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    因為發(fā)現(xiàn)了不同種類的無窮大,他進(jìn)了精神病院

    2019-10-18 02:38:22七君
    視野 2019年19期
    關(guān)鍵詞:集合論可數(shù)維特根斯坦

    七君

    長久以來,不光普通人鬧不明白,數(shù)學(xué)家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼,人人都聽說過它,但是卻不理解它,更沒有見過它的真面目。

    認(rèn)識這個暈倒的8么:∞

    它和8其實不是一個品種,它的本名叫做無窮大,它并不是一個數(shù)。

    無窮大,很奇怪,五歲的小朋友就能理解,無窮大有多大。比如你隨便想出一個數(shù)字,總可以再找一個比它大的數(shù)字。

    可是,無窮大是不是只有一個品種呢?

    第一個發(fā)現(xiàn)無窮大并不是只有一種的人,進(jìn)了精神病院。

    首先要明白的是,無窮大和8不一樣,它不是一個數(shù)。如果它是一個數(shù),那么你只要給它加個1,那么就可以產(chǎn)生一個比它更大的值了。顯然,無窮大并不參與你的這種加一游戲,你一要玩這種游戲,它就掉線。

    所以,無窮大到底是什么來頭?

    長久以來,不光普通人鬧不明白,數(shù)學(xué)家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼,人人都聽說過它,但是卻不理解它,更沒有見過它的真面目。后來,出現(xiàn)了一個人,他開始思考,無窮大會不會也有不同品種呢?

    他做了這樣一個思想實驗,并且發(fā)現(xiàn),一些無窮大,居然比其他的無窮大還要大。

    我們先從簡單的講起。有一種無窮大用人類的大腦還是能理解的,因為和常識比較接近嘛。

    比如,1, 2, 3, 4, 5, 6 ……這些正整數(shù)可以一直延伸到無窮大對吧?負(fù)整數(shù)也是一樣,-1, -2, -3, -4, -5, -6……

    隨便你說一個整數(shù),不管它有多大,只要你愿意寫,就可以一直寫到這個整數(shù)。換句話說,任意整數(shù)都可以被你安排到上面這列數(shù)字里。因此,列出這些無窮多個數(shù)字的集合,叫做可數(shù)無窮。

    其實,分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮哦。比如我們做這樣一個表出來:

    1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7……

    2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7……

    3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7……

    4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/7……

    5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7……

    ……

    隨便你想到一個什么樣的分?jǐn)?shù),它都可以在上面這個表里被找到,所以分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮。

    好的,那么,你能用同樣的方法,做出0-1之間所有的有理數(shù)和無理數(shù)的數(shù)列,或者表格么?如果你覺得可以,那我們來試試下面這個例子。假設(shè)你列出了所有0-1之間的數(shù),如下:

    0.82705736……

    0.31023865……

    0.62087906……

    0.55293091……

    0.75235073……

    ……

    我們現(xiàn)在就來證明,我總是可以造出一個0-1之間的數(shù),而且它絕對不在你列的這些無窮多的數(shù)里面。

    我是這樣干的,我取0.82705736……的8,0.31023865……的1……

    也就是畫一條對角線,取出這條對角線和你列出的這些數(shù)相交的部分,組成一個新的數(shù),也就是0.81095……現(xiàn)在我用這個0.81095……干這樣一件事,我把里面的1改成2,非1的數(shù)改成1,所以這個數(shù)就變成了:

    0.12111……

    這個數(shù)有什么奇怪的呢?奇怪就奇怪在,它肯定不在上面你列的那無窮多的數(shù)里面。

    我們來證明一下。比如,0.12111……的小數(shù)點(diǎn)后第1位(1)和你的第1個數(shù)0.82805736……的小數(shù)點(diǎn)后第1位的8不一樣…它的第2位(2)和你的第2個數(shù)0.31023865…的小數(shù)點(diǎn)后第2位的1不一樣……它的第3位(1)和你的第3個數(shù)0.62087906……的小數(shù)點(diǎn)后第3位的0不一樣……

    實際上,如果你說我造出的數(shù)和你的第N個數(shù)一樣,你喊你的那個第N個數(shù)出來,它敢答應(yīng)嗎?

    根據(jù)我設(shè)定的規(guī)則,我造的數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第N位,就是和你的第N個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第N位不一樣,它當(dāng)然不敢動啊。

    當(dāng)然,除了我設(shè)定的這種造數(shù)規(guī)則,還有其他各種各樣的規(guī)則,可以把0.81095……變成列表里沒有的數(shù)。

    所以,0-1之間的數(shù),不是可數(shù)無窮。這個無窮大,比自然數(shù)的無窮大可要大多了,因為自然數(shù)的無窮大還可以被你列表,但是0-1之間的數(shù)卻永遠(yuǎn)沒辦法列出來。

    那就給這樣的無窮大取個名字唄,就叫不可數(shù)無窮吧。

    當(dāng)然,發(fā)現(xiàn)無窮大還可以這樣玩的人,并不像我這樣開心。

    這個人,是個戰(zhàn)斗種族裔,在自帶不開心的種族屬性的德意志受的教育。他的名字,叫做格奧爾格·康托爾(Georg Cantor)。

    他是在1874年的時候發(fā)現(xiàn)了無窮大的野生品種這個秘密的,并且為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個核心——集合論打下了基礎(chǔ)。不過,當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們各種不適應(yīng)無窮大新品種的概念,他們各種嘲笑康托爾。

    同時期的數(shù)學(xué)家有多么不理解他的研究呢?

    比如,法國最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊這樣評價康托爾的集合論:“后世的人會把集合論看做一個人曾經(jīng)生過的一場病?!?/p>

    又比如,1881年哈勒·維騰貝格大學(xué)(Martin-Luther-University Halle-Wittenberg)的數(shù)學(xué)家愛德華·海涅(Eduard Heine)去世后,康托爾推薦了三個數(shù)學(xué)家頂替他的位子,分別是理查德·戴德金(Richard Dedekind)、安里西·韋伯(Heinrich Weber)、弗朗茨·梅滕斯(Franz Mertens)。但好死不死,這三個人都拒絕了康托爾的提名,不肯過來。

    別說德高望重的數(shù)學(xué)家的隔空放炮,就連身邊的多年好友也不理解他。

    1885年,他多年的好友、瑞典數(shù)學(xué)家哥斯塔·米塔·列夫勒(G?sta Mittag-Leffler)變成了高級黑,勸他把一篇論文從頂級數(shù)學(xué)期刊——《數(shù)學(xué)學(xué)報》(Acta Mathematica)上撤稿,理由是這篇文章“早了100年”。

    就連他常年的好友、數(shù)學(xué)家赫爾曼·施瓦茨(Hermann Schwarz)和戴德金也為了避嫌而分別在1880年和1882年和康托爾中斷了往來。

    搞到后來,同時代的大佬哲學(xué)家,比如維特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)都蹦出來添亂,說康托爾的集合論挑戰(zhàn)了他們對上帝的看法,簡直大不敬。

    公元前5世紀(jì),畢達(dá)哥拉斯的門徒希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn) 是無理數(shù),證明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所認(rèn)為的“所有數(shù)都是有理數(shù)”的看法是錯的。

    死人是不能出賣這個秘密的,因此畢達(dá)哥拉斯的其他門徒把希帕索斯丟到海里淹死了,史稱第一次數(shù)學(xué)危機(jī)……

    而在兩千年后,發(fā)現(xiàn)了兩個有理數(shù)之間夾著無窮多無理數(shù)的康托爾,就這樣,在這些數(shù)學(xué)家們的強(qiáng)烈鄙視和一連串暴擊之下,在1884年被生生地懟抑郁了,在人生的最后階段都不想搞數(shù)學(xué)了,一心一意地?fù)湓谏勘葋喓透ヌm西斯·培根之間的關(guān)系上。

    最后,康托爾住進(jìn)了德國哈勒的精神病院,并且死在了那里。

    好在死后又過了數(shù)十年,康托爾終于被平反。

    曾經(jīng)罵他瀆神的維特根斯坦也良心發(fā)現(xiàn),親自撰文哀悼,說當(dāng)時學(xué)術(shù)界指責(zé)集合論的說法是“可笑”、“錯誤”的“無稽之談”。

    德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert)揮一揮手,人都被你們逼死了,你們都別說了:

    “沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去?!保ˋus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k?nnen.)

    所以,看不懂無窮大又有什么關(guān)系呢……你只不過犯了和龐加萊、戴德金、維特根斯坦……一樣的錯。你總是可以找到犯了這個錯的人,而且TA不在前面這串人名里。

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