曲線相切問(wèn)題初探

☉江蘇省張家港市高級(jí)中學(xué) 張新秀

一、提出問(wèn)題

（1）求橢圓的方程.

（2）橢圓上是否存在點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)A（t，0）（其中0＜t＜3）的距離的最小值為1？若存在，求出t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，解得，從而橢圓的方程為

圖1 t=2時(shí)

但課后，有位同學(xué)問(wèn)了筆者一個(gè)問(wèn)題：老師，您用函數(shù)最值法來(lái)解這道題，我想“以A為圓心，1為半徑的圓與已知橢圓相切”是不是確定t的值更簡(jiǎn)單呢？如果行，那又為什么得到，與您的結(jié)果不同呢？

二、教學(xué)反思

針對(duì)這一問(wèn)題，筆者進(jìn)行了思考，又與辦公室里的同行進(jìn)行了討論，結(jié)果也是意見(jiàn)不一致，故而將問(wèn)題作了梳理，有了以下幾點(diǎn)思考：

（1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，特別地，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系用直線方程與曲線方程的聯(lián)立方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，用判別式也是方法之一；因?yàn)橹本€與圓的位置關(guān)系，可以通過(guò)弦心距與半徑相比較來(lái)判斷，但橢圓因?yàn)椤皺E”的原因，只能通過(guò)方程組消元后的一元二次方程的判別式來(lái)判斷.在高中階段最重要的內(nèi)容是直線與曲線的相切問(wèn)題，這里強(qiáng)調(diào)的是線——切線.而兩條曲線的“相切”本來(lái)是高等數(shù)學(xué)中涉及的內(nèi)容，所以學(xué)生及教師將直線與曲線相切的解決方法直接用于解決兩條曲線相切的問(wèn)題，顯然是要出問(wèn)題的.

（2）雖然兩圓相切（包括內(nèi)切與外切）是指兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系，但不能認(rèn)為解決兩條曲線的相切問(wèn)題也相當(dāng)于判別式為0就等價(jià)于兩條曲線相切了.

（3）事實(shí)上，若考慮以A為圓心、1為半徑的圓與橢圓相切，即將，消去y后，整理得5x2-18tx+9（t2+3）=0（※），由Δ=0，結(jié)合條件0＜t＜3，得，而此時(shí)方程（※）有且只有唯一的解，而，即，所以原方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，這說(shuō)明橢圓與圓沒(méi)有交點(diǎn)（如圖2所示）.

圖2 時(shí)

（5）而在高等數(shù)學(xué)中，兩條曲線相切，通俗地講，就是兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，而且在該交點(diǎn)有一條共同的切線.那么，本題中橢圓與圓（x-2）2+y2=1在點(diǎn)（3，0）處是相切的.

（6）由橢圓與圓聯(lián)立的方程組的解的問(wèn)題，不等價(jià)于消元后所得的一元二次方程的解（用判別式），這是因?yàn)檫€要考慮到橢圓的范圍問(wèn)題，即x、y的取值范圍所限.如（※）中雖然Δ=0，但橢圓與圓卻沒(méi)有交點(diǎn)；（※※）中Δ＞0，方程雖有兩個(gè)解，但橢圓與圓卻只有一個(gè)交點(diǎn).

解：①設(shè)P（x，y）因?yàn)閤∈［-3，3］，0＜t＜3，所以若，即時(shí)，則當(dāng)x=取得最小值；若以A（t，0）為圓心，為半徑畫(huà)圓，則此時(shí)圓與橢圓相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)Δ=0，但PA的最小值，不等于1，即當(dāng)時(shí)，橢圓上到點(diǎn)A（t，0）的距離的最小值為1的點(diǎn)不存在.

綜上所述，橢圓上存在點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離的最小值為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），A（2，0）.即參數(shù)t的值為2，而不是

三、教學(xué)運(yùn)用

但是由于同學(xué)受直線與二次曲線位置關(guān)系的判定法則這一思維定式的影響，往往只考慮消元后所得的二次方程的判別式而忽略了方程組解的整體情形.在平時(shí)的教學(xué)中，筆者思考并總結(jié)了解決這類問(wèn)題的“雙判別式法”，收到了較好的復(fù)習(xí)效果，在判斷二次曲線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)消元后所得關(guān)于變量x和關(guān)于變量y的兩個(gè)方程的判別式同時(shí)進(jìn)行討論，方可得出合乎邏輯的正確結(jié)論.

例1在拋物線y=ax2（a＞0）的上方（y≥ax2），求出一個(gè)與拋物線相切于原點(diǎn)的最大圓的方程.

解：圓的方程可設(shè)為x2+（y-r）2=r2，①

拋物線方程為y=ax2，②

此題屬于兩曲線在頂點(diǎn)處有重切點(diǎn)的情形，故須有Δy=0，且Δx=0.

例2已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：（x-1）2+有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在點(diǎn)A處兩曲線的切線為同一直線l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離.

解：（Ⅰ）設(shè)A（x0，（x0+1）2），對(duì)y=（x+1）2求導(dǎo)得y′=2（x+1），故l的斜率為k=2（x0+1）；

圖3

當(dāng)x0=1時(shí)，不符合題意，所以x0≠1，圓心為，MA的斜率為由l⊥MA，知kk1=-1，即2（x0+1）·，解得x0=0，故A（0，1）

一般地，給定拋物線y2=2px（p＞0），設(shè)A（m，0），m＞0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且|PA|=d，則當(dāng)0＜m≤p時(shí)，以A為圓心的圓與拋物線切于頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最小，但此時(shí)Δ≠0；當(dāng)m＞p時(shí)，以A為圓心的圓與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最小，此時(shí)Δ=0.

通過(guò)對(duì)教學(xué)所反映的問(wèn)題進(jìn)行研究和探索，對(duì)教學(xué)有了更深刻的感悟.有時(shí)是學(xué)生教會(huì)教師思考，特別是那些看似平常的、淺顯的、從未懷疑的問(wèn)題，要主動(dòng)進(jìn)行“非?！钡乃伎迹荒軐⑦@些問(wèn)題一直放在“遺忘的角落”，應(yīng)不斷地思考，不斷地深入研究，這樣才能使教學(xué)內(nèi)容更符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，才能有效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，達(dá)到以例啟思、以點(diǎn)帶面、觸類旁通的目的，本文拋磚引玉，希望有更多的一線教師通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，做更進(jìn)一步的研究.