主線問題驅(qū)動的線性代數(shù)教學(xué)改革

袁磊 李元敏

【摘要】針對目前線性代數(shù)課程教學(xué)所面臨的問題，倡導(dǎo)以線性方程組的求解為主線問題，串聯(lián)整個課程內(nèi)容，以問題驅(qū)動的方式組織和展開教學(xué).教學(xué)實(shí)踐表明，這種主線問題驅(qū)動的教學(xué)方式，不僅有助于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，也有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力;客觀上也提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主動性和積極性.

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動式教學(xué);線性代數(shù)主線問題;課程教學(xué)改革

目前在高校各個專業(yè)，線性代數(shù)已經(jīng)成為一門重要的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課.它不僅為學(xué)生許多后繼專業(yè)課提供必要的理論知識和工具，而且對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力起著無可替代的作用.

從教學(xué)的角度，除了讓學(xué)生掌握一些基本的理論、方法和概念外，還應(yīng)適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用抽象理論解決問題的能力.這一點(diǎn)也已經(jīng)成為對該課程教學(xué)的基本共識.

一、目前線性代數(shù)教學(xué)存在的問題

通常在國內(nèi)高校數(shù)學(xué)公共課安排上，線性代數(shù)是安排在高等數(shù)學(xué)之后.因而，在此課程之前，學(xué)生已經(jīng)接受了一定程度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，具備了一定的抽象邏輯思維能力.但從教學(xué)實(shí)踐上看，學(xué)生仍然感到有較大困難.究其原因，主要有如下兩個方面：

一是課程內(nèi)容的自身特點(diǎn).線性代數(shù)理論抽象，概念龐雜，要真正掌握，必須具備一定對抽象概念的理解能力.同時在內(nèi)容構(gòu)成上，各個構(gòu)成部分條塊明顯.學(xué)生難以在整體上把握和理解課程的理論體系和邏輯框架，容易犯“見木不見森林”的錯誤.

二是授課方式.教學(xué)過程中，教師通常要么強(qiáng)調(diào)理論的系統(tǒng)性，授課中思維跨度過大，學(xué)生跟不上教師的思維;要么強(qiáng)調(diào)計算能力.不僅使學(xué)生缺乏抽象思維的訓(xùn)練，而且也與當(dāng)下信息技術(shù)滲透到線性代數(shù)課程的大趨勢相背離.

從而在課堂教學(xué)中，教師難以充分調(diào)動學(xué)生的積極性;學(xué)生普遍感到課程抽象、乏味且不易把握重點(diǎn).教師和學(xué)生都認(rèn)為線性代數(shù)是一門比較難講授和掌握的課程.

二、國內(nèi)外教改的方法和思路

由于代數(shù)學(xué)在整個數(shù)學(xué)教育中的基礎(chǔ)性和重要性，對線性代數(shù)課程的教學(xué)改革一直是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育界比較關(guān)注的問題.

對數(shù)學(xué)專業(yè)的課程教改，主要是從現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的角度來重新審視與認(rèn)識這門課程.如，從模的觀點(diǎn)來重新審視與認(rèn)識線性代數(shù)[1].還有一些教材是從線性空間的理論框架闡述線性代數(shù)的整個內(nèi)容[2].這些處理方法雖在數(shù)學(xué)上更為本質(zhì)，但對非數(shù)學(xué)專業(yè)的教學(xué)，理論的闡述和概念的引入要符合學(xué)生的接受心理和認(rèn)識水平.現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和角度只能讓我們從宏觀的把握線性代數(shù)教改的方向.

對非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)改革主要有如下的兩種思路和途徑.

一是從課程內(nèi)容的組織上.Lay[3]認(rèn)為線性代數(shù)應(yīng)該是矩陣導(dǎo)向的課程，應(yīng)該從具體的例子出發(fā)來引入概念和介紹理論.另一些學(xué)者強(qiáng)調(diào)應(yīng)從學(xué)習(xí)的心理過程出發(fā)，如Robert[4]等就認(rèn)為幾何化（可視化）才能夠真正建立學(xué)生的“概念意象”.從而克服抽象的困難和形式化的障礙.還有一些學(xué)者直接從數(shù)學(xué)建模的角度來組織課程教學(xué)，如Trigueros[5]等學(xué)者就嘗試用經(jīng)濟(jì)學(xué)的模型問題來引入教學(xué)內(nèi)容.

二是從教學(xué)的授課形式上，主要是信息技術(shù)的引入.在國外的教學(xué)實(shí)踐中，已經(jīng)將計算機(jī)引入到線性代數(shù)的整個課堂教學(xué)中.如在麻省理工開放課程（MIT Open Course 18.06）[6]課堂上，教師在講解課程內(nèi)容的同時，還利用計算機(jī)模擬演示教學(xué)內(nèi)容，將抽象的代數(shù)概念形象化的表示，同時還注重教會學(xué)生如何利用計算機(jī)解決課程中的問題.

麻省理工學(xué)院的這種教學(xué)方式必定是今后教學(xué)改革的主要方向，但目前和我們的實(shí)際并不完全契合.目前從整個大學(xué)線性代數(shù)的教學(xué)要求上看（課程教學(xué)大綱和考研數(shù)學(xué)大綱），仍然強(qiáng)調(diào)的是對基礎(chǔ)理論和方法的掌握.直接引入國外的這種教學(xué)方式，必定會對學(xué)生今后的升學(xué)等諸多方面產(chǎn)生不良影響，所以麻省理工學(xué)院模式的教學(xué)改革需要頂層設(shè)計.不過我們的教學(xué)改革可以從其中汲取營養(yǎng)，做出一些有益的探討.實(shí)際上將計算機(jī)引入線性代數(shù)課程教學(xué)，國內(nèi)一些學(xué)者已經(jīng)做了大量的嘗試[7].這些嘗試主要是將一些計算軟件（如Matlab、Mathematica、Maple等）引入教學(xué).通常都是編寫一定量的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，作為教學(xué)的補(bǔ)充.

隨著高等教育人才培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)型和現(xiàn)代信息化技術(shù)對教學(xué)的滲透和影響，傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)模式應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)循序漸進(jìn)的改進(jìn).我們認(rèn)為教學(xué)改革的主要思路應(yīng)該是基于對線性代數(shù)基本體系和問題的認(rèn)識.重新組織和選擇教學(xué)材料，從而重新構(gòu)建教學(xué)的過程和模式.

根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，線性代數(shù)作為代數(shù)學(xué)一個最初等的分支，研究一類最簡單的代數(shù)系統(tǒng)：線性空間及其同態(tài)映射.對非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程教學(xué)，教學(xué)改革的目標(biāo)是將上述這一抽象的系統(tǒng)，用恰當(dāng)且容易理解的方式進(jìn)行改造和重述，使得作為初學(xué)者的學(xué)生易于理解和把握.

三、問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)模式

線性代數(shù)從內(nèi)容上看，理論抽象、概念繁雜.從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上看，各部分內(nèi)容相對獨(dú)立，呈塊狀結(jié)構(gòu).主要內(nèi)容包括：行列式，矩陣，線性方程組，向量理論，特征值與特征向量和二次型理論.實(shí)際上，可以從矩陣、線性方程組、線性代數(shù)體系、向量理論等不同的角度組織的教學(xué)，其展開過程主要取決于如何串聯(lián)這些分塊內(nèi)容的邏輯脈絡(luò).如何根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的心理規(guī)律，把課程的內(nèi)容有機(jī)的串聯(lián)在一起，將各種抽象概念通俗易懂的闡述，使得缺乏抽象數(shù)學(xué)訓(xùn)練的學(xué)生也能較好地接受這些概念是教學(xué)改革的關(guān)鍵.

我們認(rèn)為應(yīng)該從學(xué)生今后專業(yè)應(yīng)用的角度出發(fā)，選擇一個主要問題為主線來串聯(lián)組織內(nèi)容.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中受到這個主要問題的驅(qū)動，自然而然的理解相關(guān)的抽象概念，對課程內(nèi)容整體把握，最終達(dá)到“既見樹木也見森林”的學(xué)習(xí)效果.

（一）問題驅(qū)動下的教學(xué)模式的研究

眾所周知，問題是誘發(fā)思維的直接動力.在教學(xué)過程中，往往可以通過對問題的解決激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.李尚志教授在組織國家精品課程編寫和教材時就是從問題出發(fā)來組織課程內(nèi)容[8].趙慧斌[9]認(rèn)為問題驅(qū)動的目的是讓學(xué)生參與到課堂教學(xué)當(dāng)中，通過引導(dǎo)學(xué)生思索，提問題和做結(jié)論，來推動學(xué)生進(jìn)行課堂學(xué)習(xí)，強(qiáng)化教學(xué)的互動效應(yīng).其他的一些學(xué)者也沿著這樣的思路做了一些有益的探討[10-11].這些教學(xué)的方法都是針對課程中的具體內(nèi)容，引入不同的問題.由此構(gòu)成教學(xué)中的“問題鏈”引導(dǎo)學(xué)生逐步地理解和掌握課程內(nèi)容.

還有一些學(xué)者從另外的角度，提倡以實(shí)際應(yīng)用問題驅(qū)動線性代數(shù)課程教學(xué)[12].

（二）問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)改革思路

用“問題鏈”方法可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，起到了一定的教學(xué)效果.但我們也注意到用分散的“問題鏈”仍然沒有很好地解決線性代數(shù)課程結(jié)構(gòu)分散模塊化的問題.初學(xué)者對各個概念的理解可以有所改善，但難以在整體上把握.這些概念，理論和方法給初學(xué)者的印象仍然是分散的，沒有形成統(tǒng)一的有機(jī)體.此外以實(shí)際應(yīng)用問題驅(qū)動、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣當(dāng)然是一種值得嘗試的手段，但由于目前各高校線性代數(shù)課程的學(xué)時通常較少，實(shí)際應(yīng)用問題的引入受到較大的學(xué)時限制.另一方面，也受限于教師自身的專業(yè)背景，恐難推廣.所以，我們認(rèn)為問題驅(qū)動的教改還是應(yīng)從課程本身尋找一個合適的主線問題.

我們提倡以主線問題“討論線性方程組Ax=b的求解”驅(qū)動的方式組織整個教學(xué).原因主要有如下的兩方面：一是對理工科和經(jīng)管農(nóng)林類學(xué)生，在他們今后專業(yè)應(yīng)用上都會大量的利用計算機(jī)解決實(shí)際的科學(xué)和工程應(yīng)用問題.而這些問題最終絕大部分都會退化到解決一個線性方程組.掌握線性方程組求解的相關(guān)理論和方法，對他們進(jìn)一步地深入專業(yè)學(xué)習(xí)和今后的應(yīng)用是重要的.另一方面，線性方程組的求解在課程結(jié)構(gòu)上也是一條容易讓初學(xué)者進(jìn)入的路徑.

（三）主線問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)改革實(shí)踐

組織教學(xué)材料的基本的思路是：討論線性方程組Ax=b求解所涉及的理論、工具和方法.在教學(xué)的過程中始終貫徹這個主線問題.用這條主線去串聯(lián)、組織和重構(gòu)教學(xué)材料.凡是和這條主線（完全）無關(guān)的內(nèi)容，都少講甚至不講.讓學(xué)生以問題為導(dǎo)向去理解這些抽象的概念，理論和方法，最終覺得這些概念的提出都是自然的，絕大部分都是他們自己可以通過自身的努力可以想到的.

同時我們也適當(dāng)?shù)乜紤]在現(xiàn)代信息技術(shù)影響下，教學(xué)內(nèi)容的一些取舍問題.之所以是“適當(dāng)?shù)亍保蛟谟谀壳罢麄€教學(xué)體系和教學(xué)大綱存在一定的剛性，如前所述，這方面最終需要一些頂層設(shè)計.在教學(xué)實(shí)踐上，我們做了如下的一些嘗試：

1.行列式理論

行列式理論引入就是解決方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組的問題.通過低階方程組引入低階行列式作為求解的工具，研究其定義的規(guī)律引入n階行列式，從而一般的規(guī)律（克萊姆法則）.但弱化只具有理論價值的克萊姆法則的計算.適當(dāng)?shù)亟档托辛惺降挠嬎阋?通常在工程應(yīng)用中，都可以通過相關(guān)的計算軟件完成.對學(xué)生要求掌握基本的方法即可.不必把有限的教學(xué)時間放在復(fù)雜的計算和技巧上.

2.矩陣?yán)碚?/p>

從線性方程組表示的角度引入矩陣的運(yùn)算.從消元法的角度引入矩陣的初等變換，并引入初等矩陣?yán)贸朔ń忉尦醯茸儞Q.逆矩陣也是從方程求解的逆元角度引入.弱化對矩陣運(yùn)算技能的要求，關(guān)鍵是掌握計算的基本方法.可以增加實(shí)驗(yàn)課，通過一些計算軟件（如Matlab）完成.

3.向量理論

在引入向量的運(yùn)算法則后，將線性方程組Ax=b的求解問題表示為向量形式.

這條講授的路線不同于常見的線性代數(shù)教材用初等變換的辦法得出上述結(jié)論的方法.雖然表面上稍復(fù)雜，但卻可以串聯(lián)起整個的向量理論，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的向量理論時始終圍繞求解線性方程組的主線問題，對引入的新概念、方法和工具不再感到零散和突兀.

4.線性方程組理論

利用向量線性表示得到的結(jié)論給出線性方程組解的理論，即方程可解的充要條件是Rank（A）=Rank（A，b）.在線性方程組解的結(jié)構(gòu)處理上，著重從（幾何角度）線性空間理論來解釋，即：齊次方程的解構(gòu)成一個（n-Rank（A）維）的線性空間，線性空間的一組基底即是方程的基礎(chǔ)解系.非齊次方程的解構(gòu)成一個仿射空間.這樣就可以將線性空間理論通過方程組的主線問題串聯(lián)到教學(xué)內(nèi)容中.

5.特征值和二次型理論

對特征值理論，不從算子或空間理論角度解釋.完全解釋成線性方程組理論在特征方程Ax=λx和矩陣上的應(yīng)用問題.對二次型的標(biāo)準(zhǔn)化過程也看作是線性方程組的應(yīng)用.

從教學(xué)的實(shí)踐上看，絕大部分學(xué)生對這種主線驅(qū)動教學(xué)的方式能夠接受.他們對課程整體內(nèi)容能夠很好地把握，對抽象龐雜的概念不再有明顯的畏難和抵觸情緒，達(dá)到了一定的教學(xué)效果.并且我們相信這種教學(xué)方式對他們今后的專業(yè)學(xué)習(xí)也是有益的.

四、結(jié) 語

線性代數(shù)課程由于其自身理論抽象，概念龐雜，各個理論部分分塊明顯，目前已經(jīng)成為高等教育數(shù)學(xué)公共課程教學(xué)的難點(diǎn).如何根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)心理過程機(jī)制，合理組織教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式和教學(xué)路徑是教學(xué)改革成功的關(guān)鍵.從教學(xué)的實(shí)踐上看，用一個主線問題串聯(lián)、組織課程的主要內(nèi)容進(jìn)行講授（即：用問題驅(qū)動的方式進(jìn)行教學(xué)），可以很好地統(tǒng)領(lǐng)整個教學(xué)中的各個環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，也利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Roman S.Advanced Linear Algebra[M].北京：世界圖書出版公司，2008.

[2]陳恭亮，葉明訓(xùn)，鄭延履.線性空間引論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[3]Lay D C.Linear Algebra and Its Applications，Addison-Wesley，1994.

[4]Dorier J L，Robert A，Robinet J，et al.The Obstacle of Formalism in Linear Algebra[M]∥ On the Teaching of Linear Algebra.Springer Netherlands，2000：85-124.

[5]Trigueros M，Possani E.Using an economics model for teaching linear algebra[J].Linear Algebra & Its Applications，2013（4）：1779-1792.

[6]Gilbert Strang.18.06 Linear Algebra.Spring 2010.Massachusetts Institute of Technology：MIT OpenCourseWare[OL].https：∥ocw.mit.edu.License：Creative Commons BY-NC-SA.

[7]吳贛昌.線性代數(shù)（理工類）：第3版[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2009.

[8]李尚志.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[9]趙慧斌.問題驅(qū)動是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008（4）：91-94.

[10]賈昭.線性代數(shù)問題驅(qū)動教學(xué)方法探究[J].求知導(dǎo)刊，2016（24）：106-106.

[11]師欽賢.對以問題驅(qū)動線性代數(shù)教學(xué)的研究[J].現(xiàn)代教育技術(shù)，2010：58-59.

[12]張杰，張清華，劉勇，等.融入現(xiàn)代計算技術(shù)的《線性代數(shù)》教材改革的實(shí)踐與探討[J].科學(xué)咨詢（科技·管理），2012（5）：123-125.