dú)立思考—探究合作—小組展示—應(yīng)用回顧的順序，學(xué)習(xí)的過程中，體驗(yàn)從特殊到一般，一般到特殊探索、解決問題的途徑.在數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的過程中，在提出問題、解決問題的過程中，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)方法：根據(jù)新課程理念，堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則，結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)，本節(jié)主要采用啟發(fā)學(xué)生自主探究和引導(dǎo)小組討論的教學(xué)方法，并借助多媒體輔助教學(xué)來提高課堂效率.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）問題引入

教師引語：同學(xué)們，我們?cè)诒匦?已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的五種方程，在選修2-1也已學(xué)習(xí)了圓錐曲線的普通方程，在本冊(cè)前面兩節(jié)，我們剛剛學(xué)過圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程，體會(huì)到了參數(shù)方程在解決最值、距離等問題時(shí)的優(yōu)越性，那么直線的參數(shù)方程是什么呢？它又會(huì)給我們帶來哪些驚喜呢？下面我們進(jìn)入今天的學(xué)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系前面的知識(shí)，回憶有關(guān)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生興趣，面對(duì)解析幾何部分學(xué)生有些望而生畏，本節(jié)又激發(fā)了學(xué)生學(xué)好解析幾何的信心.

展示本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo).

問題1

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線需要哪幾個(gè)條件？

（2）當(dāng)已知直線上一個(gè)定點(diǎn)（x0，y0），傾斜角為α?xí)r說出直線的方程.

（3） ①數(shù)乘向量λa的長度與方向是怎樣規(guī)定的？

② 共線向量定理

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考后回答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本源性的知識(shí)回顧.第（1）個(gè)問題中，學(xué)生說兩個(gè)點(diǎn)，或是一個(gè)點(diǎn)和斜率，在此就暴露了學(xué)習(xí)中的不嚴(yán)謹(jǐn).緊接著第（2）個(gè)問題，學(xué)生使用了點(diǎn)斜式方程，但又忽略了斜率不存在的情況，在此糾正錯(cuò)誤，并為參數(shù)方程中不需討論傾斜角等不等于90度埋下伏筆;另外，從向量的角度，傾斜角體現(xiàn)了方向，一個(gè)點(diǎn)，為直線參數(shù)方程的推導(dǎo)中向量這個(gè)工具的引入打下基礎(chǔ).第（3）個(gè)問題，學(xué)生可能不知道和本節(jié)課的聯(lián)系，但在接下來借助向量的運(yùn)算中推導(dǎo)參數(shù)的幾何意義提供理論依據(jù)，讓學(xué)生體會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)直線和向量知識(shí)的回顧，回歸本源，啟發(fā)知識(shí)聯(lián)想，為利用向量解決參數(shù)方程問題做好鋪墊.在此體會(huì)解析幾何研究問題的視角，數(shù)與形的結(jié)合.

（二）新知探究

問題2

（1）如何利用傾斜角α寫出直線l的單位方向向量e？并說明e的方向;

（2）如何用e和M0的坐標(biāo)表示直線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)？

師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教材后思考，然后小組討論，并將討論結(jié)果展示.第（1）個(gè)問題中表示單位方向向量e時(shí)用到了任意角三角函數(shù)的定義，這里體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，并體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系（本身向量和三角函數(shù)就有很緊密的聯(lián)系），說明e的方向需要數(shù)形結(jié)合來看;第（2）個(gè)問題是難點(diǎn)，在此需要引入?yún)?shù)，怎么想到設(shè)t，學(xué)生在已經(jīng)閱讀完教材后再回答，難度降低，在此用到了共線向量基本定理，又是基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到基礎(chǔ)的重要性.