多一點(diǎn)想少一點(diǎn)算

姜艷紅 余小芬 朱勇

【摘要】以2018年高考數(shù)學(xué)試題為例，分析了“多想少算”的十種策略：極限策略、觀察策略、數(shù)形結(jié)合策略、分離變量策略、猜想策略、設(shè)而不求策略、特殊化策略、正難則反策略、換元策略、巧用結(jié)論策略.

【關(guān)鍵詞】多想少算;高考;數(shù)學(xué)試題

【基金項(xiàng)目】四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（ZY16001）.余小芬系本文通訊作者.

2018年《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查.”其中，在能力要求方面強(qiáng)調(diào)：“能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.”“能根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.”由此可見(jiàn)，2018年高考數(shù)學(xué)命題依然堅(jiān)持“以能力立意”，堅(jiān)持“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的命題理念，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合、靈活應(yīng)用，檢測(cè)學(xué)生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，檢測(cè)考生的個(gè)性思維及學(xué)習(xí)潛能.因此，把握“多想少算”的解題策略是制勝高考的重要途徑，而所謂“多想少算”是指多做有價(jià)值的多向、多面、多次之想，少做盲目、繁雜、低效之算.[1]本文以2018年高考數(shù)學(xué)試題為例，分析“多想少算”的十種思維策略.

一、極限策略

極限策略是重要的數(shù)學(xué)解題策略之一，是“極限逼近”思想在解題中的滲透.通過(guò)有限化無(wú)限（或無(wú)限化有限）的方式，可以從宏觀上把握數(shù)或形的變化趨勢(shì)，避免細(xì)節(jié)討論的煩瑣.

例1（2018年全國(guó)Ⅱ卷理科3題）函數(shù)f（x）=ex-e-xx2的圖像大致為（）.

A

B

C

D

點(diǎn)評(píng)本題考查“由式識(shí)圖”，該題型是近年高考熱點(diǎn)題型，旨在考查學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像、性質(zhì)的把握，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決方法的靈活選擇.由極限思想分析：當(dāng)x→∞時(shí)，ex→+∞，e-x→0，x2→+∞，故 limx→+∞f（x）=limx→+∞exx2=+∞.同理， limx→-∞f（x）=-∞.因此，排除A，C，D選項(xiàng)，該策略避免了取值驗(yàn)證、求導(dǎo)分析等煩瑣計(jì)算.

二、觀察策略

通過(guò)選項(xiàng)支的特征，選取特殊值代入驗(yàn)證，是解答選擇題的一種常用策略途徑——否定3支.即只要能否定3支便自動(dòng)肯定第4支（而無(wú)須證明其正確），否則4個(gè)全是誤誘導(dǎo)，題目是錯(cuò)題.[2]

例2（2018年北京卷理科8題）設(shè)集合A={（x，y）|x-y≥1，ax+y>4，x-ay≤2}，則（）.

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）∈A

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2，1）A

C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0，（2，1）A

D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤32，（2，1）A

點(diǎn)評(píng)本題考查對(duì)含參平面線性區(qū)域的理解.通過(guò)觀察四個(gè)選項(xiàng)支的結(jié)構(gòu)形式，取a=0，得（2，1）A，故A，C錯(cuò)誤.再觀察B，D選項(xiàng)，取a=2，得（2，1）∈A，排除B.故選D.由此可見(jiàn)，通過(guò)觀察條件，選取特殊的a值代入驗(yàn)證，巧妙地回避了分類討論，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

三、數(shù)形結(jié)合策略

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.”可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合策略的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮數(shù)與形兩種信息的轉(zhuǎn)換及其優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)與整合.[3]

例3（2018年上海卷12題）已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：x21+y21=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，則|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值為.

點(diǎn)評(píng)解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將條件、結(jié)論中的代數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為幾何特征：如圖1所示，A，B位于圓上，半徑OA與OB夾角為60°，所求問(wèn)題為A，B兩點(diǎn)到定直線l的距離之和的最大值.由于A，B為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解含參太多，計(jì)算復(fù)雜.故利用梯形幾何特征將兩垂線段（梯形上、下底）的和轉(zhuǎn)化為弦AB中點(diǎn)到直線l的距離（梯形中位線），再利用圓的性質(zhì)判斷出滿足條件的弦AB中點(diǎn)位置，進(jìn)而求得最大值.

四、分離變量策略

分離變量是處理含參函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題的常見(jiàn)方法.通過(guò)分離變量，往往可避免對(duì)參數(shù)的討論，而把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求常見(jiàn)初等函數(shù)值域（或最值）問(wèn)題.

例4（2018年天津卷理科14題）已知a>0，函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，x>0， 若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)本題以分段函數(shù)為載體，考查一元二次含參方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.通過(guò)分離變量得：a=f（x）x=x+ax+2a，x<0，-x-2ax+2a，x>0.

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為曲線g（x）=x+ax，x<0，-x-2ax，x>0 與直線y=-a有兩個(gè)不同交點(diǎn)（如圖2所示），

再利用“雙勾函數(shù)”圖像性質(zhì)求解.避免了討論參數(shù)a、表示判別式Δ、求解不等式等煩瑣過(guò)程.

五、猜想策略

牛頓曾說(shuō)：“沒(méi)有大膽的猜想，就不會(huì)做出偉大的發(fā)現(xiàn).”而在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成的結(jié)論.學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過(guò)程[4]，這不利于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力及創(chuàng)新意識(shí).而猜想策略是解題者根據(jù)自身知識(shí)儲(chǔ)備、解題經(jīng)驗(yàn)、思維方式，結(jié)合問(wèn)題條件或?qū)嶒?yàn)現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)或可能存在的結(jié)果進(jìn)行大膽、合理的猜想.科學(xué)合理地猜想能有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，引導(dǎo)學(xué)生探索有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律和現(xiàn)象.

例5（2018年全國(guó)Ⅰ卷理科12題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）.

A.334

B.233

C.324

D.32

點(diǎn)評(píng)猜想并非憑空想象，而是依據(jù)題設(shè)條件，進(jìn)行合乎情理的猜想.如圖3所示，根據(jù)正方體的對(duì)稱性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為想象面A1BC1平移至面ACD1的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再根據(jù)對(duì)稱性及截面面積大小的增減變化，猜想出截面的最大位置為圖3中正六邊形MNEFGH，從而解決問(wèn)題.

六、設(shè)而不求策略

“設(shè)而不求”是指在解題時(shí)根據(jù)需要增設(shè)一些輔助元（參數(shù)）作為媒介以利于思考和解題，但在解題過(guò)程中并不求這些輔助元，而是巧妙地將其消去.采用設(shè)而不求的策略往往能避免盲目推演而造成的無(wú)益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡(jiǎn)捷的解題效果.[5]

例6（2018年全國(guó)Ⅲ卷理科16題）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=.

點(diǎn)評(píng)求解AB斜率，往往是求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計(jì)算.但直接計(jì)算較為煩瑣，因此，可根據(jù)M在拋物線準(zhǔn)線上，且∠AMB=90°，得到MA，MB為拋物線切線（如圖4所示）.再利用導(dǎo)數(shù)與斜率關(guān)系、兩點(diǎn)斜率公式分別建立關(guān)于yA，yB的方程，從而利用韋達(dá)定理、整體代入思想求解直線AB的斜率.

七、特殊化策略

特殊化策略是根據(jù)題設(shè)條件或選項(xiàng)支，選取滿足條件的特殊數(shù)值、特殊函數(shù)式或特殊方程進(jìn)行驗(yàn)證，從而排除選項(xiàng)的解答策略.[6]

例7（2018年浙江卷8題）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（）.

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

點(diǎn)評(píng)如圖5所示，本題可通過(guò)特殊化四棱錐的邊長(zhǎng)（例如，假設(shè)SA=SB=SC=SD=AB=4）、特殊化動(dòng)點(diǎn)E的位置（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E與AB中點(diǎn)Q重合，或當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E為BQ中點(diǎn)M），簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低思維難度，節(jié)約求解時(shí)間，提高解題效率.

八、正難則反策略

若從問(wèn)題的正面、順向出發(fā)，難以解決，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為反面，進(jìn)行逆向思考，即“正難則反”的解題策略.該解題策略實(shí)質(zhì)反映的是一種逆向思維.[3]

例8（2018年浙江卷16題）從1，3，5，7，9從中任取2個(gè)數(shù)，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）.

點(diǎn)評(píng)本題若正面求解，需討論選0與不選0的情況，其中選0又要注意不能放首位，因此，討論情形較為復(fù)雜，易重復(fù)或算漏.故本題從反面進(jìn)行考慮，先算出不重復(fù)的四位數(shù)（包括首位為0）的總數(shù)C24·C25·A44，再減去首項(xiàng)為0的總數(shù)C13·C25·A33，從而求得符合要求的四位數(shù)個(gè)數(shù).該策略減少了分類，降低難度.

九、換元策略

換元策略是變換思想的重要體現(xiàn)，它在解決方程、函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線等知識(shí)中有著廣泛的應(yīng)用.所謂換元策略是在解決問(wèn)題的過(guò)程中用一個(gè)“新變量”替換原問(wèn)題中的變量，以此減少變量個(gè)數(shù)、降低變量次數(shù)等，從而將原問(wèn)題中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化、明朗化.常見(jiàn)的換元方法有三角換元、整體換元、對(duì)稱還原、均值換元等.

例9（2018年浙江卷17題）已知P（0，1），橢圓x24+y2=m（m>1）上兩點(diǎn)A，B，滿足AP=2PB，則m=時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

點(diǎn)評(píng)本題可采用三角換元表示橢圓上動(dòng)點(diǎn)B（2mcosθ，msinθ），進(jìn)而利用向量共線的坐標(biāo)表示求得A（-4mcosθ，3-2msinθ），再利用點(diǎn)A與橢圓的位置關(guān)系建立方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)最值.避免了聯(lián)立直線方程與橢圓方程求解的煩瑣過(guò)程.

十、巧用結(jié)論策略

高考試題中常有一些重要結(jié)論的背景，利用重要結(jié)論解題是非常有效的策略.

例10（2018年全國(guó)Ⅱ卷理科11題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（）.

A.1-32B.2-3

C.3-12D.3-1

解析已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=θ，則離心率e=1sinθ+cosθ.由此結(jié)論，易求e=sin90°sin30°+sin60°=3-1，故選D.

點(diǎn)評(píng)由解析可見(jiàn)，靈活運(yùn)用結(jié)論，就可避免“小題大做”，節(jié)約解題時(shí)間，提高解題效率.特別指出，上述結(jié)論并非“繁難偏怪”，只需在焦點(diǎn)△PF1F2中，利用橢圓定義及正弦、余弦函數(shù)即可證明.事實(shí)上，若將上述“結(jié)論”中的條件更一般化，還可獲得結(jié)論：已知F1，F(xiàn)2是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，其中∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠PF2F1=λ，則離心率為e=sinαsinβ+sinλ.（有興趣的讀者可自行證明，此處略）

數(shù)學(xué)解題并沒(méi)有完全的模式化，解題的策略也往往不止一個(gè)，需要解題者根據(jù)已知信息進(jìn)行策略的決策，使得更加高效、優(yōu)化地解決問(wèn)題.[6]

【參考文獻(xiàn)】

[1]李雪梅，趙思林.基于多想少算的數(shù)學(xué)解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010（4）：19-21.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[3]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]李曉峰，周賽君.解析幾何問(wèn)題中的“設(shè)而不求”與“設(shè)而求之”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（10）：44-45.

[6]余小芬.函數(shù)客觀題“多想少算”的解題策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（7）：29-31.