關(guān)于一道初中幾何試題的多種解法

唐小淋 任小清 何甜 楊婷

【摘要】幾何與圖形是初中階段四大板塊之一，在整體知識(shí)結(jié)構(gòu)中有著舉足輕重的作用.本文主要對(duì)一道初中幾何試題的第一小問給出多種證明方法，從不同角度出發(fā)，有助于提升學(xué)生的發(fā)散性思維.

【關(guān)鍵詞】面積相等法;構(gòu)造全等法;倍長(zhǎng)線段法;翻折圖形法;三角函數(shù)法

幾何與圖形是中考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，所占分值比重較大，盡管不同省份不同地區(qū)知識(shí)點(diǎn)比重分布不一，但幾何部分在中考中的比重幾乎占到30%到40%，可見幾何與圖形在初中階段的重要性.而關(guān)于幾何題的證明及其解法往往不止一種，但卻有一定的規(guī)律可循，因此，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)善于總結(jié)發(fā)現(xiàn)一類題目的解題方法.同時(shí)，這也就要求我們教師平時(shí)在上課中應(yīng)盡可能多地為學(xué)生提供不同的思路，這也有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

題目如圖1所示，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，PN⊥AC于點(diǎn)N，PM⊥AB于點(diǎn)M，CG垂直AB于點(diǎn)G.CG，PM，PN之間有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想.

CG=PM+PN.

方法一面積相等法

證明（如圖2所示）連接AP.

∵S△ABC=12AB·CG.

同時(shí)，S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB·PM+12AC·PN.

∵AB=AC，∴S△ABC=12AB·CG=12AB（PM+PN），

∴CG=PM+PN.

方法二構(gòu)造全等法

證明（如圖3所示）過點(diǎn)P向CG作垂線，垂足為點(diǎn)H.

∵PM⊥AB，CG⊥AB，PH⊥CG，

∴∠PMG=∠MGH=∠GHP=90°，

∴四邊形MGHP為矩形，MP=GH.

∵PH∥AB，∴∠HPC=∠ABC.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

故∠HPC=∠NCP.

∵PH⊥CG，PN⊥AC，∴∠PHC=∠CNP=90°，

而PC=CP，∴△HPC≌△NCP（AAS），

∴PN=CH，因此，CG=PM+PN.

方法三倍長(zhǎng)線段法

證明（如圖4所示）延長(zhǎng)MP，使PQ=PN，連接CQ.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴∠PMB=∠PNC，

∴∠BPM=∠CPN.

又∵∠BPM=∠CPQ，

∴∠CPN=∠CPQ，

而PC=PC，PN=PQ，

∴△PNC≌△PQC（SAS），

∴∠PNC=∠PQC=90°.

又∵∠QMG=∠MGC=∠MQC=90°，

∴四邊形MQCG為矩形，∴MQ=CG.

因此，CG=PM+PN.

方法四翻折圖形法

證明（如圖5所示）將△PNC繞線段PC翻折得到△PRC，

∴△PNC≌△PRC，

∴PN=PR，∠NCP=∠RCP.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠RCP，故CR∥MG.

∵PM⊥AB，CG⊥AB，∴PM∥CG，

∴∠BPM=∠BCG.

又∠BPM=∠CPN，而∠NPC=∠RPC，

∴∠BCG=∠RPC，∴PR∥CG.

∵PR∩PM=P，∴RM∥CG，∴四邊形MGCR為矩形.

∴MR=CG，∴CG=PM+PN.

方法五三角函數(shù)法

證明設(shè)BP=a，CP=b，∠ABC=α.

∵PM⊥AB，PN⊥AC，CG⊥AB，

∴∠PMB=∠PNC=∠BGC=90°.

在Rt△BMP中，PM=BP·sinα=a·sinα.

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACP=α.

在Rt△PNC中，PN=PC·sinα=b·sinα.

在Rt△BGC中，CG=BC·sinα=（a+b）·sinα，

∴CG=PM+PN.

以上給出了本題的五種證明方法，其實(shí)對(duì)此題還有其他的解法，例如，將方法三中的輔助線改為：延長(zhǎng)MP，過點(diǎn)C向MP的延長(zhǎng)線作垂線交于一點(diǎn)O，證明△PNC≌△POC即可.其實(shí)，對(duì)這類線段的和（差）問題證明的題目，有一個(gè)最基本的解法，就是可通過“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)對(duì)線段數(shù)量關(guān)系的證明.在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，即一題多解的能力，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、各種途徑探求解題方案，這樣既可展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，增加教學(xué)透明度，又有利于拓寬學(xué)生的思維，增加學(xué)生思維的靈活性與廣闊性，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).同時(shí)，對(duì)解同一道題目，若選擇的思維起點(diǎn)不一樣，其解決問題的復(fù)雜程度也不一樣，因此，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生去分析比較哪一種方法更具有優(yōu)勢(shì)，并靈活調(diào)整，使學(xué)生學(xué)起來游刃有余.

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔡斌.啟發(fā)學(xué)生思維突破初中幾何學(xué)習(xí)難點(diǎn)[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（4）：48-53.